维单位坐标向量组构成的矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,解,n,维单位坐标向量组构成的矩阵,E,=(,e,1,，,e,2,，,，,e,n,),是,n,阶的单位矩阵由|,E,|=1,0,，知,R,(,E,)=,n,，即,R,(,E,)等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的例2,已知,试讨论向量组,1,，,2,，,3,及向量组,1,，,2,的线性相关性解,对矩阵（,1,，,2,，,3,）施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵(,1,，,2,，,3,)及矩阵（,1,，,2,）的秩，由定理 4 即可得出结论1,，,2,，,3,）,=,=,可见,R,(,1,，,2,，,3,)=2,由定理4知向量组,1,2,3,线性相关,；,R,(,1,，,2,)2，向量组,1,2,线性无关,例3,已知向量组,1,2,3,线性无关,令,1,=,1,+,2,2,=,2,+,3,3,=,3,+,1,试证向量组,1,2,3,线性无关证,设有,x,1,x,2,x,3,使,x,1,1,+,x,2,2,+,x,3,3,=,0,即,x,1,(,1,+,2,)+,x,2,(,2,+,3,)+,x,3,(,3,+,1,)=,0,亦即 (,x,1,+,x,3,),1,+(,x,1,+,x,2,),2,+(,x,2,+,x,3,),3,=,0,因,1,2,3,线性无关，故有,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解,x,1,=,x,2,=,x,3,=0，所以向量组,1,2,3,线性无关。

定理5,（1）若向量组 A:,1,2,m,线性相关，则向量组 B,:,1,2,m,m,+1,也线性相关反言之，若向量组 B,线性无关，则向量组 A,也线性无关证:,记,A,=(,1,2,m,),B,=(,1,2,m,m,+1,),有,R,(,B,),R,(,A,)+1,，若向量组A线性相关，则由定理4有,R,(,A,),m,从而,R,(,B,),R,(,A,)+1,m,+1,再由定理4知向量组 B,线,性相关由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组，,则该向量组必线性相关特别地，含有零向量的向量组一,定线性相关一个向量组线性无关，则它的任何部分组都,线性无关2)设,(,j=,1,2,m,),即向量,j,添上一个分量后得向量,j,若向量A:,1,2,m,线性无关,则向量组B:,1,2,m,也线性无关,反言之,若向量组 B,线性相关,则向量组 A,也线性相关.,证,记,A,r,m,=(,1,2,m,),B,(,r+,1),m,=(,1,2,m,),有,R,(,A,),R,(,B,).,若向量组A线性无关，则,R,(,A,)=,m,从而,R,(,B,),m.,但,R,(,B,),m,故,R,(,B,),m,，因此向量组 B,线性无关。

推论 若,r,维的向量线性无关,在,r,维的向量组每个向量都,添上,n-r,个分量，得,n,维的向量组，则,n,维的向量组线性无关3）,m,个,n,维向量组成的向量组，当维数,n,小于向量的,个数,m,时一定线性相关证,m,个,n,维向量,1,2,m,构成的矩阵,A,n,m,=,(,1,2,m,),有,R,(,A,),n.,若,n,m,则,R,(,A,),m,故,m,个向量,1,2,m,线性相关例4,设有向量组,i,T,=(,a,i,a,i,2,a,i,n,),(,i=,1,2,m.m,n,),试证向量组,1,T,2,T,m,T,线性无关，其中,a,1,a,2,a,m,为,m,个互不相等且不等于零的常数证,因为,1,T,=(,a,1,a,1,2,a,1,m,a,1,n,),2,T,=(,a,2,a,2,2,a,2,m,a,2,n,),m,T,=(,a,m,a,m,2,a,m,m,a,m,n,),前,m,个分量作成的行列式,从而向量组,1,T,=(,a,1,a,1,2,a,1,m,),2,T,=(,a,2,a,2,2,a,2,m,),m,T,=(,a,m,a,m,2,a,m,m,),线性无关，所以增加分量后所得的向量组,1,T,2,T,m,T,线性无关。

例5,设,A,是,n,m,矩阵，,B,是,m,n,矩阵，其中,n,m,，若,AB,=,E,，证明,B,的列向量线性无关证,设,B,=(,1,2,n,)，其中,1,2,n,是,B,的列向量，若,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,n,n,=,0,即 （,1,2,n,）,=,B,X,=,0,两边左乘,A,得,AB,X,=,0,，即,E,X,=,0,，从而,X,=,0,，所以,1,2,n,线性无关例6,设向量,可由向量组,1,，,2,，,，,m,线性表示，但不能向量组 (,),1,，,2,，,m,-1,线性表示，记向量组（,）,，,1,，,2,，,m,-1,，则,m,能由（,）线性表示，但不能由(,)线性表示证,由于,可由,1,，,2,，,，,m,线性表示，即,1,1,+,2,2,+,+,m,m,又因为,不能向量组,1,，,2,，,m,-1,线性表示，所以,m,0,，,从而,故则,m,能由（,）线性表示假设,m,能由(,)线性表示，则有,m,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m-,1,m,-1,1,1,+,2,2,+,+,m,m,1,1,+,2,2,+,+,m,(,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m-,1,m,-1,),(,1,+,m,k,1,),1,+(,2,+,m,k,2,),2,+,+(,m,-1,+,m,k,m-,1,),m,-1,这与,不能由(,)线性表示矛盾，故,m,不能由(,)线性表,示。

所以,作业 128页 4、5、8、9。