数列中的数表、数阵问题.ppt

1 1 2 0.5 1 a b c你能否求出这张你能否求出这张表的所有数字之表的所有数字之和？和？东莞市东莞市2005-2006学年度第一学期教学质量检查学年度第一学期教学质量检查1.在下面表格中，每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a=___；b+c=___.数列中的有关数阵、数表问题数列中的有关数阵、数表问题22.在如图所式的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a+b+c的值为 ____.120.51abca= ，b= ，c= ，a +b+c=343.在杨辉三角中，斜线AB上方一斜行的前n个数字和那么S(n)=1+3+6+…=________.1　11　2　11　3　3　11　4　6　4　1… … … …BAS(n)=1+3+6+10+…=1+(1+2)+(1+2+3)+…(1+2+…+n) = [(12+1)+(22+2)+(32+3)+…+(n2+n)]34.把数列把数列 的所有数按照从大的所有数按照从大到小，左大右小的原到小，左大右小的原则则写成如下数写成如下数表表:第第k行有行有2 k－1个数，第个数，第t行的第行的第 s个数（从左数起）个数（从左数起）记为记为A(t，s)，则则A(8，17)= _____.5.给出数表给出数表:① 前前m行共有几个数？行共有几个数？②②第第m行的第一个数和最后一行的第一个数和最后一个数各是多少？个数各是多少？③③求第求第m行的各数之和行的各数之和；④数数100是第几行的第几个数？是第几行的第几个数？ 第第14行的第行的第9个数个数.4解解 第第20行最左行最左边边的数的数为为192+1=362，第第20行共有行共有 2×20－1=39个个连续连续的自然数的自然数，，它它们们的和是的和是 6.观察下面的数阵观察下面的数阵, 容易看出容易看出, 第第n行最右边的数是行最右边的数是n2, 那么第那么第20行最左边的数是几行最左边的数是几?第第20行所有数的和行所有数的和是多少是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 … … … … … … 或或362×39+ ×39×38×1=14859.5135715131191719212331292725… … … … …25157.将正奇数按如下规律填在5列的数表中：那么2007排在该表的第 行，第 列．(行是从上往下数，列是从左往右数)解解: 仔细观察可发现第仔细观察可发现第1列偶列偶数行是以数行是以15为首项，为首项，16为公为公差的等差数列，所以通项公差的等差数列，所以通项公式可写为式可写为an=8n－1，其中其中n取取正偶数，当正偶数，当n=250时，时， a250=1999，数下来在第数下来在第250行上有行上有：第二个数开始分别第二个数开始分别为为2001，2003，2005，所以所以2007排在该表的第排在该表的第251行，第行，第5列列．4143454733353739… … … … …200520032001199907第第251行行68. 将正偶数按下表排成5列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 … … … … … … 那么2006在第____行 ，第____列. 25147解解: :由不完全归纳由不完全归纳法知，法知，全行都为全行都为1的是第的是第2 n－1行行;∵ n=6，∴ 26－1=63， 故第故第63行共有行共有64个个1，逆推知第逆推知第62行共有行共有32个个1，第第61行共有行共有32个个1.9.将杨辉三角中的奇数换成将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成，偶数换成0，得到如，得到如图图1所示的所示的0～～1三角数表．从上往下数，第三角数表．从上往下数，第1次全次全行的数都为行的数都为1的是第的是第1行，第行，第2次全行的数都为次全行的数都为1的的是第是第3行，行，…，第，第n次全行的数都为次全行的数都为1的是第的是第______行；第行；第61行中行中1的个数是的个数是 .2 n－1第第1行行　　 1 1第第2行行 1 0 1第第3行行 1 1 1 1 第第4行行 1 0 0 0 1 第第5行行 1 1 0 0 1 1 …………………32第第6行行 1 0 1 0 1 0 1第第7行行 1 1 1 1 1 1 1 1…………………………810. 用用n个不同的个不同的实实数数a1，a2，…，an可得可得n!个不同的排列，每个排列个不同的排列，每个排列为为一行写成一个一行写成一个n!