初中数学几何题(超难)及答案分析.doc

第 1 页 共 15 页几何经典难题1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF ． （初三）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝ ∠PDA＝15 0．求证：△PBC 是正三角形． （初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A 1B1C1D1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点．求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形． （初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F ．求证：∠DEN ＝ ∠F ．5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OM⊥BC 于 M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60 0，求证：AH＝AO． （初三）APCDBA FGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDM B·ADH EM CBO第 2 页 共 15 页PCGFBQADE6、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA⊥MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及D、E ，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q．求证：AP＝AQ． （初三）7、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q．求证：AP＝AQ． （初三 ）8、如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点P 是 EF 的中点．求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半． （初二）·GAODBECQP NM·OQPBDECNM ·A第 3 页 共 15 页9、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE ∥AC，AE＝AC，AE 与 CD 相交于 F．求证：CE＝CF． （初二）10、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE ∥AC，且 CE＝CA，直线 EC 交 DA 延长线于 F．求证：AE＝AF． （初二）11、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PF⊥AP，CF 平分∠DCE．求证：PA＝PF． （初二）12、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于B、D．求证：AB＝DC ，BC＝AD． （初三）AFDECBEDACBFDFEP CBAO DBFAECP第 4 页 共 15 页13、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB ＝4，PC＝5．求：∠APB 的度数． （初二）14、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA．求证：∠PAB ＝ ∠PCB． （初二）15、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． （初三）16、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AE＝CF．求证：∠DPA ＝∠DPC． （初二）17、设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点，L＝PA ＋PB＋PC，求证： ≤L＜2．APCBPA DCBCBDAFPDE CBA第 5 页 共 15 页18、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋PB ＋PC 的最小值．19、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a ，PB＝2a，PC ＝3a，求正方形的边长．20、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB ＝80 0，D、E 分别是 AB、AC 上的点，∠DCA＝30 0，∠EBA＝20 0，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCBAACBPD第 6 页 共 15 页解答1.如下图做 GH⊥AB,连接 EO。

由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF ∽△OGE,可得 = = ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证EOGFHCD2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边 △，从而可得△DGC≌△APD ≌△CGP, 得出 PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝15 0所以∠DCP=30 0 ，从而得出△PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点，连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB 2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=90 0 和1∠GEB 2+∠Q=90 0,所以∠GEB 2=∠GFQ 又∠B 2FC2=∠A 2EB2 ，可得△B 2FC2≌△A 2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+ ∠HB 2F=900 和∠GFQ=∠EB 2A2 ,从而可得∠A 2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形第 7 页 共 15 页4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

5.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得∠BOC=120 0，从而可得∠BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证第 8 页 共 15 页6.证明：作 E 点关于 GA 的对称点 F，连 FQ、FA ，FC，∵OA⊥ MN，EF⊥OA，则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP= ∠FAQ ，FA=EA ，∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180-∠FCD，∵∠PAF=180-∠FAQ，∴∠FCD=∠FAQ，∴FCAQ 四点共圆，∠AFQ= ∠ACQ=∠BED，在△EPA 和△FQA 中∠PEA=∠QFAAF=AE∠PAE=∠QAF，∴△EPA≌△FQA，∴AP=AQ．7.作 OF⊥CD，OG⊥BE，连接 OP，OA，OF，AF ，OG，AG，OQ由于 ，2ADCFDBEBG==由此可得△ADF≌△ABG ，从而可得 ∠AFC=∠AGE 第 9 页 共 15 页又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE= ∠AOQ ，∠AOP= ∠AOQ ，从而可得 AP=AQ。

8.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH可得 PQ= 2EGFH+由△EGA ≌△ AIC，可得 EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得 FH=BI从而可得 PQ= = ，从而得证2AIB+9.顺时针旋转△ADE，到△ ABG，连接 CG.由于∠ABG=∠ADE=90 0+450=1350从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB推出 AE=AG=AC=GC，可得△AGC 为等边三角形∠AGB=30 0，既得∠EAC=30 0，从而可得∠A EC=750又∠EFC=∠DFA=45 0+300=750.第 10 页 共 15 页可证：CE=CF10.连接 BD 作 CH⊥DE，可得四边形 CGDH 是正方形由 AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=30 0，所以∠CAE=∠CEA= ∠AED=15 0，又∠FAE=90 0+450+150=1500，从而可知道∠F=15 0，从而得出 AE=AF11.作 FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出 GFEC 为正方形令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X tan∠BAP=tan∠EPF= = ，可得 YZ=XY-X2+XZ，XYZ-+即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，得到 PA＝PF ，得证 。

第 11 页 共 15 页12.证明：作 CQ⊥PD 于 Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以 PC2=PQ•PO（射影定理），又 PC2=PE•PF，所以 EFOQ 四点共圆，∠EQF= ∠EOF=2∠BAD，又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，而 CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC ，因为∠AEC=∠PQC=90°，故 B、 E、C、 Q 四点共圆，所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2 ∠EOF=∠BAD，∴CB∥AD ，所以 BO=DO，即四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=DC，BC=AD．13.顺时针旋转△ABP 600 ，连接 PQ ，则△PBQ 是正三角形可得△PQC 是直角三角形所以∠APB=150 0 14.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等） 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证第 12 页 共 15 页15.在 BD 取一点 E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：= ，即 AD•BC=BE•AC， ①BCAD又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得= ，即 AB•CD=DE•AC， ②由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。

16.过 D 作 AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由 = = ，可得：ADES2BCDFSA= ，由 AE=FC2AEPQA可得 DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC （角平分线逆定理） 17.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，第 13 页 共 15 页即如下图：可得最小 L= ；（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出 AD>AP ①又 BP+DP>BP ②和 PF+FC>PC ③又 DF=AF ④由①②③④可得：最大 L< 2 ；由（1）和（2）既得： ≤L＜2 18.顺时针旋转△BPC 60 0 ，可得△PBE 为等边三角形既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF第 14 页 共 15 页既得 AF= = = 213()4+3+42= = 2(1)= 。

62+19.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： 第 15 页 共 15 页既得正方形边长 L = = 22()()a+A52a+A20.在 AB 上找一点 F，使∠BCF=60 0 ，连接 EF，DG，既得△BGC 为等边三角形，可得∠DCF=10 0 , ∠FCE=20 0 ,推出△ABE≌△ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 推出 ： △ FGE 为等边三角形 ，可得∠AFE=80 0 ，既得：∠DFG=40 0 ①又 BD=BC=BG ，既得∠BGD=80 0 ，既得 ∠DGF=40 0 ②推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ，从而推得：∠FED= ∠BED=30 0 。