(大学物理电路分析基础）第3章电阻电路的一般分析法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,第3章 电阻电路的一般分析法,3.1 网络图论的根本概念3.2 独立的KCL和KVL方程3.3 支路分析法3.4 网孔分析法3.5 节点分析法3.6 回路分析法3.7 割集分析法3.8 电路的对偶特性与对偶电路3.9 练习题及解答提示习题3,第3章 电阻电路的一般分析法,上一章学习了等效变换的分析方法， 由于这种分析方法要改变电路的结构， 因此在求解一些复杂电路时， 这种分析方法就不够方便， 而且没有一定的规律 　　本章将介绍电阻电路的一般分析法 所谓一般分析法是指适用于任何线性网络并具有普遍性和系统化的分析方法 其特点是不改变电路结构， 分析过程有规律 其分析步骤为： 先选择电路变量(电流或电压)， 再根据KCL、 KVL及元件的VCR建立以电路变量为变量的方程， 解方程求得电路变量， 最后由电路变量求出待求响应本章以电阻电路为对象介绍支路分析法、 网孔法、 节点法、 回路分析法和割集分析法这几种一般分析法， 它们均适用于任何线性网络 最后还将介绍电路的对偶特性与对偶电路在电路分析中， 可将图论作为数学工具来选择电路独立变量， 列出与之相应的独立方程。

图论在电路中的应用也称为“网络图论〞 网络图论为电路分析建立了严密的数学根底并提供了系统化的表达方式， 更为利用计算机分析、 计算、 设计大规模电路问题奠定了根底 本节主要介绍有关网络图论的根本概念3.1 网络图论的根本概念,,1． 线图,基尔霍夫定律分别反映了网络的连接方式所构成的各支路电流之间的约束关系和各支路电压之间的约束关系， 它与网络元件的性质无关 因此， 在研究网络的支路电流或支路电压之间的关系时， 可以不考虑构成网络的元件的特性， 而只注意网络结构 网络的每条支路可以用线段来代表， 称为拓扑支路， 简称支路 网络中的每一个节点用一个点代替， 称为拓扑节点， 简称节点 这样， 网络便抽象成为了一个图形， 称为网络的拓扑图， 简称线图 例如， 图3-1(b)和(c)均为图3-1(a)所示电路的线图 显然， 线图与网络的结构相同 ,,,,图3-1 电路图、 有向图和无向图,2．有向图与无向图 　　如果网络的各支路电流与电压取关联参考方向， 那么可在对应线图的各支路上用箭头表示出该参考方向， 这样得到的线图称为有向图， 如图3-1(b)所示； 不标出参考方向的线图称为无向图， 如图3-1(c)所示。

　　3. 子图　　给定线图G和Gs， 如果Gs的每个节点都是G的节点， Gs的每条支路都是G 的支路， 那么称Gs是G的子图 换句话说， 从图G 中去掉局部支路或节点， 可得到图G的子图Gs 如图3-2所示， G1、 G2、 G3、 G4都是图G 的子图 其中G4仅含一个节点图3-2 线图G及其子图,4. 连通图和非连通图 　　如果一个线图的任意两个节点之间至少存在一条由支路构成的路径， 那么这样的线图称为连通图， 否那么称为非连通图(习惯上把仅有一个节点的线图也称为连通图) 如图3-3所示， 其中图(a)是连通图， 图(b)是非连通图 显然， 非连通图至少有彼此别离的两个局部图3-3 连通图与非连通图,5. 树与补树,连通图G的子图T如果满足以下条件， 就称为G的一个树：　　(1) T是连通图； 　　(2) T包含G 的所有节点； 　　(3) T中没有任何回路 　　给定连通图G确定树T之后， 属于树T的支路称为树支， 不属于树T的支路称为连支 由连支组成的集合称为T的余树或补树 图3-4给出了线图G的几个树图3-4 线图G和它的几个树,显然， 对于一个给定的连通图， 其树的形式有很多种。

可以证明： 一个具有,n,个节点，,b,条支路的连通图G， 有,n,n－,2,个不同的树(证明从略), 且树支数为,n－,1条， 连支数为,b－,(,n－,1)条 ,,6. 割集 　　连通图G的一组支路集合， 如满足： ① 去掉这组支路集合(保存节点), 连通图将分成两个独立局部； ② 保存其中任一支路， 连通图G仍为连通图， 那么称这组支路集合为割集 　　 通常可以用一个封闭面包围连通图G的一局部， 使得连通图G的一局部在此封闭面外， 另一局部在此封闭面内， 那么割集即为与此封闭面相交且仅相交一次的支路的集合 割集是有方向的 　　图3-5给出了一些割集的例子 图3-6给出了一些非割集的例子图3-5 割集示例,,,图3-6 非割集示例,假设将被封闭面包围的局部看成一个广义节点， 那么一个割集对应一个广义节点， 对割集可列KCL方程， 如图3-5(a)所示的割集， 有　　　　　　　　　　－i2－i3－i7+i8=0 　当支路电流的参考方向与割集方向一致时取正， 相反取负7. 根本回路 　　线图G的树选定后， 由于树是连通的且不构成回路， 因此给该树加上一条连支， 就会出现一个回路。

该回路由这个连支和连支两个端点间经过假设干树支的唯一通路组成， 通常将这样只含一条连支的回路称为根本回路 一般约定， 根本回路的方向与它所含连支的方向一致图3-7 线图G的基本回路,由于线图的树有多种选法， 相应的根本回路组也有多种选法， 因此树的选择不同， 得到的根本回路组也不同， 但它们的根本回路数量都是相同的 　　　　对于n个节点、 b条支路的连通图G, 有n－1条树支和b－(n－1)条连支， 每条连支对应一个根本回路 故根本回路数与连支数一样， 也应为b－(n－1) 图3-7给出了线图G的根本回路， 图中粗实线表示树支8. 根本割集 　　线图G的树选定后， 由于树是线图的连通子图， 因此线图的任意一个割集至少要包含一条树支 通常将只含有一条树支的割集称为根本割集， 且一般规定： 根本割集的方向与它所含树支方向一致 　　与根本回路类似， 树的选择不同， 得到的根本割集也不同 树有多种选法， 相应的根本割集也有多种选法， 但它们的根本割集数目都是相同的 　　对于n个节点、 b条支路的连通图， 其树支数为n－1， 每一条树支对应一个根本割集， 因此应该有n－1个根本割集。