行的数行的数阵阵，，对对第第i行行，ai1，ai2，…，ain，记记bi=－ai1+2ai2－3ai3+ …+(－1)nnain，i=1，2，3， …，n! ，用用1，2，3可成数可成数阵阵如右如右图图，，由于数由于数阵阵中每一列个数之和都是中每一列个数之和都是12，所以，所以，b1+b2+…b6=－12+2×12－3×12= －24，那么在用那么在用 1，2，3，4，5形成的数形成的数阵阵中，中，b1+b2+…b120 = ( )A. － 3600 B.1800 C. －1080 D. －720123132213231312321C略解略解:1，2，3，4，5的全排列数的全排列数为为120，每个数字每个数字各用各用24次，所以每一列个数之和都是次，所以每一列个数之和都是360，用用 1，2，3，4，5形成的数形成的数阵阵中，中，b1+b2+…b120=360×(－1+2－3+4－5)=－1080.9 11.将给定的25个数排成如以下图所示的数表，假设每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a33＝1，那么表中所有数之和为___. ?2006年深圳市高三年级第一次调研考试?a33=1a11a25a15a14a13a12a22a23a24a32a34a35a21a41a31a42a43a44a45a51a52a53a54a555a315a325a335a345a35a31+a35= 2a33 = 2a32+a34= 2a33 = 2a31+a32 + a33 + a34 +a35= 5表中所有数之和为表中所有数之和为5(a31+a32 + a33 + a34 +a35)=2525细心观察细心观察10个正数排成个正数排成8行行8列列 ，如以下，如以下图图所示，所示， 在符号在符号aij (1≤i≤8，，1≤j≤8) 中，中， i表示表示该该数所在的行数数所在的行数, j表示表示该该数所在的列数，数所在的列数， 每一行的数都成等差每一行的数都成等差 数列，而每一列的数都成数列，而每一列的数都成 等比数列等比数列 (每列公比都相等每列公比都相等). (1) 求求aij的通的通项项公式；公式； (2) 记记第第k行各行各项项和和为为Ak，求，求Ak的的值值及及Ak的通的通项项公公式；式；(3)假假设设Ak <1，求，求k的的值值.a11 a12 a13 a14 …a18a21 a22 a23 a24 …a28a31 a32 a33 a34 …a38…… …… ……a81 a82 a83 a84 …a88解解 (1)设第一行公差为设第一行公差为d，各列的公比各列的公比为为为为q. 故故 a24 = a14 q=(a11+ 3d)q=1， a32 = a12 q=(a11+ d)q2= 解得解得 ，11从而从而 aij = a1j qi－1=[a11+( j－1) d]qi－1=j·( )i(2)A1= a11+a12+a13+ …+a18 =(0.5+4)×4=18.a11 a12 a13 a14 …a18a21 a22 a23 a24 …a28a31 a32 a33 a34 …a38…… …… ……a81 a82 a83 a84 …a88 Ak= ak1+ak2+ak3+ …+ak8 =( a11+a12+a13+ …+a18)qk－1=18×(0.5) k－1=36 ×(0.5) k. (3) 因为因为Ak<1，所以所以 36×(0.5) k<1，36<2k， 有有k≥6，又又k≤8，故故k的的值值是是6，7，8.乘风破浪，勇往直前！乘风破浪，勇往直前！1213.下表给出一个“等差数阵〞：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值； (2)写出aij的计算公式；(3)求2021在等差数阵中所在的位置.47( )( )( )…a1j…712( )( )( )…a2j…( )( )( )( )( )…a3j…( )( )( )( )( )…a4j… … … … … … … … …ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………1013493i+13j+117225i+2(2) aij=(3i+1)+(j－1)(2i+1)=i+j+2ij.13学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值要计算的值．解解: (1)按按第一行第一行依次可依次可读读出出：a13=10，a14=13，a15=16；按按第一列第一列依次可依次可读读出出：a23=17， a24=22，a25=27；最后按第最后按第5列就可列就可读读出出：a35=38，a45=49．