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信号与系统实验7 连续系统零极点分析 实验七 连续时间系统S 域零极点分析 一、目的 （1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系 （2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系 （3）掌握利用MATLAB 进行S 域分析的方法 二、零极点分布与系统稳定性 根据系统函数)(s H 的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数)(s H 包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定 对任意有界信号)(t f ，若系统产生的零状态响应)(t y 也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统 上述稳定性的定义可以等效为下列条件： ● 时域条件：连续系统稳定充要条件为∞

对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难这时可利用MATLAB 来实现这一过程 例7-1：已知某连续系统的系统函数为： 5 3282 3)(234 2++++++=s s s s s s s H 试用MATLAB 求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定 解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt 即可解决此问题，对应的MATLAB 命令为： a=[8 2 3 1 5]; b=[1 3 2]; [p,q]=sjdt(a,b) 运行结果为： p = -0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196i q = -2 -1 绘制的零极点图如图7-1所示 由程序运行结果可以看出，该系统在S 平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统 三、零极点分布与系统冲激响应时域特性 设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则 ?+∞ -=0)()(dt e t h s H st 显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。

对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即 ∏∏ ==--==N i i M j j p s q s C s A s B s H 1 1 ) ()()()()( （7-1） 其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点 若系统函数的N 个极点是单极点，则可将)(s H 进行部分分式展开为： ∑=-=N i i i p s k s H 1)( （7-2） 从式（7-1）和（7-2）可以看出，系统冲激响应)(t h 的时域特性完全由系统函数) (s H 的极点位置决定)(s H 的每一个极点将决定)(t h 的一项时间函数显然，)(s H 的极点位置不同，则)(t h 的时域特性也完全不同下面利用例子说明)(s H 的极点分布与)(t h 时域特性之间的关系 例7-2：已知连续系统的零极点分布如图7-2所示，试用MATLAB 分析系统冲激响应)(t h 的时域特性。

解：系统的零极点图已知，则系统的系统函数)(s H 就可确定这样就可利用绘制连续系统冲激响应曲线的MATLAB 函数impulse()，将系统冲激响应)(t h 的时域波形绘制出来 对于图7-2（a ）所示的系统，系统函数为s s H 1 )(=，即系统的极点位于原点，绘制 冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下： a=[1 0]; b=[1]; impulse(b,a) 绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（a ）所示，此时)(t h 为单位阶跃信号 图7-1 例7-1的系统零极点图 对于图7-2（b ）所示的系统，系统函数为α +=s s H 1 )(，即系统的极点为位于S 平 面左半平面的实极点，令2=α，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下： 图7-2 例7-2的系统零极点图 （a ） （b ） （c ） （d ） （e ） （f ） 图7-3 例7-2的系统冲激响应时域波形图 a=[1 2]; b=[1]; impulse(b,a) 绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（b ）所示，此时)(t h 为衰减指数信号。

对于图7-2（c ）所示的系统，系统函数为α -=s s H 1 )(，即系统的极点为位于S 平 面右半平面的实极点，令2=α，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下： a=[1 -2]; b=[1]; impulse(b,a) 绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（c ）所示，此时)(t h 为随时间增长的指数信号 对于图7-2（d ）所示的系统，系统函数为2 2)(1 )(βα++=s s H ，即系统的极点为位 于S 平面左半平面的一对共轭极点，令5.0=α、4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下： a=[1 1 16.25]; b=[1]; impulse(b,a,5) 绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（d ）所示，此时)(t h 为按指数衰减的正弦振荡信号 对于图7-2（e ）所示的系统，系统函数为2 21 )(β +=s s H ，即系统的极点为位于S 平面虚轴上的一对共轭极点，令4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下： a=[1 0 16]; b=[1]; impulse(b,a,5) 绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（e ）所示，此时)(t h 为等幅正弦振荡信号。

对于图7-2（f ）所示的系统，系统函数为2 2)(1 )(βα+-=s s H ，即系统的极点为位 于S 平面右半平面上的一对共轭极点，令5.0=α、4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下： a=[1 -1 16.25]; b=[1]; impulse(b,a,5) 绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（f ）所示，此时)(t h 为按指数增长的正弦振荡信号 从上述程序运行结果和绘制的系统冲激响应曲线，可以总结出以下规律：系统冲激响应)(t h 的时域特性完全由系统函数)(s H 的极点位置决定，)(s H 位于S 平面左半平面的极点决定了)(t h 随时间衰减的信号分量，位于S 平面虚轴上的极点决定了冲激响应的稳态信号分量，位于S 平面右半平面的极点决定了冲激响应随时间增长的信号分量 三、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性 由前面分析可知，连续系统的零极点分布完全决定了系统的系统函数)(s H ，显然，系统的零极点分布也必然包含了系统的频率特性 下面介绍如何通过系统的零极点分布来直接求出系统的频率响应)(ωj H 的方法- ——几何矢量法，以及如何用MATLAB 来实现这一过程。

几何矢量法是通过系统函数零极点分布来分析连续系统频率响应)(ωj H 的一种直观而又简便的方法该方法将系统函数的零极点是为S 平面上的矢量，通过对这些矢量的模和幅角的分析，即可快速确定出系统的幅频响应和相频响应其基本原理如下： 设某连续系统的系统函数为： ∏∏==--==N i i M j j p s q s C s A s B s H 1 1 ) ()()()()( 其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点则频率 响应为： ∏∏===--==N i i M j j j s p s q s C s H j H 1 1 ) ()()()(ωω （7-3） 现在从几何矢量空间的角度分析S 平面，即将S 平面的任一点看成是从原点到该点 的矢量，则ωj 即是从S 平面原点到虚轴上角频率为ω的点的矢量同理， ),,2,1(M j q j =和),,2,1(N i p i =即是从S 平面原点到系统函数各零点和极点的矢量。

现在考虑矢量j q j -ω，由矢量运算可知，它实际上就是零点j q 到虚轴上角频率为ω 的点的矢量，如图7-3所示；而矢量i p j -ω则是极点i p 到虚轴上角频率为ω的点的矢量 令 j j j j e B q j ψ ω=- i j i i e A p j θω=- 其中，j B 为矢量j q j -ω的模，j ψ为该矢量的幅角；i A 为矢量i p j -ω的模，i θ为该矢量 的幅角 因此有： )(1 1)() ()()(ω?θψωωj N i i j i M j j j j e j H e A e B C j H ==∏∏== （7-4） 则系统的幅频特性和相频特性为： ] Re[s 图7-3 连续系统几何矢量法示意图 ∏∏===N i i M j j A B C j H 1 1)(ω （7-5） ∑∑==-=N i i M j j 1 1 )(θψω? （7-6） 由上述分析可以得出如下结论： ● 连续系统的幅频响应)(ωj H 等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为ω的点的距离之积与系统函数所有极。