2021年勾股定理在中考中的几种新题型.docx

学习必备 欢迎下载勾股定理在中考中的几种新题型一、逆向摸索型例 1 如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有 AB 、CD 、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）（ A ） CD 、EF、GH （B ） AB 、EF 、GH（ C） AB 、CD 、GH （D ）AB 、CD 、EF图 1解： 在 Rt△ EAF 中， AF=1 ， AE=2 ，依据勾股定理，得EF AE 2AF 222 12 5同理 AB2 2，GH13， CD 2 5运算发觉 〔5〕2〔2 2 〕 2〔 13〕2 ， 即 AB 2EF 2GH 2 ，依据勾股定理的逆定理得到 AB 、EF、GH 为边的三角形是直角三角形；应选（ B）；二、探究规律型例 2 如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作其次个正方形 ACEF ，再以其次个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH ，如此下 去 ；（ 1）记正方形 ABCD 的边长 a1 1 ，依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2 ，a3 ，a4 ， ， an ，求出 a2 ，a3 ，a4的值；（ 2）依据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式；图 2解： （ 1）由于四边形 ABCD 为正方形，图形中有多个等腰直角三角形所以依据勾股定理 AC AB 2 BC 2 2同理 AE=2 ， EH 2 2学习必备 欢迎下载由于 a11 〔 2 〕0 ，a23〔 2 〕1 ，a42 〔 2 〕 2 ， a2 2 〔2 〕 3（ 2）依据以上规律，第 n 个正方形的边长 an〔 2 〕n1 （n1） （n 是自然数）三、展面助解型例 3 如下列图 1 为一上面无盖的正方体纸盒， 现将其剪开展成平面图， 如图 2 所示； 已知绽开图中每个正方形的边长为 1；（ 1）求在该绽开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？（ 2）试比较立体图中∠ BAC 与平面绽开图中∠ B A C 的大小关系？1解：（ 1）在平面绽开图中可画出最长的线为 10 ；如图 3－2 中的 A C ，在 Rt△ A C D中由于 C D1， A D 3由勾股定理得： A CC D2A D2 1 9 10答：这样的线段可画 4 条（另三条用虚线标出）2（ 2）由于立体图中∠ BAC 为平面等腰直角三角形的一锐角，所以∠ BAC=45 ；在平面绽开图 3－ 3 中，连接线段 B C （如图 3－4），由勾股定理可得：A B 5，B C 5又由于 A B 2B C2A C2由勾股定理的逆定理可得△ A B C 为直角三角形又由于 A B B C 所以△ A B C 为等腰直角三角形所以∠ B A C 45 所以∠ BAC 与∠ B A C 相等学习必备 欢迎下载四、观图解答型在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）；已知斜放置的三个正方形的面积分别是1 、 2 、 3 ， 正 放 置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是 S1、S2 、S3 、S4 ，就S1 S2S3 S4= ；图 4解： S1 代表面积为 S1 的正方形的边长的平方， S2 代表面积为 S2 的正方形的边长的平方，又 S1S2 代表斜放置的正方形 1 的边长的平方和，故 S1S2 =斜放置的正方形 1 的面积；同理 S3S4 =斜放置的正方形 3 的面积；所以 S1 S2S3 S4 1 3 ；五、折叠构造型例 5（ 2004 年江苏省无锡市）如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G；假如 M 为 CD 边的中点，求证： DE： DM ： EM=3 ：4： 5；图 5解： 由折叠知， EM=EA ，设 CD=2a所以 DE 2a EM，DM a在 Rt△EDM 中， EM 2DE 2DM 2学习必备 欢迎下载所以 EA2 〔2a EA〕2 a 25解得 EA a 43所以 ED a 43 5所以 DE ： DM ： EM a： a： a4 43： 4 ： 5 ；六、剪拼操作型例 6（ 1）四年一度的国际数学家大会于 2002 年 8 月 20 日在北京召开； 大会会标如图 6 甲；它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形； 如大正方形的面积为 13，每个直角三角形两条直角边的和是 5，求中间小正方形的面积；（ 2）现有一张长为 