　　图3-8给出了线图G的根本割集， 其中粗实线表示树支 ,,,,,图3-8 线图G的基本割集,图3-9所示电路为一个具有4个节点、 6条支路的电路3.2 独立的KCL和KVL方程,,,图3-9 4个节点、 6条支路的电路,对4个节点列KCL方程得：,,,(3-1),节点A：,,节点B：,,节点C：,,节点D：,上述4个方程是不独立的， 其中任意一个方程等于其余3个方程取负相加； 但假设去掉(3-1)方程中的任一个(如第4个)， 那么剩余的3个节点方程中， 每一个方程含有一个其余两个方程所没有的支路电流变量 以选节点A、 B和C的KCL方程为例， i1、 i5和i2分别为各方程所独有的支路电流变量， 因此是一组独立方程 通常将独立KCL方程所对应的节点称为独立节点， 被删去的方程所对应的节点称为非独立节点或参考节点 因此， 对于如图3-9所示的具有4个节点的电路， 其独立节点数和独立的KCL方程数为4－1=3将上述结论推广至一般情况： 对于具有n个节点的电路， 其独立节点数和独立的KCL方程数为n－1 　　从以上分析可以看出， 为了得到独立的KCL方程， 可以先确定独立的节点。

一般， 对于给定电路先选定参考节点， 其余节点即为独立节点， 对独立节点列KCL方程， 那么可得一组独立的KCL方程 　　又由3.1节知， 假设我们将每个根本割集看成一个广义节点， 那么对每个根本割集可列一个KCL方程 由于每个根本割集的KCL方程中包含一个其它方程所没有的树支电流变量， 因此对根本割集所列出的KCL方程组也是独立的3.2.2 独立的KVL方程,对图3-9所示电路中的每个回路列KVL方程, 电路有7个回路， 故可得7个KVL方程3-2),回路ABDA：,,回路BCDB：,,回路ACBA：,,回路ABCDA：,,回路ACBDA：,,回路ACDBA：,,回路ACDA：,(1),,(2),,(3),,(1)+(2),,(1)+(3),,(2)+(3),,(1)+(2)+(3),显然上述7个方程是不独立的， 其中后4个方程可由前3个方程导出， 而前3个方程(即该电路的3个网孔的KVL方程)由于分别独立含有,i,1,、,i,2,和,i,3,支路电流变量， 因此这3个方程是独立的 通常将独立的KVL方程所对应的回路称为独立回路 因此， 对于图3-9 所示的具有4个节点、 6条支路的电路， 其独立回路数和独立的KVL方程数为6－(4－1)=3。

　　将上述结论推广至一般情况： 对于具有,n,个节点、,b,条支路的连通网络， 其独立回路数和独立的KVL方程数为,L,=,b,－(,n,－1)从以上分析可以看出， 网络的回路数大于独立回路数， 因此， 为了得到独立的KVL方程， 就有一个如何选择独立回路的问题 比较方便的方法就是利用3.1节介绍的 “树〞的概念来寻找网络的独立回路组， 从而得到独立的KVL方程组 对于给定网络， 我们可以首先确定树， 从而得到根本回路， 对每个根本回路可列一个KVL方程， 由于每个方程含有一个其它方程所没有的连支电压变量， 因此根据根本回路所列出的KVL方程组是独立方程， 相应的根本回路为一组独立的回路 由于选择不同的树就可以得到不同的根本回路， 因此， 对于一个给定网络， 独立回路数是一定的， 但独立回路的选取不是唯一的可以证明， 对于具有,n,个节点、,b,条支路的平面连通网络， 有,m,=,b－,(,n－,1)个网孔， 恰好等于独立回路数， 并且网孔就是独立回路， 由网孔列出的KVL方程是独立的 因此， 为方便起见， 对平面网络通常选网孔为独立回路 图3-9所示电路有三个网孔， 对应三个独立回路， 按网孔列出的KVL方程即为独立方程， 如方程组(3-2)的(1)、 (2)、 (3)三个方程。

　　综上所述， 对于具有,n,个节点、,b,条支路的连通网络， 有,n－,1个独立节点， 可列出,n－,1 个独立的KCL方程； 有,L,=,b－,(,n－,1)个独立回路， 可列出,L,=,b－,(,n－,1)个独立的KVL方程支路分析法是直接以支路电流或支路电压作为电路变量， 应用两类约束关系， 列出与支路数相等的独立方程， 先解得支路电流或支路电压， 进而求得电路响应的电路分析方法 在支路分析法中， 假设选支路电流为电路变量， 那么称为支路电流法； 假设选支路电压为电路变量， 那么称为支路电压法 我们以支路电流法为例来介绍支路分析法3.3 支 路 分 析 法,下面以图3-10所示具有2个节点、 3条支路的电路为例介绍支路电流法 设各支路电流的参考方向如图3-10所示 由于电路有3条支路， 故有3个支路电流变量， 解出这3个变量需3个独立的方程 对于2个节点、 3条支路组成的电路， 有2－1=1个独立节点， 对应可列出1个独立的KCL方程； 有3－(2－1)=2个独立回路， 对应可列出2个独立的KVL方程 因此， 可列出的独立方程数为(2－1)+［3－(2－1)］=3， 恰好等于待求的支路电流数， 联立求解这3个方程可求得各支路电流。

