新高考数学一轮复习考点过关练习 等比数列的判定与证明（含解析）.doc

微专题：等比数列的判定与证明【考点梳理】 等比数列的四种常用判定方法定义法若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列【典例剖析】典例1．在数列中，，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．典例2．已知各项都为正数的数列满足， .(1)若，求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.典例3．已知数列的前项和为，且.(1)证明：为等比数列.(2)若，求数列的前项和.【双基达标】4．设数列满足，且，.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和.5．在数列中，，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.6．若数列满足：，，对于任意的，都有.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式.7．已知数列满足，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．8．已知数列中，，．（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．9．已知数列满足：，且．设．(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；(2)求数列的前2n项和．10．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.【高分突破】11．已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.12．已知数列的前n项和为，且.(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.13．已知数列的前n项和为，且满．(1)求证数列是等比数列．(2)若数列满足求数列的前n项和．14．设数列满足，其中.（1）证明：是等比数列；（2）令，设数列的前项和为，求使成立的最大自然数的值.15．已知数列的前n项和为，，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值.16．以数列的任意相邻两项为点，的坐标，均在一次函数的图象上，数列满足，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列，的前项和分别为，，若，，求的值．17．已知数列的首项为正数，其前项和满足．(1)求实数的值，使得是等比数列；(2)设，求数列的前项和．18．已知数列满足：，.（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数）19．已知数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.20．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．第 4 页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案1．（1）证明见解析 ；（2）．【解析】【分析】（1）通过计算来证得数列是等比数列.（2）结合（1）的结论求得数列的通项公式.【详解】（1）由题意，知．又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．（2）由（1），可知，所以数列的通项公式为．2．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义,利用以及,即可得到,即可证明.（2）根据分组求和和等比数列求和公式即可求解.（1）因为 所以， 因为所以      所以 所以    所以是首项和公比均为的等比数列.（2）由（1）易得：   因为所以 所以 3．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列；（2）求出，利用裂项相消法可求得.(1)证明：因为，所以当时，，可得；当时，由可得，所以，所以.即是首项为，公比为的等比数列，所以，.(2)解：由（1）知，所以.4．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由,变形为，即可证明；（2）由等比数列的通项公式可得， 于是，因此 ，再利用“裂项求和”即可得出．【详解】解：（1）因为，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.（2）因为是首项为，公比为3的等比数列.所以，所以，所以，所以，所以.5．(1)证明见解析，(2)【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出的通项公式；（2）由（1）可得，对分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；（1）解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.（2）解：由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述，6．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由，得，即可得证；（2）由数列为等比数列，可得数列的通项公式，再利用构造法求得数列的通项公式.(1)由，得，且，所以数列为等比数列，首项为，公比为(2)由（1）得，等式左右两边同时除以可得：，即，且，所以数列为等差数列，首项为，公差为，所以，所以.7．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由递推关系式可得，由等比数列定义可得结论；（2）利用等比数列通项公式和累加法可求得，由此可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，利用裂项相消法和求得结果，综合两种情况可得.(1)由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.(2)由（1）得：，则，，，…，，各式作和得：，又，，，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：.8．（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）将已知条件两边同时取倒数可得，利用构造法令求出的值，由等比数列的定义即可求证；求出即可得；（2）求出的通项公式，由乘公比错位相减求出，使得即可.【详解】（1）由，得，令，所以，解得，所以，由等比数列的定义可知：数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以，即，（2）由题意得，，，两式相减得：，所以，所以，所以使恒成立的最小的整数为．9．(1)(2)数列的前2n项和为【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式可得，由此构造数列，进而证明结论；（2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案.(1)由题意可知：，，故，即，故是以为首项，以 为公比的等比数列，且 ，故(2)由（1）知，,即，由题意知： ，故 ，故数列的前2n项和 .10．（1）见解析；（2），．【解析】【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，，，，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分，与两种情况分析，当是，构造证明即可；（2）由（1）可得，再利用裂项求和求解，进而证明即可（1）证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述12．(1)证明见解析，(2)【解析】【分析】（1）根据求得，由由已知，可得，两式相减可得，即可证明结论，继而求得通项公式；（2）利用（1）的结论，求出，利用错位相减法求得答案.（1）当时，由可得,由已知，有,两式相减得 ,即,     因为，所以,所以,所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 ；（2）由（1）可得，所以，      ，则 ，所以 ，所以 .13．(1)答案见解析；’(2).【解析】【分析】（1）证明见解析；（2）先求出，利用裂项相消法求和.(1)对于，当n=1时，由.当，有，此时，所以数列是首项为，公比为的等比数列.(2)由（1）知，，所以.所以当n=1时，；当，有，经检验，对n=1也成立.所以.所以.所以.14．（1）证明见解析；（2）最大自然数.【解析】【分析】（1）根据题中条件，可得的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得，则可得，根据错位相减求和法，可求得的表达式，根据的单调性，代入数值，分析即可得答案.【详解】解：（1）∵，∴即，∴是首项为，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，即，∴，，①，②①减②得.∴.∴，∴.单调递增.∵，.故使成立的最大自然数.【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握.15．（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用可得数列的递推关系，，然后可证明是等比数列；（2）由（1）求出，即得，利用错位相减法求得，不等式对于恒成立，转化为恒成立，求出的最小值即可得结论．【详解】（1）由，得（），两式相减得，所以（），因为，所以，，.所以是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由，又由（1）可知，得，∴，则，两式相减得，所以.由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；则的最小值为，所以实数m的最。