一元二次方程学案(教师用).doc

九江佳一教育初中数学九年级资料Page 1 of 8教师： 学生： 年级： 时间: 年 月 日 北师大版九年级北师大版九年级(上上) 第二章：一元二次方程第二章：一元二次方程1. 认识一元二次方程：认识一元二次方程：概念：概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程整式方程叫一20axbxc, ,a b c0a 元二次方程 构成一元二次方程的三个重要条件三个重要条件： ①、方程必须是整式方程整式方程(分母不含未知数的方程)如：是分式方程，所以不是一元二次方程2230xx2230xx②、只含有一个未知数一个未知数 ③、未知数的最高次数是 2 次次2. 一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：一般形式： ()，系数中，一定不能为一定不能为 0，、 则可以为 0，所以以20axbxc0a , ,a b cabc下几种情形都是都是一元二次方程：①、如果，则得，例如：；0,0bc20axc2320x ②、如果，则得，例如：；0,0bc20axbx2340xx③、如果，则得，例如：；0,0bc20ax 230x ④、如果，则得，例如：。

0,0bc20axbxc23420xx其中，叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数； 叫做常数项任何2axabxbc一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式例题例题】】：：将方程化成一元二次方程的一般形式.2(3)(31)xxx解： 2(3)(31)xxx去括号，得： 22383xxx移项、合并同类项，得： ( (一般形式的等号右边一定等于一般形式的等号右边一定等于 0)0)22830xx3. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：(1)、直接开方法直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()xab举例：举例：解方程：29(1)25x解：方程两边除以 9，得：225(1)9x12513 52581,13333xxx       (2)、配方法配方法：（理论依据：根据完全平方公式：，将原方程配成的形式，2222()aabbab2()xab九江佳一教育初中数学九年级资料Page 2 of 8再用直接开方法求解.）举例：举例：解方程： 配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程 ( () )的步骤：的步骤：24830xx20axbxc0a 解： ①、二次项系数化为二次项系数化为 1. (两边都除以二次项系数.)23204xx②、移项移项.(把常数项移到=号右边.)2324xx ③、配方配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的22232114xx 平方，把原方程化成的形式)21(1)4x2()xab④、求解求解.(用直接开方法求出方程的解.)112x  113111, 212222xx   (3)、公式法公式法：（求根公式：） 24 2bbacxa 举例：举例：解方程： 公式法解一元二次方程的步骤：公式法解一元二次方程的步骤：2273xx解： ①、把一元二次方程化为一般形式：()22730xx20axbxc0a ②、确定的值.2,7,3abc  , ,a b c③、求出的值.224( 7)4 2 ( 3)73bac     24bac④、若，则把及的值代入( 7)73773 2 24x 240bac, ,a b c24bac求根公式，求出和，若，则方程无解。

7737731, 244xx1x2x240bac(4)、分解因式法分解因式法：（理论依据：，则或；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因0a b0a 0b 式方法将原方程化成两个因式相乘等于两个因式相乘等于 0 的形式的形式 ）【1】提公因式提公因式分解因式法：举例：①、解方程： ②、解方程：250xx2(3)2 (3)0xx x解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：(5)0x x(3)(32 )0xxx 或 或0x 50x30x320xx 210,5xx213,1xx【2】运用公式运用公式分解因式法：举例：①、解方程： ②、解方程：22(21)(3)xx22x -6x+9=(5-2x)解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：九江佳一教育初中数学九年级资料Page 3 of 822(21)(3)0xx22(x-3) =(5-2x)(21 3)(21 3)0xxxx    022(x-3) -(5-2x) 或 21 30xx  21 30xx  0(x-3+5-2x)(x-3-5+2x) 或2142,3xx x-3+5-2x=00x-3-5+2x 2182,3xx【3】十字相乘十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法)：举例：解方程：2560xx解：原方程可变形为：(6)(1)0xx或60x 10x 216,1xx 【4】其它常见类型举例：其它常见类型举例：①、解方程： ②、解方程： （换元法）(1)(3)8xx2 22x +x-1=x +x解：原方程可变形为： 解：令，原方程可化为：，即：2x +xy 21yy 220yy或2450xx(2)(1)0yy20y10y (5)(1)0xx122,1yy 或 ，即50x 10x 22xx220xx，215,1xx (2)(1)0xx212,1xx 或，即21xx 210xx 1,1,1abc22414 1 130bac     方程无解。