假设为平面网络， 那么每个网孔即为一个独立的回路因此对于图3-10所示电路， 假设去掉节点B， 那么节点A为独立节点， 由其可列独立的KCL方程为　　　　　　　　　　　　i1－i2－i3=0 ( 3-3) 　　选择网孔作为独立回路， 且选顺时针方向作为回路的绕行方向， 那么得独立的KVL方程为,,,(3-4),,,图3-10 支路分析法示例,联立求解式(3-3)、 式(3-4)， 可求得各支路电流 　　由此可归纳出用支路电流分析法分析电路的步骤如下：  　 (1) 确定各支路电流的参考方向；  　(2) 对独立节点列出,n－,1个独立的KCL方程； 　 　 (3) 选,b－,(,n－,1)个独立回路(对平面网络， 通常取网孔为独立回路)， 对独立回路列出,b－,(,n－,1)个以支路电流为变量的KVL方程；  　 (4) 联立求解上述,b,个独立方程， 解得各支路电流， 并以此求出其它响应例3-1 在图3-11所示电路中， 试用支路电流法求出各支路电流和支路电压uAB 　　解 设各支路电流的参考方向如下图。

由于电路的节点数n=2， 故其独立节点数为2－1=1， 假设选A为独立节点， 那么由KCL得　　　　　　　　　　　i1+i2+i3=0　　由于电路为平面网络， 故可选网孔为独立回路， 根据KVL得：　　网孔Ⅰ －5+4i1－5i3+1=0　　网孔Ⅱ －10i2+2－1+5i3=0,,,,,图3-11 例3-1题图,联立KCL和KVL方程， 可解得：,i,1,=0.5 A,,i,2,=－0.5 A,,i,3,=－0.4 A进一步求解得,u,AB,=－5,i,3,+1=－5×(－0.4)+1=3 V 　　支路电压分析法与支路电流分析法类似， 由于支路电压分析法选支路电压为电路变量， 因此独立的KCL方程中的各支路电流均应利用支路的伏安关系而用支路电压表示， 然后连同支路电压的独立KVL方程， 可得到以支路电压为变量的,b,个独立方程， 联立求解即可得各支路电压， 进一步求解可得其它响应支路分析法的优点是对未知支路电流或支路电压可直接求解， 缺点是需联立求解的方程数目较多， 且方程的列写无规律可循 因此， 我们希望适中选择一组电压或电流变量， 这组变量数必须最少， 从而使得所需联立求解的独立方程数目最少， 同时电路中所有的支路电压、 电流变量都能很容易地用这些变量来表示， 进而可求出电路中的其他响应。

3.4 网 孔 分 析 法,由线性代数知识可知， 满足此要求的变量必须是一组独立的、 完备的变量 “独立的〞是指这组变量之间无线性关系 具体而言， 即假设是一组独立的电流变量， 那么各电流变量之间不受KCL约束； 假设是一组独立的电压变量， 那么各电压变量之间不受KVL约束 “完备的〞是指电路中其他变量都能用这组变量表示 网孔电流便是这样的一组电流变量 　　网孔分析法是以网孔电流为电路变量， 直接列写网孔的KVL方程, 先解得网孔电流， 进而求得响应的一种平面网络的分析方法3.4.1 网孔电流,1. 网孔电流的定义,所谓网孔电流(mesh current)， 是指平面网络中沿着网孔边界流动的假想电流， 如图3-12 所示的,i,m1,、,i,m2,和,i,m3, 对于有,n,个节点、,b,条支路的平面网络， 有,m,=,b－,(,n－,1)个网孔， 因而有,m,个网孔电流2. 网孔电流的完备性和独立性　　1) 完备性　　对于图3-12所示平面网络， 假设各支路电流的参考方向如下图， 那么支路电流与网孔电流有以下关系：,,,(3-5),,,图3-12 网孔分析法示例,可见， 所有的支路电流都能用网孔电流表示， 网孔电流一旦求得， 所有支路电流随之求得， 进一步可求得电路中的其它响应。

所以， 网孔电流是一组完备的电流变量 ,,2) 独立性　　由于每一网孔电流流经某节点时， 从该节点流入又流出， 因此在KCL方程中彼此相消 如图3-12所示， 节点A的KCL方程为　　　　　　　　　　－,i,1,－,i,2,－,i,4,=0　　将式(3-5)代入上式， 得到网孔电流表示的KCL方程为　　　　　　－(－,i,m1,)－,i,m2,－(,i,m1,－,i,m2,)=0上式恒为零， 对于其他节点也有类似的结果 故网孔电流不受KCL约束， 具有独立性 因此， 网孔电流是一组独立且完备的电流变量3.4.2 网孔方程　　为了求出m个网孔电流， 必须建立m个以网孔电流为变量的独立方程 由于网孔电流不受KCL约束， 因此只能根据KVL和元件的VCR列方程 由3.2节知， 网孔是独立回路， 故对各网孔所列的KVL方程是一组独立的KVL方程 假设将KVL方程中的各支路电压用网孔电流表示， 那么可得到m个以网孔电流为变量的独立方程， 该组方程称为网孔方程， 联立解网孔方程， 即可求得网孔电流 下面以图3-12为例来说明网孔方程的建立设各网孔电流的参考方向均为顺时针方向， 那么可得各网孔的KVL方程为,,,(3-6),网孔Ⅰ：,,网孔Ⅱ：,,网孔Ⅲ：,将式(3-5)代入式(3-6)， 并整理得：,,,(3-7),网孔Ⅰ：,,网孔Ⅱ：,,网孔Ⅲ：,上述方程就是图3-12所示电路的网孔方程， 联立求解网孔方程， 可得网孔电流,i,m1,、,i,m2,和,i,m3,。

