6.2.3-6.2.4组合与组合数（课件）-(新版高中数学课件教案学案习题人教A版选择性必修第三册).pptx

人教2019A版 选择性必修 第三册,第六章 计 数 原 理 6.2.3- 6.2.4 组合与组合数,学习目标,1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别 2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中. 3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.,问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？,分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况： 甲乙、甲丙、乙丙.,问题探究,从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？,一、组合的相关概念 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 名师点析排列与组合的区别与联系 (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素. (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.,概念解析,1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？,概念辨析,（1）与顺序无关，是组合问题； （2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。

例5.平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？,分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.,典例解析,解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为 4 2 =43=12.这12条有向线段分别为 , , , , , , , , , , , . （2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数， 共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.,问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？ 进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？,问题探究,二、组合数与组合数公式 1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数, 用符号 表示.,例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为 3 2 ， 从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为 4 2 .,概念解析,思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数 4 3 ，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数 4 3 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数 4 3 =4.,问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？,问题探究,也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数 4 3 ” 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有 4 3 种不同的取法；第2步，将取出的3个元素做全排列，共有 3 3 种不同的取法.于是，根据分布乘法计数原理有 4 3 = 4 3 3 3 即 4 3 = 4 3 3 3 =4.,同样的从个不同对象中取出个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从个不同对象中取出 个，有 种选法； 第二步将选出的 个对象做全排列，有 种排法. 由分步乘法计数原理有 = ，所以 = = 1 (1) 1 21 = ! ! 上述公式称为组合数公式.,概念解析,例6.计算： （1） 10 3 ；（2） 10 7 ；（3） 10 10 ；（4） 10 0 .,解:根据组合数公式，可得 C 10 3 = A 10 3 A 3 3 = 1098 321 =120; C 10 7 = 10! 7! 107 ! = 10987 7!3! =120； (3) C 10 10 = A 10 10 A 10 10 = 10! 10! =1; (4) C 10 0 =1;,典例解析,观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？,归纳总结,分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.,跟踪训练,典例解析,例7. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？,分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数； （2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得； （3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得,组合问题的基本解法 (1)判断是否为组合问题; (2)是否分类或分步; (3)根据组合的相关知识进行求解.,归纳总结,跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加; (5)甲、乙、丙三人至少1人参加.,分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.,跟踪训练,变式： 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?,解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个. 答案:B,当堂达标,1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,A.4 B.5 C.6 D.7,答案:C,3.若集合A=a1,a2,a3,a4,a5,则集合A的子集中含有4个元素的子集共有个.,解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为 5 4 =5. 答案:5,4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?,课堂小结,。