23.直线的两点式方程导学案（解析版）.docx

2.2.2直线的两点式方程导学案【学习目标】1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标 【自主学习】知识点一 直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2＝斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0＋＝1斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则【合作探究】探究一 直线的两点式方程【例1】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M(，－3)，又BC边的中线过点A(－3,2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.归纳总结：(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．【练习1】若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【答案】　－2解析　由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.探究二 直线的截距式方程【例2-1】过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0【答案】　A解析　设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有解得a＝2，b＝6，故所求直线的方程为3x＋y－6＝0，故选A.归纳总结：求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为＋＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值【例2-2】过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　)A．2条 B．3条 C．4条 D．无数多条【答案】　B解析　当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x，当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，∴∴或即直线方程为＋＝1或＋＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.归纳总结：如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况【练习2-1】直线l过点P(，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l的方程．解　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，a＋b＋＝12.又因为直线l过点P(，2)，所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，解得所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.【练习2-2】过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　)A．1条 B．2条 C．3条 D．无数多条【答案】　B解析　设直线的两截距都是a，则有①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，∴直线l的方程为3x－2y＝0；②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，把P(2,3)代入得a＝5，∴直线l的方程为x＋y＝5.∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.探究三 直线方程的应用【例3】设直线l的方程为y＝(－a－1)x＋a－2.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0；当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，直线方程为x＋y＋2＝0.故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当解得a≤－1.故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．归纳总结：(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解．(2)根据斜率和截距的取值列式求解．【练习3】已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．解　直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－(x＋5)，即所求的斜截式方程为y＝－x－.同理，直线BC的方程为y－2＝－x，即y＝－x＋2.直线AC的方程为y－2＝x，即y＝x＋2.∴直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为y＝－x－，y＝－x＋2，y＝x＋2.课后作业A组 基础题一、选择题1．下列说法正确的是(　　)A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示【答案】　D解析　斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.2．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则(　　)A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限【答案】　B解析　依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.3．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)A．|b| B．－b2C．b2 D．b【答案】　B解析　令x＝0得，y＝－b2.4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0【答案】　B解析　因为kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.5．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(　　)A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0C．x＋y－5＝0D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0【答案】　B解析　设直线方程为＋＝1或y＝kx，将P(2,3)代入求出a＝－1或k＝.所以所求的直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0.6．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中的方程为(　　)A．x＋y＝1 B．x－y＝1C．x＋＝1 D．x－＝1【答案】　D解析　由斜二测画法可知在直角坐标系中，A(1,0)，B(0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x－＝1.7．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)【答案】　A解析　两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．二、填空题8．已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________．【答案】　2解析　由＋＝1知S＝|a||6|＝6，所以a＝2.9．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．【答案】　x＋2y－1＝0或x＋3y＝0解析　设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为＝，所以x＋3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为＋＝1，代入(3，－1)得x＋2y－1＝0.10．过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为________．【答案】　x＝3　y＝－211．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是__________________________________________________________．【答案】　＋＝1解析　设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)．则l的方程为＋＝1.三、解答题12．求经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解　设所求直线方程为＋＝1.∵直线过点P(－5，－4)，∴＋＝1， ①于是得4a＋5b＝－ab，又由已知，得|a||b|＝5，即|ab|＝10. ②由①②，得解得或故所求直线方程为＋＝1或＋＝1.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.13．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．解　(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，BC边的中点为N，因为M在y轴上，所以＝0，得x0＝－5.又因为N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3.即C(－5，－3)．(2)由(1)可得M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.B组 能力提升一、选择题1.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图所示，则(　　)A．若c＞0，则a＞0，b＞0B．若c＞0，则a＜0，b＞0C．若c＜0，则a＞0，b＜0D．若c＜0，则a＞0，b＞0【答案】D　[由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－，直线在x，y轴上的截距分别为－，－.由题图，k＜0，即－＜0，∴ab＞0.∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0.若c＜0，则a＞0，b＞0；若c＞0，则a＜0，b＜0.]2．(多选题)下列说法正确的是(　　)A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4,1)则直线l的方程为＋＝1C．过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1【答案】BCD　[A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)的直线方程为＋＝1，故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－。