轨迹方程的几种求法整理例题答案.doc

轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳,供同学们参考.求轨迹方程的一般方法： 1.  直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程2. 定义法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程,再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程 3． 　参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立Ｐ点坐标x,y与该参数t的函数关系x=ｆ(t), ｙ=g(t）,进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y)=0   ４. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点Ｐ＇的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（ｘ，y)，用（ｘ,y）表示出相关点Ｐ'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程 5. 交轨法：在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。

6. 待定系数法:已知曲线是圆,椭圆，抛物线,双曲线等　 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x，y，的方程基本步骤是：建系说明等,圆锥曲线标准方程的推导1. 已知点，动点满足,求点的轨迹2. 2.已知点Ｂ（－１，0）,C(1,0)，P是平面上一动点，且满足（1)求点P的轨迹C对应的方程;（2）已知点A(m，2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD⊥AE，判断:直线DE是否过定点？试证明你的结论.(3）已知点A（m，2)在曲线Ｃ上，过点Ａ作曲线C的两条弦AD，AＥ,且AD，AＥ的斜率k1、k2满足ｋ1·k2=2．求证:直线DE过定点，并求出这个定点.解:(1)设 　二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.1、 若动圆与圆外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M,由题意，动点M到定圆圆心(-２,０)的距离等于它到定直线x＝4的距离，故所求轨迹是以（－2,０）为焦点,直线x=４为准线的抛物线，并且p=6，顶点是(1,0），开口向左，所以方程是.选（B）.2、一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有动点M到两定点的距离之差为1,由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支３、在中，上的两条中线长度之和为39,求的重心的轨迹方程．　　解:以线段所在直线为轴,线段的中垂线为轴建立直角坐标系,如图1，为重心，则有．　　点的轨迹是以为焦点的椭圆,其中．． 　所求的重心的轨迹方程为．注意:求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性．４、设Q是圆x2+y2=4上动点另点A(。

0)线段ＡQ的垂直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程.解:连接PA ∵l⊥PQ,∴|ＰA|=｜PQ｜.又Ｐ在半径OＱ上.∴|ＰO|+|ＰQ|＝2．由椭圆定义可知:P点轨迹是以O、Ａ为焦点的椭圆．5、已知ΔＡＢC中，ÐA，ÐＢ,ÐＣ所对应的边为a，ｂ,c,且a>ｃ>b,a,c,b成等差数列，|AB|=２，求顶点C的轨迹方程解:｜ＢＣ｜＋|CA|=4＞2,由椭圆的定义可知,点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4,焦距为2, 短轴长为2, ∴椭圆方程为, 又a>ｂ, ∴点C在y轴左侧，必有x<0，而Ｃ点在ｘ轴上时不能构成三角形,故ｘ≠─2, 因此点Ｃ的轨迹方程是：(─2

法二）由解法一可得方程,由以上方程知,动圆圆心到点和的距离和是常数,所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，∴，,∴，，∴，∴圆心轨迹方程为 　三、相关点法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 若动点P(ｘ,y)随已知曲线上的点Q(x０，ｙ０）的变动而变动，且x0、y０可用ｘ、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).1、已知抛物线ｙ２=x+１,定点Ａ(3,１)、B为抛物线上任意一点，点Ｐ段ＡＢ上,且有BP∶PA＝1∶2，当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程．分析解：设点P(x，ｙ），且设点B(ｘ0,y0）∵BP∶PＡ=1∶2,且P为线段AB的内分点.2、双曲线有动点,是曲线的两个焦点,求的重心的轨迹方程解:设点坐标各为,∴在已知双曲线方程中,∴∴已知双曲线两焦点为，∵存在,∴由三角形重心坐标公式有，即 3、已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程,有即所求重心的轨迹方程为:4、（2０01上海,3）设Ｐ为双曲线ｙ2=1上一动点，O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是 　　 　 。

