数系的扩充与复数的引入（教师版）.docx

微专题 数系的扩充与复数的引入复数的必备知识点1．虚数单位叫做虚数单位，并规定：（1）它的平方等于，即； （2）实数与它进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．依据这一规定，可得的幂（）的周期性：，，，，．2．复数的有关概念 概念意义备注复数的概念形如的数叫做复数，复数通常用小写字母来表示，即，其中叫做它的实部，记作，即，叫做它的虚部，记作，即．全体复数所构成的集合叫做复数集，用大写字母表示，即，则ÜÜÜÜÜ．（1） 当时，则为实数，即；（2） 当时，则为虚数，即是虚数；（3） 当，时，则为纯虚数，即是纯虚数且；（4） 当，时，则为非纯虚数，即是非纯虚数且；（5） 且．复数相等如果两个复数与的实部与虚部对应相等，我们就说这两个复数相等，记作，即且．（1）特别地，且；（2）两个实数可以比较大小，但是对于两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小，只能说相等或不相等．复平面（1）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．轴的单位是1，轴的单位是1．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．（2）实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数．即：任意一个实数与轴上的点一一对应，任意一个纯虚数与轴上的点一一对应，任意一个虚数与点一一对应．每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的个点（一个向量）；反过来，平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数对，可以建立复数和点(或向量)之间的一一对应关系，点或向量是复数的几何表示．复数有序实数对点．复数的模复数的模（1）设复数对应的向量为，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作或．由模的定义（向量长度的计算公式）可知（显然，）当，复数表示实数，此时，复数的模的概念是实数绝对值概念的推广，但是实数的绝对值的性质不能完全推广到复数的模的性质．（2）复数模的几何意义：复数在复平面对应的点为，复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则：①满足条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部．②满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部．到原点的距离．一般地，的几何意义为复数对应的点到原点间的距离．的几何意义为复平面上，复数，对应的点到间的距离．复数模的性质：（1）；（2），；（3）；（4）；（5），此不等式我们称为三角形不等式；①，等号成立的条件是：（ⅰ）当时，即，所对应的向量同向共线；（ⅱ）当时，即，所对应的向量反向共线．②，等号成立的条件是：（ⅰ）当时，即，所对应的向量反向共线；（ⅱ）当时，即，所对应的向量同向共线．（6），此即为平行四边形对角线定理：两条对角线长的平方和，等于四边长度之平方和．（7）复数的模的概念是实数绝对值概念的推广，但是实数的绝对值的性质不能完全推广到复数的模的性质．如在实数中，，则，但在复数中，，不能得到．事实上，符合条件的有无穷多个，它们对应的点分布在单位圆上，如，，，等．共轭复数（1）如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．（2）复数的共轭复数用表示，即当时，则，当复数的虚部时，，也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身．（3）显然，在复平面内，表示两个互为共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．设，，则（1） ；（2） 为实数；（3） 且为纯虚数；（4） ；（5） ；（6） ，；（7） ，，；（8）．3．复数的几何意义：（1）复数复平面内的点； （2）复数平面向量．4．复数的运算：（1）复数的加、减、乘、除运算法则设，，运算法则运算形式运算律：对任意的加法（1）交换律：（2）结合律：减法乘法①，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施；②复数的乘方：相同复数的乘积，即把个称为复数的次幂，记为．根据复数乘法的运算律，在实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意及，，，．复数指数幂的运算可以把推广到整数集，即（注意：只推广到整数集）．（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：（4）同底数幂相乘：（5）同底数幂相除：（6）幂的乘方：（7）乘积的乘方：（8）规定：，除法复数的除法实质上就是分母实数化的过程，即分子、分母同时乘分母的共轭复数，化简后可得结果，最后结果要写成的形式．复数的倒数：已知且，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作．设，则，两边同乘，得，，因此，，显然．（2）复数加法、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若向量，分别对应于复数，，且向量，不共线，则复数是以向量，为两条邻边的平行四边形的对角线所表示的向量所对应的复数．即复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义，如图所示．说明：（ⅰ）实数的相反数是，复数的相反数是，并且在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于原点对称，这点与实数也是一样的．