6.5cm、宽为 2cm 的纸片，如图 6 乙，请你将它分割成 6 块，在拼合成一个正方形；（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并说明相应数据）图 6解：（ 1）设直角三角形的较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，就小正方形的边长为a b ；由题意得a b 5 ①由勾股定理，得 a 2 b 2 13 ②① 2－②得 2ab所以 〔a b〕 212a2 b 2 2ab13 12 1 ③即所求的中间小正方形的面积为 12（ 2）所拼成的正方形的面积为 6.5 2 13〔 cm由③得 a b 1〕 ，所以可依据图甲制作；由①、③组成方程组解得 a 3，b 2结合题意， 每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片 6.5cm 的长边上截取， 去掉四个直角三角形后， 余下的面积为 13 12方形面积；于是，得到以下分割拼合方法：3 2 4 13 12 1〔 cm2 〕 ，恰好等于中间的小正学习必备 欢迎下载图 7七、阅读懂得型例 7 阅读材料并解答问题： 我国是最早明白和应用勾股定理的国家之一， 古代印度、 希腊、阿拉伯等很多国家也都很重视对勾股定理的讨论和应用， 古希腊数学家毕达哥拉斯第一证明白勾股定理，在西方勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理”；关于勾股定理的讨论仍有一个很重要的内容是勾股数组， 在《几何》 课本中我们已经明白到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数成为勾股数”； 以下是毕达哥拉斯等学派讨论出的确定勾股数的两组方法：方法 1：如 m 为奇数（ m 3 ），就 a=m， b 1 〔m221〕和c1 〔m221) 是勾股数；方法 2：如任取两个正整数， m 和 n（ m>n ），就 a m2n 2 ，b2mn， c m2n 2 是勾股数；（ 1）在以上两种方法中任选一种，证明以 a、b、c 为边长的△ ABC 是直角三角形；（ 2）请依据方法 1 和方法 2 按规律填定以下表格：勾 m 3 5 111 2股 〔m 1〕21 24 12 60弦 〔m 1〕25 13 61m 2 3 3 4 4 4 5 5 6n 1 2 1 3 2 1 4 3 5a=m2－ n2 3 5 8 7 12 15 9 16 11b=2mn 4 12 6 24 16 8 40 30 60c=m2＋ n2 5 13 10 25 20 17 41 34 61（ 3）某园林治理处要在一块绿地上植树，使之构成如图 8 所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成； 要求每个三角形顶点处都植一棵树， 各边上相邻两棵树之间的距离均为 1 米，假如每个三角形最短边上都植 6 棵树， 那么这四个直角三角形的边上共需植树 棵；图 8学习必备 欢迎下载解： （ 1）选方法 1：由于 a m， b1 〔 m221〕， c1 〔m2 1〕2所以 a 2 b2 m2[ 1 〔m22 1〕] 2m2 m2m21 m441 〔m441 〔m241 〔m241 〔m441 m441 m222m21〕21〕22m2 1〕1 m2 12 4141〕c2 12 2 1 2 2[ 〔m 21〕] 〔m 1〕4所以 a 2 b2 c2故依据勾股定理的逆定理得到以 a、b、c 为边长的△ ABC 是直角三角形；（ 2）依据方法 1 可填：勾 7、股 24、弦 25 和勾 9、股 40、弦 41；依据方法 2，当 m=5， n=2 时， a、b、 c 分别可填； 21、20、29；当 m 5，n 1 时， a、b、 c 分别可填： 24、10、26；（ 3）由于相邻两树间的距离均为 1 米，每个三角形最短边上都植 6 棵，这 6 棵中包括两端的 2 棵，去掉 1 棵，最短边应为 5 棵，其余两边分别为 12 棵、 13 棵；该图案由四个全等的直角三角形组成，共需植树 4八、类比猜想型〔5 12 13〕120 棵；例 8△ABC 中， BC=a，AC=b ，AB=c ，如∠ C=90，如图 9（1），依据勾股定理，就a 2 b 2c2 ；如△ ABC 不是直角三角形，如图 9（ 2）和 9（ 3），请你类比勾股定理，试猜想 a 2 b 2 与 c2 的关系，并证明你的结论；图 9解： 如△ ABC 是锐角三角形，就有 a 2 b 2 c2学习必备 欢迎下载222如△ ABC 是钝角三角形，∠ C 为钝角，就有 a b c当△ ABC 是锐角三角形时图 10证明： 过点 A 作 AD ⊥BC ，垂足为 D，设 CD 为 x ， 就有 BD a x依据勾股定理，得 b2 x2AD 2c2 〔a x〕 2即 b 2 x2c2 a 22ax x2所以 a 2 b2 c2 2ax由于 a>0， x>0 ，所以 2ax 0所以 a 2 b。