专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（解析版）.docx

专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（1）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.（2）定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．（3）探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（4）存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．（5）求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由条件可知，再根据离心率求，最后代入，求椭圆方程；（2）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，由三点共线可知，坐标表示斜率后，代入根与系数的关系化简，求直线所过的定点．【解析】（1）由题意得，，所以． 所以椭圆C的方程为．（2）证明：设，则，直线，与椭圆方程联立得，则，．因为点三点共线，所以，即，所以，即，整理得．① 由，代入① 整理得， 所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．2．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点(点在第一象限)，过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【试题来源】广东省中山市2021届高三上学期期末【答案】（1）；（2）是定值，定值为．【分析】（1）根据椭圆离心率为，以及椭圆经过点，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设，题意可知，切线的方程为，过原点且与平行的直线的方程为，求出的坐标，表示出的长，再化简即可得结论．【解析】（1）由题意知，所以椭圆的方程为．（2）设，题意可知，切线的方程为，过原点且与平行的直线的方程为，椭圆的右焦点，所以直线的方程为，联立，所以，所以为定值．3．已知椭圆：的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考【答案】（1）；（2）是定值，定值为．【解析】（1）由题意得， 解得，所以椭圆的方程为．（2）联立，解得，其中，解得．又且，所以或或．设，，则，，所以，即是定值，且定值是．4．已知椭圆的焦距为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上存在两点，，使得的斜率与的斜率之和为，直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．【试题来源】甘肃省2020-2021学年高三第一次高考诊断试卷【答案】（1）；（2）直线过定点．【分析】（1）利用，代入点的坐标可得，再利用可得，则椭圆方程可得；（2）当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆联立，利用的斜率与的斜率之和为以及根与系数关系，可得的关系，代入直线方程可得定点；当直线的斜率不存在时，可得坐标，发现矛盾，舍去．【解析】（1）由题意知，焦点为，故，，故，，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设方程为．代入椭圆方程消去并整理，得（*），设点，，则，．①设直线的斜率与的斜率分别为，，根据，，则，所以，将①代入，整理化简得，即，因为不在直线上，所以，所以，要使（*）方程判别式，即，得，于是的方程为，所以直线过定点．当直线的斜率不存在时，可得，，则由，又联立方程可得，又，矛盾，舍去．综上所述，直线过定点．【名师点睛】直线与椭圆联立问题：第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0．第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．5．已知椭圆的上、下顶点分别为为直线上的动点，当点位于点时，的面积，椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的最短距离为．（1）求椭圆的方程；（2）连接，直线分别交椭圆于（异于点）两点，证明：直线过定点．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由椭圆的上、下顶点，点，的面积，求得b，再由椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的最短距离为，即求解．（2）设，由题意知直线PA，PB的斜率存在，设，分别与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线M，N的方程求解．【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为，点，的面积，所以，基底，因为椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的最短距离为，设是椭圆上任意一点，，则，对称轴，所以在区间上递增，则时，，即，又，解得，所以椭圆方程为．（2）设，由题意得，直线PA，PB的斜率存在，设，由得，由得，所以，化简得，所以直线过定点.6．已知离心率为的椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线的焦点，过点M(4，0)且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求k的取值范围；（3）若k≠0，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：|ON|为定值．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）由题意，而，结合可得，从而得椭圆方程；（2）由直线方程与椭圆方程联立，消元后利用判别式可得的范围；（3）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1，－y1)，由根与系数关系得，写出直线方程，求出点横坐标，代入代入可得．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，则有，又可以求得．于是，椭圆C的方程为．（2）过点M(4，0)且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－4)，由得x2－8k2x＋16k2－1＝0，因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(－8k2)2－4(16k2－1)>0，解得－