　　为了找出系统化地列写网孔方程的方法， 现将式(3-7)改写成如下的一般形式：,,(3-8),式中， 方程左边主对角线上各项的系数,R,11,=,R,1,+,R,4,+,R,6,，,R,22,=,R,2,+,R,4,+,R,5,，,R,33,=,R,3,+,R,5,+,R,6,分别为网孔Ⅰ、 网孔Ⅱ和网孔Ⅲ所含支路的电阻之和， 称为自电阻　　方程左边非对角线上各项的系数,R,12,=,R,21,=－,R,4,，,R,13,=,R,31,=－,R,6,，,R,23,=,R,32,=－,R,5,分别为网孔Ⅰ与网孔Ⅱ、 网孔Ⅰ与网孔Ⅲ和网孔Ⅱ与网孔Ⅲ公共支路上的电阻， 称为互电阻 当各网孔电流均取顺时针方向或均取逆时针方向时， 其值为对应两网孔公共支路电阻的负值方程右边各项　　　　usm1=us1－us6，usm2=us5，usm3=us6－us3－us5分别为各网孔中沿网孔电流方向电压源电压升的代数和　　由以上分析可得， 对网络直接列写网孔方程的规那么为：,,对于具有,n,个网孔的网络， 其网孔方程的一般形式可表示为,(3-9),3.4.3 网孔分析法的一般步骤　　综上所述， 用网孔分析法分析电路的一般步骤如下： 　　(1) 设定网孔电流的参考方向(通常网孔电流同时取顺时针方向或同时取逆时针方向)； 　　(2) 按直接列写规那么列写网孔方程； 　　(3) 解网孔方程， 求得网孔电流； 　　(4) 进一步由网孔电流求得待求响应。

3.4.4 网孔分析法在电路分析中的应用,下面举例说明网孔分析法在电路分析中的应用1. 含独立电压源电路的网孔分析　　例3-2,试用网孔分析法求图3-13所示电路中的电流,i,1,、,i,2,图3-13 例3-2题图,解 该电路有三个网孔， 设三个网孔的网孔电流im1、 im2、 im3的参考方向如图3-13所示 利用网孔方程的直接列写规那么， 得三个网孔的网孔方程为：　　网孔Ⅰ (2+1+1)im1－2im2－im3=2+4　　网孔Ⅱ －2im1+(2+2+2)im2－2im3=0　　网孔Ⅲ －im1－2im2+(1+1+2)im3=8－4,,将以上三个方程联立， 可解得：,i,m1,=3.2 A,,i,m2,=2 A,,i,m3,=2.8 A　　进一步求解得,i,1,=,i,m3,=2.8 A,,i,2,=,i,m1,－,i,m2,=1.2 A,,2. 含独立电流源网络的网孔分析　　在用网孔分析法分析含有独立电流源的网络、 建立网孔方程时， 由于电流源两端的电压不能直接用网孔电流表示， 因此， 假设电路中有电流源， 那么在列网孔方程时应根据电流源出现形式的不同分别进行如下处理： 　　(1) 电路中假设含有有伴电流源， 那么可利用诺顿电路与戴维南电路的等效变换， 先将诺顿电路等效为戴维南电路， 再列网孔方程。

2) 假设电路中含有无伴电流源， 且该无伴电流源为某一网孔所独有， 那么与其关联网孔的网孔电流假设参考方向与电流源方向一致， 那么等于该电流源的电流， 否那么为其负值， 同时该网孔的网孔方程可省去　　(3) 假设电路中含有无伴电流源， 且该无伴电流源为两个网孔所共有， 那么可将该电流源看做电压源， 设其两端电压为未知量， 再按列写网孔方程的一般规那么写出网孔方程， 同时应增加用网孔电流表示该电流源电流的辅助方程例3-3,电路如图3-14(a)所示， 试用网孔分析法求电压,u,图3-14 例3-3题图,,解,由于3 A电流源与,R,串联， 故该支路可等效为3 A电流源； 由于5 A电流源与电阻1 Ω构成诺顿电路， 因此可将其等效为戴维南电路 等效以后的电路及各网孔电流的参考方向如图3-14(b)所示 又由于无伴电流源2 A为网孔Ⅱ所独有， 且,i,m2,的方向与2 A的参考方向一致， 故,i,m2,=2 A, 相应网孔Ⅱ的网孔方程可省去 而电流源3 A为两个网孔所共有， 故将其两端电压设为,u,x,， 在列网孔方程时， 将其视为电压为,u,x,的电压源处理 图示电路的网孔方程为：　　网孔Ⅰ (1+5),i,m1,－5,i,m2,=5－,u,x,网孔Ⅱ,i,m2,=2 A　　网孔Ⅲ －2,i,m2,+(2+3),i,m3,=,u,x,辅助方程,i,m3,－,i,m1,=3 A,,将以上四个方程联立求解， 得：　　由元件的VCR得,,,,3. 含受控源网络的网孔分析,用网孔分析法分析含有受控源的电路， 在列网孔方程时， 可先把受控源作为独立电源看待， 列写方程， 最后再增加用网孔电流表示控制量的辅助方程。

例3-4,用网孔分析法求图3-15所示电路的电流,i,图3-15 例3-4题图,解 设电路中各网孔电流如下图 电路中含有受控源， 列方程时将其看做独立源处理， 列出该电路的网孔方程为：　　网孔Ⅰ (2+4)im1－4im2=12　　网孔Ⅱ －4im1+(4+6)im2=2i1　　辅助方程 i1=im1,,将以上方程联立求解， 得:所以,i,=,i,m2,=2 A　　最后必须指出， 由于只有平面网络才有网孔的概念， 因此网孔分析法只适用于平面网络i,m2,=2 A,3.5.1 节点电压　　1. 节点电压的定义　　所谓节点电压(node voltage)， 是指在网络中任选一点作为参考节点， 其余节点与参考节点之间的电位差 习惯上节点电压的参考极性均以参考节点为负极， 且参考节点用符号“⊥〞表示3.5 节 点 分 析 法,参考节点的电位一般设为零 显然， 对于具有n个节点的电路， 去掉一个参考节点， 那么有n－1个节点电压 以图3-16所示电路为例， 它有4个节点， 假设选节点4为参考节点， 那么其余3个节点对参考节点的电压分别为un1、 un2和un3, 即为这3个节点的节点电压。