（ⅱ）复数的加法满足向量加法的三角形法则，并注意与物理中力的合成进行类比．②复数减法的几何意义：两个复数与的差对应于连接它们对应向量和的终点，并指向被减向量的向量，即以向量所对应的复数．说明：（ⅰ）两复数减法的几何意义可简单叙述为：连接两向量的终点，方向指向被减向量的终点得到的向量，就是两复数的差对应的向量．（ⅱ）用表示平面内点和之间的距离，则，其中，是复平面内的两点，对应的复数这就是复平面内两点间的距离公式．5．复数的三角形式定义：一般地，如果非零复数在复平面内，对应点，且为向量的模，是以轴正半轴为始边、射线为终边的一个角，则，根据任意角余弦、正弦的定义可知，，因此，，如图所示，从而，上式的右边称为非零复数的三角形式（对应的称为复数的代数形式），其中的称为的辐角．显然，如何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍．特别地，在内的辐角称为的辐角主值，记作．6．棣莫弗定理棣莫弗定理的应用——复数的乘法、除法（1）波罗摩笈多——斐波那契恒等式：，，（），则有，两边平方得，称为波罗摩笈多——斐波那契恒等式．辐角（argument，简记arg）：，，（），，设，，，，则，所以，同理，【可以联想到指数的运算，来记忆】．要想更容易理解，可以参照棣莫弗定理．（2）棣莫弗定理（De Moivre's formula）：设两个复数（用三角函数形式表示），，，则有．【证明】先讲一下复数的三角形式的概念．在复平面上，用向量来表示复数，于是该向量可以分成两个在实轴、虚轴上的分量．如果向量与实轴正方向的夹角为，，那么这两个分量分别等于，，其中（），即，，所以复数可以表示为，这里称为复数的辐角，其中为辐角主值．，，则有．由棣莫弗定理复数乘法：模长相乘，辐角相加；复数除法：模长相除，辐角相减．．并且该定理可以推广为一般形式．棣莫弗定理推广形式：设个复数，，，，则有．棣莫弗定理乘方形式：在一般形式中，如果令，则有，即．下面用“数学归纳法”来证明棣莫弗定理乘方形式：（1）当时，等式明显成立；（2）假设当时，等式成立，即，则当时，，即当时等式也成立，综上，对任意正整数，都有．7．欧拉公式：把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，，e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．【证明】（泰勒展开式）：根据泰勒展开式，，，得．复数的三种表示方式：，三种形式是等价的． 复数的三种形式：（1）坐标式：，即，则三角式为，指数式为，其中为模长，为辐角．对于，则有：（1）棣莫弗定理：，，则有．（2）欧拉公式：，，，．8．常用结论与方法：（1）记住以下结论，可提高运算速度：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦【或】；⑧【或】；记忆方法：分子、分母的对调，虚部一正一负，结果的正负与分子的虚部正负相同．（2）的幂（）的周期性：，，，，．的幂（）具有周期性：是的周期，且最小正周期是4；其中，，，，．（3）复数范围内因式分解公式：；（4）复数中的性质由方程，解得，，取，，则具有如下关系：①；②，；③，；④；⑤，，．同样地，也具有周期性，解题时灵活运用，适当变形，巧用的性质，从而达到事半功倍的效果．备注：实数系一元二次方程的解①若，则；②若，则；③若，它在实数集内没有实数根，在复数集内有且仅有两个共轭复数根，．（5）复数的简单分类数的发展过程有理数自然数分数无理数实数虚数复数复数集虚数集实数集纯虚数集考点1 复数的有关概念与复数的（基本、综合）运算1．复数相等：且．2．共轭复数：与互为共轭复数．3．复数的加、减、乘、除运算法则加法：；减法：；乘法：；除法：．【例1】（1）（2015•天津•理9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为　 　．（2）（2005•江西•理2）设复数，，若为纯虚数，则实数　　A． B．2 C． D．1（3）（2012•陕西•理3）设，，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件（4）（2016•北京•理9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　．【解析】（1）由为纯虚数，得，解得：．故答案为：．（2）为纯虚数，得，即．故选：．（3）因为“”得或，只有，并且，复数为纯虚数，否则不成立；复数为纯虚数，所以并且，所以，因此，，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选：．（4），若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得：，故答案为：．【例2】（2010•福建•理9）对于复数，，，，若集合具有性质“对任意，，必有”，则当时，等于　　A．1 B． C．0 D．【解析】由题意，可取，，，，，或，，所以，故选：．【例3】（1）（2019•新课标Ⅱ•文2）设，则　　A． B． C． D．（2）（2019•新课标Ⅲ•理2）若，则　　A． B． C． D．（3）（2019•北京•理1）已知复数，则　　A． B． C．3 D．5【解析】（1），，故选：．（2）法一：由，得．故选：．法二：因为，所以．故选．法三：设，则，所以，解得，即．故选．法一：，．故选：．法二：由题意，得，所以．故选．法三：由公式，得．故选．【例4】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【例5】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）法一：原式；法二：原式．【例6】（2005•上海•文18）在复数范围内解方程为虚数单位）．【解析】原方程化简为，设，代入上述方程得，且，解得且，原方程的解是．考点2 复数的几何意义相。