(2)因为该等差数阵的第一行是首项为因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为公差为3的等差数列，所以它的通项公式是的等差数列，所以它的通项公式是:a1j=4+3(j－1)； 而第二行是首项为而第二行是首项为7，公差为公差为5的等差数列，于是的等差数列，于是它的通项公式是它的通项公式是:a2j=7+5(j－1)； 通通过递过递推易知，第推易知，第i行是首行是首项为项为4+3(i－1)，公差公差为为2i+1的等差数列，故有的等差数列，故有aij=4+3(i－1)+( 2i+1) (j－1)=i(2j+1)+j=i+j+2ij. (3) 2021在等差数阵中所在的位置为14.把正奇数{2n－1}中的数按上小下大、左小右大的原那么排成如下的三角形数表： 设aij(i，j∈N＋)是位于这个三角形的 数表中从上往下数第i行，从左往右 数第j个数. 假设amn =2005，求m，n的值； 1 3 57 9 11 … … …∴第第m行最后一个数行最后一个数应应当是所当是所给给奇数列中第奇数列中第 项项，故第，故第m行最后一个数行最后一个数应应当是当是解解: ∵三角形的数表中前三角形的数表中前m行共有行共有: 1+2+3+…+m= m(m+1)个数个数, 15因此使因此使amn =2005的的m是是m2+m－1≥2005的最小正整的最小正整数解，由数解，由m2+m－1≥2005得得m2+m－2006 ≥0，于是第于是第45行第一个数行第一个数442+44－1+2=1981，m=45.1616.设设数列数列{an}的前的前n项项和和为为Sn，令令 称称Tn为为数列数列a1，a2，……，an，的的“理想数理想数”，已知数，已知数列列a1，a2，……，a500的的“理想数理想数”为为2004，那么数列那么数列2，a1，a2，……，a500的的“理想数理想数”为为 ( ) A.2002 B.2004 C.2006 D.2008 A15.已知命已知命题题:若数列若数列{an}为为等差数列，且等差数列，且 am=a，an=b (m≠n，m，n∈N+)，则则 现现已知数已知数列列{bn}(bn＞0，n∈N+)为为等比数列，且等比数列，且bm=a，bn=b (m≠n，m，n∈N+)，若若类类比上述比上述结论结论，，则则可得到可得到bm+n= ______.1717.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一〞如(1101) 2表示二进制的数, 将它转换成十进制的形1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是 ( ) A. 29－2 B. 28－1 C. 28－2 D. 27－1 (11111111)2= 1×27+1×26+1×25…+1×20= 28－1.B变变:电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示关系如下表所示：观察二进制为观察二进制为1位数、位数、2位数、位数、3位数时，对应的十位数时，对应的十进制的数，当二进制为进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中位数时，能表示十进制中的最大数是的最大数是_____.十十进进制制12345678…二二进进制制1 10111001011101111000…1818.如图，第n个图形由第n+2边形“扩展〞而来的.记第n个图形的顶点数为an (nN*)，那么an = 　．(n+2)(n+3)19. 给定数列1，2+3+4，5+6+7+8+9， 10+11+12+13+14+15+16，……，那么这个数列的一个通项公式是 ( )n=2n2+3n－n=n2+5n－5 n=2n3－3n2+3n－n=2n3－n2+n－2 C( 1 )， (2+3+4 )，(5+6+7+8+9 ) ，(10+11+12+13+14+15 + 16 )…( ？ … ？ )，( ？ …？) (n－1)2an= [(n－1)2+1+n2](2n－1)=2n3－3n2+3n－114916(n－1)2+1n21920.将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组： {1}， {3，5，7}， {9，11，13，15，17}，…(第一组) (第二组) (第三组) 那么1991位于第_____组中. (91年高中数学竞赛题)21.如图，如图，OA1=1，直角三角直角三角形形OAnAn+1 (n=1，2，3，…)的直角边的直角边AnAn+1 = ， 记记an=OAn (n=1，2，3，…)，则数列的通项公式为则数列的通项公式为______.OA1A2A3A4A5A61an2+1 － a2n=n2006年深圳市高三年级第一次调研考试年深圳市高三年级第一次调研考试1622.数列{an}对任意自然数n都满足a2n+2=anan+4，且a3=2，a7=4，那么a15=____.a3， a5 ， a7， a9 ， a11， a13， a15成等比数列成等比数列.20☻。