图3-16 节点分析法示例,2. 节点电压的完备性与独立性　　1) 完备性　　由于电路中的任一支路都连接在两个节点上， 根据KVL， 不难断定支路电压就是两个节点电压之差 如图3-16所示电路， 假设选节点4为参考节点， 那么节点1、 2和3的节点电压分别为un1、 un2及un3 设各支路电流的参考方向如图3-16所示， 且各支路电压、 电流选择关联参考方向， 那么各支路电压与节点电压具有如下关系：,,u,1,=,u,n1,，,u,2,=,u,n2,，,u,3,=,u,n3,，,u,4,=,u,n1,－,u,n2,,u,5,=,u,n2,－,u,n3,，,u,is1,=－,u,n1,，,u,is2,=,u,n3,，,u,is3,=,u,n1,－,u,n3,　　可见， 所有支路电压都能用节点电压表示， 节点电压一旦求得， 所有支路电压随之求得， 进一步可求得电路中的其他响应 所以， 节点电压是一组完备的电压变量2) 独立性　　由于节点电压是节点与参考节点之间的电位差， 仅仅由节点电压不能构成闭合回路(如图3-16所示)， 因此各节点电压相互间不受KVL约束， 具有独立性。

所以， 节点电压是一组独立的电压变量3.5.2 节点方程　　为了求出n－1个节点电压， 必须建立n－1个以节点电压为变量的独立方程 由于节点电压不受KVL约束， 因此只能根据KCL和元件的VCR列方程 由3.1节介绍， 对于n个节点的网络， 去掉一个参考节点， 剩下的n－1个节点即为独立节点， 对各独立节点所列的n－1 个KCL方程为一组独立的KCL方程 假设将KCL方程中的各支路电流用节点电压表示， 那么可得到n－1个以节点电压为变量的KCL方程， 该组方程即称为节点方程， 联立解节点方程， 即可求得节点电压下面以图3-16为例说明节点方程的建立 　　设节点4为参考节点， 那么可得独立节点1、 节点2和节点3的KCL方程为,,,(3-10),节点1,,节点2,,节点3,将上式各支路电流用节点电压表示， 得,,,(3-11),将式(3-11)代入式(3-10)并整理， 得,,,(3-12),节点1,,节点2,,节点3,上述方程组是对图3-16的每个独立节点所列的以节点电压为变量的KCL方程， 称为图3-16的节点方程 联立求解节点方程， 可得节点电压,u,n1,、,u,n2,及,u,n3,。

为了找出列写节点方程的一般规律， 现将式(3-12)改为如下一般形式：,,(3-13),该式中， 方程左边主对角线上各项的系数,G,11,=,G,1,+,G,4,，,G,22,=,G,2,+,G,4,+,G,5,，,G,33,=,G,3,+,G,5,分别为与节点1、 2、 3相连的所有支路的电导之和， 称为节点1、 2、 3的自电导方程左边非对角线上的各项系数,G,12,=,G,21,=－,G,4,，,G,13,=,G,31,=0，,G,23,=,G,32,=－,G,5,分别为节点1与节点2、 节点1与节点3、 节点2与节点3公共支路上的电导之和的负值， 称为互电导 (注： 此处由于节点1和节点3之间没有相连的电导支路， 故,G,13,=,G,31,=0),,方程右边的isn1、 isn2、 isn3分别代表流入节点1、 2、 3的所有电流源电流的代数和， 如isn1=is1－is3 　　由以上分析可得， 由网络直接列写节点方程的规那么为,,将式(3-13)节点方程的一般形式进一步推广， 可得对于具有,n,个节点的网络， 其节点方程的一般形式为,(3-14),3.5.3 节点分析法的一般步骤　　综上所述， 用节点分析法分析电路的一般步骤如下： 　　(1) 选定参考节点， 标注节点电压； 　　(2) 对各独立节点按节点方程的直接列写规那么列写节点方程； 　　(3) 解方程求得节点电压； 　　(4) 由节点电压求所求响应。

3.5.4 节点分析法在电路分析中的应用,下面举例说明节点分析法在电路分析中的应用1. 含独立电流源电路的节点分析,,例3-5,用节点分析法求图3-17所示电路的电压,u,图3-17 例3-5题图,解 选节点3为参考节点， 标以接地符号“⊥〞， 设其余两个独立节点的节点电压分别为un1和un2， 如下图 由节点方程的直接列写规那么得如下节点方程：　　节点1　　节点2,,,联立求解， 得,u,n1,=21 V，,u,n2,=35 V故,u,=,u,n1,－,u,n2,=－14 V,,,2. 含独立电压源网络的节点分析,在用节点分析法分析含有独立电压源网络并建立节点方程时， 由于流过电压源的电流不能直接用节点电压表示， 因此， 当电路中出现电压源时， 应根据电压源在网络中出现的形式的不同来分别进行处理 其处理方法为： 　　(1) 电压源以戴维南电路形式出现时， 可利用戴维南电路与诺顿电路的等效变换， 先将戴维南电路等效为诺顿电路， 再列节点方程2) 假设电压源是无伴的， 那么在选参考节点时可将该电压源的一端所连节点选为参考节点， 其另一端所连节点的节点电压就等于该电压源的电压或为其负值。

相应地， 该节点的节点方程可省去　　(3) 假设电压源是无伴的， 且在选参考节点时该电压源两端所连节点均不能选为参考节点， 那么在列节点方程时， 首先将该电压源看做电流源， 设流过该电压源的电流为ix， 再按直接列写规那么列写节点方程， 最后列写用节点电压表示电压源电压的辅助方程例3-6,电路如图3-18(a)所示， 试用节点分析法求电流,i,图3-18 例3-6题图,解 由于1 V电压源与3 S电导构成戴维南电路， 故首先将该戴维南电路等效为诺顿电路， 等效以后的电路如图3-18(b)所示 选4.5 V无伴电压源“+〞极所连节点4为参考节点， 那么4.5 V电压源“－〞极所连节点1的节点电压为un1=－4.5 V, 同时该节点的节点方程可省去 而无伴电压源22 V的两端均不与参考节点相连， 故在列写节点方程时， 将其看成电流为ix的电流源来处理， 且设其电流ix参考方向如图3-18(b)所示 图示电路的节点方程为：,,节点1,u,n1,=－4.5 V　　节点2 －3,u,n1,+(1+3),u,n2,=3－,i,x,节点3 －4,u,n1,+(4+5),u,n3,=25+,i,x,辅助方程,u,n2,－,u,n3,=－22　　联立求解, 得,u,n1,=－4.5 V,,u,n2,=－15.5 V,,u,n3,=6.5 V故由图3-18(a)得,i,=3×(,u,n1,－,u,n2,+1)=36 A,,,3. 含受控源网络的节点分析,在用节点分析法分析含有受控源的电路并建立节点方程时， 可先将受控源作为独立源看待来列写节点方程， 最后增加用节点电压表示控制量的辅助方程。