210xx 原方程的解为：212,1xx 4. 一元二次方程的应用：一元二次方程的应用：①、数字问题.②、面积问题.(牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化.)③、平均增长率平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式：，其中是增长(或降低)的基础量，(1)naxba是平均增长(或降低)率，是增长(或降低)的次数（常考的是两年期，即，） ，xn2n 2(1)axb十字相乘法： 2xaxbxab xa b2560xx1 -6 交叉相乘：， 1 1 1 ( 6)5    1 +1 即等于一次项系数所以可以分解成256xx(6)(1)xx九江佳一教育初中数学九年级资料Page 4 of 8是增长(或降低)后的数量(总量)，增长为“+” ，降低为“-”.b④、商品利润问题(重点).基本公式： 1、单件利润单件利润=单件单件进价进价2、总利润总利润=单件利润单件利润销售量销售量⑤、运动问题、动点问题例题：将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，能卖出 500 个，已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。

问：为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解法一：设售价定为设售价定为元元，依题意可得：x40500 10508000xx整理得：214048000xx解得：1260,80xx售价应定为 60 元或 80 元.当定为 60 元时，应进货个；500 106050400当定为 80 元时，应进货个；500 108050200解法二：设上涨设上涨元元，依题意可得：x10500 108000xx整理得：2403000xx解得：1210,30xx售价应定为 10+50=60 元或 30+50=80 元.当定为 60 元时，应进货个；500 106050400当定为 80 元时，应进货个；500 1080502005. 常考题型及其相应的知识点：常考题型及其相应的知识点：(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：例 1：关于的一元二次方程有一根为 0，则的值为______.x22(1)10mxxm m思路分析：有一根为思路分析：有一根为 0，说明有，说明有，可代入原方程求出，可代入原方程求出.0x m注意：一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数注意：一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数的讨论：的讨论：a0a 解：将代入原方程得：0x 22(1) 0010mm 即： 210m  1m 又因为 即 10m 1m 的值为.m1例 2：一元二次方程 的一个根为，则另一个根为_______.230xmx1思路分析：先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数思路分析：先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数，再解出此时一元二次方程的两根，再解出此时一元二次方程的两根.m解：将代入原方程得： 1x  2( 1)( 1)30m 40,4mm 原方程即为：2430xx(1)(3)0xx211,3xx  九江佳一教育初中数学九年级资料Page 5 of 8(2)、判别式：，方程根的情况：24bac判别式与一元二次方程根的情况：24bac方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根. .240bac方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根( (或说方程有一个实数根或说方程有一个实数根).).240bac方程没有实数根方程没有实数根. .240bac例 1：关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______.x222(1)10xkxk k思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有.240bac解：21,2(1),1abkck 22242(1)4 1 (1)88backkk   因为方程有实数根，240bac即： 880k 1k 例 2：方程的根的情况是( ).220xxA、只有一个实数根. B、有两个相等的实数根. C、有两个不相等的实数根. D、没有实数根思路分析：判别方程根的情况，之需要计算判别式思路分析：判别方程根的情况，之需要计算判别式的值与的值与 0 比较比较.24bac解：1,1,2abc  22414 1 270bac     方程没有实数根(2)、一元二次方程根与系数关系，韦达定理：如果是一元二次方程 ()的两根，根据韦达定理韦达定理，则有：12,x x20axbxc0a 1212,bcxxxxaa 例 1：已知一元二次方程的两根，则____，____.12,x x25140xx。