解析:设P(ｘ0，y0) ∴M(x,y）∴ ∴2x=x０，２y＝y0∴－4y2=1ｘ２－4y2=1 ５、已知△ＡBC的顶点，顶点在抛物线上运动,求的重心的轨迹方程.　 解：设,，由重心公式,得　　又在抛物线上，.　 ③ 　将①，②代入③,得,　　即所求曲线方程是． 　四、参数法 　如果不易直接找出动点的坐标之间的关系,可考虑借助中间变量（参数),把x,y联系起来.若动点P(x，y)的坐标x与y之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x、y关于另一变量的参数方程,再化为普通方程．1、已知线段,直线垂直平分于,在上取两点,使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程． 解：如图２，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系． 　设点, 则由题意,得． 　由点斜式得直线的方程分别为． 两式相乘,消去，得.这就是所求点Ｍ的轨迹方程．评析:参数法求轨迹方程,关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参,消参的途径灵活多变．２、设椭圆中心为原点Ｏ，一个焦点为F（0,1），长轴和短轴的长度之比为t．(1)求椭圆的方程;（2)设经过原点且斜率为ｔ的直线与椭圆在ｙ轴右边部分的交点为Q,点P在该直线上，且,当t变化时，求点Ｐ的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为.（２）设点解方程组得 　 由和得其中t>1.消去ｔ,得点P轨迹方程为和.其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分.3、已知双曲线=1(m>0,ｎ＞0)的顶点为A1、A２，与y轴平行的直线l交双曲线于点Ｐ、Q 求直线A１P与Ａ2Ｑ交点M的轨迹方程;解设Ｐ点的坐标为(ｘ1,y1),则Ｑ点坐标为(x1，-ｙ1)，又有A1（-m，0）,Ａ2(ｍ,０),则A1P的方程为 y= ﻩ ①A２Ｑ的方程为 y=- 　　 ②①×②得　 y2＝-ﻩﻩ　 ﻩﻩ ③又因点P在双曲线上,故代入③并整理得=1 此即为M的轨迹方程 ４、设点A和B为抛物线　y2＝4ｐx(p>０)上原点以外的两个动点，已知OA⊥ＯB，ＯM⊥AB，求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线　 解法一　 设A(x１,y１),B（x2,y2）,M(ｘ,y) (x≠0)直线AB的方程为x＝my＋a由OＭ⊥ＡB，得m＝－由ｙ2=４px及x=my＋a,消去ｘ,得y2-４pmy－4pa=0所以y１y2=－４pa, x1x2=所以，由OA⊥ＯB,得x1x2 =-y1y2所以故x=ｍy+4p,用m=-代入，得x２＋ｙ2-4ｐx=０(x≠0）故动点M的轨迹方程为x2＋y２-4px=0(x≠0)，它表示以(２ｐ,0)为圆心，以２p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为,代入ｙ2=４px得则OＢ的方程为，代入ｙ2=4pｘ得∴AB的方程为,过定点,由ＯM⊥ＡB,得M在以ON为直径的圆上(O点除外)故动点Ｍ的轨迹方程为x2＋y２-4px=0(x≠０)，它表示以（2p,0)为圆心，以2p为半径的圆,去掉坐标原点　 解法三　 设M（x,ｙ） （x≠0)，ＯA的方程为,代入y2=4pｘ得则OB的方程为,代入y2＝4ｐｘ得由OM⊥AB,得Ｍ既在以ＯA为直径的圆 ……①上,又在以ＯB为直径的圆　 ……②上（O点除外)，①＋②得 x２+y2-４ｐx＝０(x≠０)故动点Ｍ的轨迹方程为x2+y２－4pｘ＝0(ｘ≠0),它表示以(2p,0)为圆心，以2ｐ为半径的圆，去掉坐标原点 ５、过点Ａ(－1，0），斜率为k的直线l与抛物线C:y２=４x交于P，Q两点.若曲线C的焦点F与P,Ｑ,R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程；解:要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可以探求点R的横、纵坐标与直线ｌ的斜率ｋ的关系．然而，点Ｒ与直线l并无直接联系．与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将Ｐ、Q、Ｒ这三点联系起来就成为解题的关键．由已知，代入抛物线C:y２=4x的方程,消x得：∵ 、Ｑ∴ 解得设，M是PQ的中点,则由韦达定理可知:将其代入直线l的方程，得∵ 四边形PFQR是平行四边形，∴　中点也是中点.∴又 ∴　.∴　点Ｒ的轨迹方程为６、垂直于ｙ轴的直线与ｙ轴及抛物线y2=２(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分的比为1:2,求线段PB中点的轨迹方程解：点参数法　设A(０,t），Ｂ(0，3t）,则Ｐ(ｔ２/2 +１， ｔ),设Q(x,y）,则有,消去t得：y2＝1６（x–）点评:本题采用点参数，即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应分析动点运动的原因,找出影响动点的因素，据此恰当地选择参数7、过双曲线Ｃ:x2─y2/３=1的左焦点Ｆ作直线l与双曲线交于点Ｐ、Q，以OＰ、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求M的轨迹方程解:k参数法 当直线l的斜率k存在时,取k为参数,建立点M轨迹的参数方程设M(ｘ,y),P(ｘ1,y1)， Q(x２,ｙ2),PQ的中点N(x0，y0)， l:　y＝k(x＋2), 代入双曲线方程化简得:(3─k2)x2─4k2ｘ─４k2─3=0，依题意k≠±3, ∴3─k2≠0,x1+ｘ2=４k2/（3─k２）, ∴x＝２ｘ0=ｘ1 +x2=4ｋ2/(3─k2)，　 y=2y0=2k(x0+。