例3-7,电路如图3-19所示， 试用节点分析法求电流,i,1,和,i,2,图3-19 例3-7题图,解 选节点3为参考节点， 如下图 电路中含有受控电流源， 列方程时将其看做独立源处理， 那么可得该电路的节点方程为：　　节点1 (1+1)un1－un2=4　　节点2 －un1+(1+1)un2=－2i1　　辅助方程　　联立求解得节点电压： 　 　　　　　　　un1=1.6 V,　un2=－0.8 V故,,,,3.6.1 连支电流　　1． 连支电流的定义　　对于给定电路， 首先确定树， 从而得连支， 进而得连支电流及根本回路， 并假想连支电流在其对应的根本回路中连续流动， 故又称为回路电流 由前面学习可知， 对于具有n个节点、 b条支路的网络， 有m=b－(n－1)个连支， 故对应有相同数目的连支电流3.6 回 路 分 析 法,2. 连支电流的完备性与独立性　　1) 完备性　　由3.1节介绍可知， 对于n个节点、 b条支路的连通网络， 选定树后， 其每一个根本割集只包含一条树支， 其余都是连支 因此， 假设对根本割集列KCL方程， 那么方程中只有一个树支电流变量， 其余均为连支电流变量。

故树支电流可用连支电流表示 如图3-20(a)所示的电路， 假设选树如图3-20(b)中粗实线所示， 即支路3、 4、 5为树支， 支路1、 2、 6为连支， 那么各树支电流用连支电流表示为,,i,3,=－,i,1,－,i,2,，,i,4,=,i,6,－,i,2,，,i,5,=－,i,1,－,i,6,(3-15) 　　可见， 电路中所有的支路电流可用连支电流表示， 连支电流一旦求出， 所求支路电流也可求得， 进一步可求得电路的其它响应 所以， 连支电流是一组完备的电流变量图3-20 回路分析法示例,2) 独立性　　由于每一连支电流在其相应的根本回路中连续流动， 故连支电流流经某一节点时， 从该节点流入又流出， 在KCL方程中彼此相消 例如， 图3-20(a)中A节点的KCL方程为　　　　　　　　　　　i1+i2+i3=0　　　 (3-16)将式(3-16)中的树支电流用连支电流表示， 得到连支电流的KCL方程为　　　　　　　　　i1+i2+(－i1－i2)=0上式恒为零， 对于其它节点， 有类似的结果 故连支电流不受KCL约束， 具有独立性。

综上所述， 连支电流是一组独立而完备的电流变量3.6.2 回路方程　　下面以图3-20(a)所示电路为例推导以连支电流为变量的根本回路方程的建立， 并得一般形式 该电路对应有向线图如图3-20(b)所示 　　设选树如图3-20(b)中粗实线所示， 即支路3、 4、 5为树支， 支路1、 2、 6为连支， 那么对各根本回路可列写以下KVL方程：,,(3-17),回路Ⅰ,,回路Ⅱ,,回路Ⅲ,将式(3-17)中的树支电流用式(3-15)的连支电流表示， 并整理得：,,,(3-18),式(3-18)即为对图3-20(a)的每个根本回路所列写的以连支电流为变量的KVL方程， 称为图3-20的回路方程 联立求解回路方程， 可得连支电流i1、 i2、 i6， 进一步可求得其它响应 　　为了找出列写回路方程的一般规律， 将式(3-18)改为如下一般形式：,,,(3-19),与网孔分析法类似， 用Rii表示第i个根本回路所包含的所有电阻之和， 称为自电阻， 如R11=R1+R3+R5表示回路Ⅰ的自电阻 用Rij表示两个根本回路公共支路上的电阻， 称为互电阻 互电阻可正可负， 当公共支路上相关的两个根本回路的回路方向一致时， 互电阻即为公共支路上所含电阻和的正值， 如R13=R5表示回路Ⅰ和Ⅱ的互电阻； 当公共支路上相关的两个根本回路的回路方向相反时， 互电阻即为公共支路所含电阻和的负值， 如R23=－R4, 表示回路Ⅱ和Ⅲ的互电阻。

用usli表示第i个回路沿着回路方向所含电压源电压升的代数和由以上分析可得直接列写回路方程的规那么为　　综上所述可以看出， 回路方程与网孔方程的列写方法类似： 回路分析法适用于平面和非平面网络， 而网孔法只适合平面网络 网孔分析法是回路分析法的特例3.6.3 回路分析法分析电路的步骤　　综上所述， 用回路分析法分析电路的一般步骤可归纳如下： 　　(1) 选树， 确定连支电流， 得根本回路及回路方向； 　　(2) 对各根本回路用直接列写规那么列写回路方程； 　　(3) 联立求解回路方程， 得连支电流； 　　(4) 由连支电流进一步求所求响应用回路分析法分析电路时应注意以下几点： 　　 (1) 当运用回路分析法分析含受控源网络时， 可先将受控源看成独立源进行处理， 列写回路方程， 最后增加辅助方程 列写辅助方程的原那么是将受控源的控制量用连支电流表示出来　　 (2) 为减少连支电流变量数， 在选树时尽量将电流源支路选为连支　　(3) 为减少转换计算量， 在选树时尽量将受控源控制量所在支路和待求响应所在支路选为连支3.6.4 回路分析法在电路分析中的应用,例3-8,试用回路分析法求图3-21(a)所示电路中的支路电流,i,5,。

