湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学 Word版含解析.docx

2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知为虚数单位，的虚部为（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知，则，其虚部为.故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5【答案】B【解析】【分析】先根据平均数求的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值.【详解】因为.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为，所以这组数据的第60百分位数为：.故选：B3. 直线：，：，若，则实数的值为（ ）A 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.【详解】因为：，：垂直，所以，解得或，将，代入方程，均满足题意，所以当或时，.故选：.4. 为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（ ）（取，）A. 100.8m B. 33.6m C. 81.6m D. 57.12m【答案】D【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可.【详解】在中，，，所以，又，由正弦定理得：.在中，.故选：D5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)A. P在圆外B. P在圆上C. P在圆内D. P与圆的位置关系不确定【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意得，所以点在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图： 以为基底，则，，所以.因为.所以.所以.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. ，则；B. 若点、、、共面，点、、、共面，则点、、、、共面；C. 若，则事件与事件是对立事件；D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为；【答案】D【解析】【分析】举反例说明ABC不成立，根据古典概型的算法判断D是正确的.【详解】对A：若，，则，但不成立，故A错误；对B：如图：四面体中，是棱上一点，则点、、、共面，点、、、共面，但点、、、、不共面，故B错误；对C：掷1枚骰子，即事件：点数为奇数，事件：点数不大于3，则，，，但事件、不互斥，也不对立，故C错误；对D：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有种选法，这三条线段能构成一个三角形的的选法有：，，共3种，所以条线段能构成一个三角形的的概率为：，故D正确.故选：D8. 动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合图形，计算出，由点平面，得出点的轨迹为圆弧，利用弧长公式计算即得.【详解】 如图，易得平面,因平面，则，不妨设，则, ，解得，又点平面，故点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆弧,故其长度为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为；B. 已知，，若直线：与线段有公共点，则；C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为；D. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则．【答案】BD【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A的真假；数形结合求的取值范围判断B的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求判断D的真假.【详解】对A：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为”成立的前提是两条直线的斜率都存在且不为0，若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A是错误的.对B：如图：对直线：，表示过点，且斜率为的直线，且，，由直线与线段有公共点，所以：或，即或，进而得：.故B正确；对C：过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为或，故C错误；对D：“圆上恰有3个点到直线的距离等于1”可转化为“圆心1,0到直线的距离等于1”.由.故D正确.故选：BD10. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ；B. 当是靠近的三等分点时，，，共面；C. 当时，；D. 的最小值为．【答案】BCD【解析】【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假.【详解】以为基底，则，，,.对A：因为.所以，故A错误；对B：当是靠近的三等分点，即时，，又，所以.故，，共面.故B正确；对C：因为，所以：，所以，故，故C正确；对D：设，.因为：.所以，.当时，有最小值，为：，故D正确.故选：BCD11. 已知是圆：内一点，其中，经过点的动直线与交于，两点，若AB的最小值为4，则（ ）A. ；B. 若AB=4，则直线的倾斜角为；C. 存在直线使得；D. 记与的面积分别为，，则的最大值为8．【答案】ACD【解析】【分析】根据点在圆内，列不等式，可求的取值范围，在根据弦AB的最小值为4求的值，判断A的真假；明确圆的圆心和半径，根据，可求直线的斜率，进而求直线的倾斜角，判断B的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求的最大值，判断D的真假.【详解】对A：由.此时圆：.因为过点的弦AB的最小值为4，所以，又，由.故A正确；对B：因为，，所以直线的斜率为，其倾斜角为，故B错误；对C：当AB=4时，如图：，，所以，所以为锐角，又随着直线斜率的变化，最大可以为平角，所以存在直线使得.故C正确；对D：如图：直线与圆交于、两点，链接，，因为，，所以.所以.又，，且.所以，当且仅当，即时取“”.故D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出为定值，再结合三角形的面积公式求的最大值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数、满足，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】根据几何意义为圆上的点与距离的平方，找出圆上的与的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设，，则为圆上的点，圆的圆心O0,0,半径，则表示圆上的点与距离的平方，又因为,所以；故的最大值是.故答案为：.13. 记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理对化简，可得，再由三角形面积公式求出，根据题意写出，等式两边平方后，可求出的值，由余弦定理，求出的长.【详解】,由正弦定理可得:，，，,，即,，,得，∵，∴，，即，由，解得或，根据余弦定理，当时，，此时，不满足题意，当时，.故答案为：.14. 如图，已知四面体的体积为，，分别为，的中点，、分别在、上，且、是靠近的三等分点，则多面体的体积为______．【答案】##【解析】【分析】多面体的体积为三棱锥与四棱锥的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接，，因为为AD上的靠近的三分点，所以，因为为AB的中点，所以点到AD的距离为点到AD的距离的一半，所以，又为CD上靠近的三分点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的13，所以，，所以，所以多面体的体积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】样本中男生的人数为：；女生的人数为：.所以总样本的平均数为：.【小问2详解】记总样本的方差为，则.所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求直线的方程．【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）设，则，代入，求解即可；（2）设直线的方程为：，在直线取点，利用点到直线的距离等于点到直线的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点在直线上，所以设，所以中点，又因为点在直线上，所以，解得，所以；【小问2详解】解：因为，设直线的方程为：，又因为，所以直线的方程为：，又因为的角平分线所在的直线方程为，在直线取点，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即有，整理得，解得：或，当时，所求方程即为直线的方程，所以，所以直线的方程为： .17. 直三棱柱中，，其中分别为棱的中点，已知，（1）求证：；（2）设平面与平面的交线为直线，求直线与直线所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接证得四边形为平行四边形，得到，利用，证得，得到，即可证得；（2）根据题意，证得平面，得到，以A为原点，建立空间直角坐标系，求得，再取的中点，延长交于点，得到直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为的中点，可得，且，又因为，且，所以，且，所以四边形平行四边形，所以，在正方形中，可得，所以，因为，所以，中，可得，所以，又因为，所以.【小问2详解】解：在直三棱柱中，可得平面，因为平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，即直三棱柱的底面为等腰直角三角形，以A为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图。