2025年高考数学二轮复习课时精讲必刷小题11　数　列（含解析）.doc

必刷小题11　数　列一、单项选择题1．(2023·赣州统考)已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5等于(　　)A．7 B．10 C．11 D．13答案　C解析　设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15，解得a1＝3，d＝2，故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.2．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a14等于(　　)A．46 B．48 C．50 D．52答案　C解析　由题意得a＝a2a6＝(a3－4)(a3＋3×4)，解得a3＝6，所以a14＝a3＋11×4＝50.3．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则a10等于(　　)A．64 B．32 C．16 D．8答案　B解析　∵数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n，∴a1a2＝2，解得a2＝2.当n≥2时，＝2，即＝2，所以···＝24，所以＝24，故a10＝25＝32.4．(2023·漳州模拟)已知数列为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则a10等于(　　)A．30 B．±30 C．40 D．±40答案　C解析　令bn＝，设数列的公比为q，因为a4＝2，a8＝16，所以b4＝＝，b8＝＝2，又b8＝b4q4，所以q4＝＝4，得到q2＝2，所以b10＝＝b8q2＝4，所以a10＝40.5．(2024·榆林联考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长度的2倍，则需要的时间为(　　)A．4天 B．5天 C．6天 D．7天答案　A解析　由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，∴蒲的生长构成首项为4，公比为的等比数列，其前n项和为Sn＝＝8－n－3，又由莞第一天长高一尺，每天长高为前一天的两倍，则莞的生长构成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为Tn＝＝2n－1，又∵Tn＝2Sn，∴2n－1＝2×，解得n＝4或n＝0(舍去)．6．若数列{an}满足a1＝1，＝＋1，则a9等于(　　)A. B. C．210－1 D．29－1答案　B解析　因为a1＝1，＝＋1，所以＋1＝2，又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2n，即an＝，所以a9＝.7．小明同学在研究数列{an}时，发现其递推公式an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即如果该数列{an}的前两项分别为a1＝1，a2＝2，其前n项和记为Sn，若a2 026＝m，则S2 024等于(　　)A．2m B. C．m＋2 D．m－2答案　D解析　由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，得an＝an＋2－an＋1(n∈N*)，所以S2 024＝a2 024＋a2 023＋a2 022＋…＋a3＋a2＋a1＝(a2 026－a2 025)＋(a2 025－a2 024)＋(a2 024－a2 023)＋…＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＝a2 026－a2＝m－2.8．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S－3nan＋1＝Sn(Sn＋2·3n)，则S2 023等于(　　)A．32 023－1 B.C. D.答案　C解析　由题意得，S－3n(Sn＋1－Sn)＝Sn(Sn＋2·3n)，则S－S＝3n(Sn＋1＋Sn)，又{an}都为正项，则Sn>0，故Sn＋1－Sn＝3n，所以S2 023－S2 022＋…＋S3－S2＋S2－S1＝32 022＋…＋32＋3＝，所以S2 023－S1＝S2 023－2＝，故S2 023＝.二、多项选择题9．已知正项等比数列{an}的公比为q，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则下列说法正确的是(　　)A．q2＝3 B．a＝4C．a4a6＝2 D．n＝12答案　BD解析　正项等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得a＝4，a＝12，故B正确；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，故A错误；而a5＝，则a4a6＝a＝2，故C错误；由an＋1an＋2an＋3＝324，得a＝324，即(a2qn)3＝324，因为a＝4，因此q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，显然q>1，所以3n＝36，解得n＝12，故D正确．10．记Sn为等比数列{an}的前n项和，则(　　)A.是等比数列B．{anan＋1}是等比数列C．Sn，S2n，S3n成等比数列D．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列答案　AB解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则有＝q，所以＝＝，所以是以为公比的等比数列，故A正确；＝q2，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故B正确；若公比q＝－1，则S2n＝0，所以Sn，S2n，S3n不能构成等比数列，故C错误；若公比q＝－1，且n为偶数，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都等于0，此时不能构成等比数列，故D错误．11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且d≠0，a1，a4，a6成等比数列，则(　　)A．S19＝0B．a9＝0C．当d<0时，S9是Sn的最大值D．当d>0时，S10是Sn的最小值答案　ACD解析　因为a1，a4，a6成等比数列，所以a1a6＝a，即a1(a1＋5d)＝(a1＋3d)2，整理得a1d＝－9d2，因为d≠0，所以a1＝－9d，所以a10＝a1＋9d＝0，则S19＝＝19a10＝0，故A正确，B错误；当d<0时，{an}是递减数列，此时a1>a2>…>a9>a10＝0>a11>…，所以当n＝9或n＝10时，Sn取得最大值，即(Sn)max＝S9＝S10，故C正确；当d>0时，{an}是递增数列，此时a1n，m，n∈N*)；②{an}是递增数列．答案　2n(符合kn(k>0)的形式即可)解析　假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为a1，由性质①可得a1＋(m－n－1)d＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d，整理得a1＝d，即an＝a1＋(n－1)d＝dn，再根据②可知，公差d>0，取d＝2，显然an＝2n满足题意．(符合kn(k>0)的形式即可)16．已知向量序列：a1，a2，a3，…，an满足如下条件：|a1|＝4|d|＝2,2a1·d＝－1且an－an－1＝d(n＝2,3,4，…)．若a1·ak＝0，则k＝________；|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…中第________项最小．答案　9　3解析　因为an－an－1＝d(n＝2,3,4，…)，所以an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，…，a2－a1＝d，累加得an＝a1＋(n－1)d，所以ak＝a1＋(k－1)d，则a1·ak＝a＋(k－1)a1·d＝0，即4－＝0，解得k＝9；an＝a1＋(n－1)d，即a＝|an|2＝[a1＋(n－1)d]2＝－(n－1)＋4(n∈N*)，易知当n－1＝－＝2，即n＝3时，|an|取得最小值．。