图3-21 例3-8题图,解 该电路对应的线图如图3-21(b)所示 由于支路3、 4、 5分别为电流源和受控源控制量所在支路， 如图中细实线所示， 因而选这3条支路为连支； 又由于根本回路Ⅰ的连支电流为0.4i5， 根本回路Ⅱ的连支电流为24 A, 故只有一个未知的连支电流变量i5 所以， 只需对连支5所在根本回路Ⅲ列回路方程， 即　　　　　(10+15+5)×i5－10×24+5×0.4i5=0故 　　　　　　　i5=7.5 A,,3.7.1 树支电压　　1. 树支电压的定义　　对于给定电路， 首先确定树， 从而得树支， 进而得根本割集及树支电压， 并假设各根本割集的方向与其所含树支电压的方向一致 由3.1节介绍可知， 对于具有n个节点的网络， 有n－1条树支， 因此对应有相应数目的树支电压3.7 割 集 分 析 法,2. 树支电压的完备性与独立性　　1) 完备性　　由3.1节介绍可知， 对于具有n个节点、 b条支路的连通网络， 选定树后， 由于每一个根本回路包含一条连支， 故对每个根本回路所列的KVL方程中只含有一个连支电压变量， 其余都是树支电压， 因此连支电压可用树支电压表示。

如图3-22(a)所示电路， 假设选树如图3-22(b)中粗实线所示， 即支路2、 4、 5为树支， 支路1、 3、 6、 7为连支， 那么各连支电压可用树支电压表示为,,,u1=－u6=u2+u4，u3=u2+u4－u5，u7=u4－u5 (3-20) 可见， 所有的支路电压均可用树支电压表示， 树支电压一旦求出， 那么连支电压也可求得， 进一步求解可得电路的其它响应 所以， 树支电压是一组完备的电压变量图3-22 割集分析法示例,2) 独立性　　由树的定义知树不包含回路， 故树支电压不受KVL约束， 具有独立性 　　综上所述， 树支电压为一组独立而完备的电压变量3.7.2 割集方程　　下面以图3-22(a)所示电路为例推导以树支电压为变量的根本割集方程的建立， 并得出一般形式 该电路对应有向线图如图3-22(b)所示 　　设选树如图3-22(b)中粗实线所示， 即支路2、 4、 5为树支， 其余为连支， 相应的根本割集及割集方向如下图 对各根本割集可列写以下KCL方程：,,(3-21),割集Ⅰ,,割集Ⅱ,,割集Ⅲ,将式(3-21)中的连支电压用式(3-20)中的树支电压表示， 整理得,,,(3-22),式(3-22)即为图3-22(a)的以树支电压为变量的割集方程。

联立求解割集方程， 可得树支电压,u,2,、,u,4,、,u,5,, 进一步求解可得其它响应 　　为了找出列写割集方程的一般规律， 现将式(3-22)改写为如下一般形式：,,(3-23),与节点分析法类似， 式(3-23)中的,G,ii,表示第,i,个割集所包含的所有支路电导的和， 称为自电导， 如,G,11,=,G,1,+,G,2,+,G,3,表示割集Ⅰ的自电导G,ij,表示第,i,个割集与第,j,个割集公共支路上的电导， 称为互电导， 互电导可正可负 当公共支路上相应两割集,i,、,j,的参考方向一致时， 互电导为公共支路上所含电导之和的正值， 如,G,21,=,G,1,+,G,3,表示割集Ⅰ和Ⅱ的互电导； 当公共支路上两个相关割集的方向相反时， 互电导为公共支路上所含电导之和的负值， 如,G,23,=－,G,3,表示割集Ⅱ和Ⅲ的互电导i,sc,i,表示第,i,个割集所含电流源电流的代数和， 当电流源方向与割集方向相反时取正， 反之为负由以上分析可得直接列写割集方程的规那么为,,,3.7.3 割集分析法分析电路的步骤　　用割集分析法分析电路的一般步骤可归纳如下： 　　(1) 选树， 确定树支电压， 得根本割集及割集方向。

　　(2) 对各根本割集用直接列写法列写割集方程　　(3) 解方程得树支电压 　　　　(4) 由树支电压进一步求所求响应当用割集分析法分析电路时， 应注意以下几点： 　　(1) 假设电路中含有受控源， 那么在列方程时， 先将受控源看成独立源进行处理， 最后增加辅助方程 增加辅助方程的原那么为将受控源的控制量用树支电压表示　　(2) 为减少树支电压数， 在选树时尽量将电压源支路选为树支 　　(3) 为减少转换计算量， 在选树时尽量将受控源控制量所在支路和所求响应所在支路选为树支3.7.4 割集分析法在电路分析中的应用,,例3-9,电路如图3-23(a)所示， 试用割集分析法求支路电流,i,A,图3-23 例3-9题图,解 该电路对应线图如图3-23(b)所示 由于支路1、 2为电压源所在支路， 3为受控源控制量所在支路， 应选这3条支路为树支， 如图中粗实线所示 又由于根本割集Ⅰ的树支电压为6 V, 根本割集Ⅱ的树支电压为12 V, 只有根本割集Ⅲ的树支电压未知， 故只需对根本割集Ⅲ列割集方程， 即解得 　　　　　　　　　　　u1=20 V故,,,3.8.1 电路的对偶特性,电路的对偶特性是指电路中的变量、 元件、 定律等成对出现时， 存在明显的一一对应的关系。

　　例如图3-24(a)、 (b)所示平面网络， 对图(a)网孔列KVL方程有,u,s,=,u,1,+,u,2,=,R,1,i,+,R,2,i,(3-24) 对图(b)节点A列KCL方程得,i,s,=,i,1,+,i,2,=,G,1,u,+,G,2,u,(3-25),,3.8 电路的对偶特性与对偶电路,,,图3-24 平面网络,在这里， 电路变量电压与电流对偶， 电路结构网孔与节点对偶， 电路元件电阻与电导及电压源与电流源对偶， 电路结构串联与并联对偶， 电路定律KVL与KCL对偶 在电路分析中， 将上述这种对偶的变量、 结构、 元件及定律等统称为对偶元素 假设将式(3-24)中的各元素用它的对偶元素替代， 即可得到式(3-25) 在电路分析中， 将这种数学表达式形式相同， 假设将其中一式的各元素用其对偶元素替换， 那么得另一式， 像这样具有对偶性质的关系式称为对偶关系式 　　　　在此应注意： “对偶〞和“等效〞是两个不同的概念， 不可混淆电路的对偶特性是电路的一个普遍特性， 认识这种特性有助于初学者掌握电路的规律， 由此及彼， 学一知二 现将一些常见的对偶元素列于表3-1， 以供参考。

表3-1 电路中常见的对偶元素,3.8.2 对偶电路,考虑图3-25所示两个电路N和N′, 对电路N可列网孔方程为：　　　　　(,R,1,+,R,2,),i,m1,－,R,2,i,m2,=,u,s1,(3-26a)　　　　　－,R,2,i,m2,+(,R,2,+,R,3,),i,m2,=,u,s2,　　 (3-26b) 　　对电路N′可列节点方程为：　　　　　　(,G,1,+,G,2,),u,n1,－,G,2,u,n2,=,i,s1,　　 (3-27a)　　　　　－,G,2,u,n1,+(,G,1,+,G,2,),u,n2,=,i,s2,(3-27b),,比较这两组方程可以看出， 它们形式相同， 对应变量是对偶元素， 因此是对偶方程组 在电路分析中， 把像这样一个电路的节点方程(网孔方程)与另一个电路的网孔方程(节点方程)对偶的两电路称为对偶电路 因此， 电路N与N′是对偶电路 根据对偶性， 假设对某一电路进行了分析， 那么其对偶电路的对偶响应也可同时得到 如图3-25所示两电路， 假设我们令这对对偶电路的对偶元件参数在数值上相等， 即R1=G1, R2=G2, R3=G3, is1=us1，is2=us2， 那么求得电路N中的网孔电流im1后， 电路N′中的节点电压un1便是的。

图3-25 对偶电路,需指出： 当且仅当电路为平面网络时， 才有对偶电路存在 　　那么对于给定电路， 如何求其对偶电路呢？下面介绍常用的一种方法——打点法 其具体步骤如下： 　　(1) 在给定电路N的每一网孔中安放其对偶电路N′的对偶节点， 在外网孔安放N′的参考节点　　(2) 穿过电路N中的每一元件将与该元件相关联的两网孔中的对偶节点相连， 构成电路N′的一条支路， 并在该支路上放上该支路所穿过元件的对偶元件3) 确定对偶电路N′中各电源的参考方向， 在电路N中， 设各网孔的方向为顺时针方向 假设某网孔含有电压源， 且电压源电源升的方向与该网孔方向一致， 那么穿过此电压源的对偶电路N′的支路上的对偶电流源的参考方向为流入该网孔所对偶的节点； 假设某网孔含有电流源， 且电流源的参考方向与该网孔方向一致， 那么穿过此电流源的对偶电路N′的支路上对偶电压源的正极与该网孔所对偶的节点相接　　(4) 整理得对偶电路 　　注： 在求对偶电路时， 假设电路中含有受控源， 那么应将受控源看成独立源进行处理， 且控制量转换为对偶变量例3-10,试用打点法画出图3-26(a)所示电路的对偶电路。

解,(1) 在给定电路的每一网孔中安放其对偶电路的节点， 在外网孔安放对偶电路的参考节点， 如图3-26(b)所示  (2) 穿过原电路的每一元件， 将与该元件相关联的两网孔中的对偶电路的节点相连， 得对偶电路的支路， 并在该支路上放上其所穿过元件的对偶元件， 得对偶电路的元件， 如图3-25(b)所示3) 确定对偶电路中　　、 　、　　及控制量　　的方向  (4) 整理， 得对偶电路如图3-26(c)所示图3-26 例3-10题图,1. 线图如图3-27所示， 试选出3种不同形式的树　　提示： 此题直接利用树的定义选树 此题有两个节点， 故每一树应有3－1＝2条树支  ［(1, 3);(2, 3);(4, 5)］,,3.9 练习题及解答提示,,,图 3-27,2. 线图如图3-28所示, 粗线表示树， 试列举出其全部根本回路和根本割集 　　　提示： 此题直接根据根本回路和根本割集的定义列举根本回路和根本割集图 3-28,3. 图3-29所示电路中， i1=1 A， i2=2 A， 求R1、 R2的值 　　　　提示： 此题可用支路电流法求解。

选支路电流为电路变量， 在列写独立回路的KVL方程时， 应将各支路电压用支路电流表示 ［R1=11 Ω， R2=6 Ω］,,,,图 3-29,4. 试用网孔分析法求图3-30所示电路中的电压u 　　提示： 此题可用网孔分析法求解 首先求出网孔电流， 再求u  ［u=12 V］,,,,图 3-30,5. 试用网孔分析法求图3-31所示电路中的电压u1 　　提示： 此题含有电流源、 受控源， 因此在列网孔方程时应注意： ① 2 A无伴电流源为某网孔独有， 故相应网孔电流即为该电流源电流， 且对应网孔方程省略不列； ② 电路中含有两个受控源， 列方程时受控源看成独立源进行处理， 但需增加两个将控制量i1、 u1分别用网孔电流表示的辅助方程； ③ 电路中的受控电流源3u1为两个网孔共有， 故需设其上的未知电压变量， 以便列写相应网孔KVL方程时将其视为电压源； ④ 还应增加一个将该受控电流源用网孔电流表示的辅助方程 ［u1=－4.5 V］,,,,,图 3-31,6. 试用节点分析法求图3-32所示电路中的电压,u,提示,： ① 由于该电路含有2 V的无伴电压源， 故可将该电压源的一端所连节点选为参考节点， 从而减少方程数; ② 节点方程的系数应为自电导或互电导。

 ［,u,=－2 V］,,,,图 3-32,7. 试列写出求解图3-33所示电路中,u,o,所需的节点方程提示,： 在列写节点方程时， 受控电压源,μu,2,看成独立电压源进行处。