圆周运动脱轨和临界问题(教案).pdf

学习必备欢迎下载竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型模型 1： “轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力( 圆圈轨道问题可归结为轻绳类)， 即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图 2 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1) 临界条件：在最高点，绳子( 或圆圈轨道 ) 对小球没有力的作用，vgR0(2) 小球能通过最高点的条件：vgR，当 vgR 时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力 . (3) 小球不能过最高点的条件：vgR，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动 . 模型 2： “轻杆类”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3 所示， ( 小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图 4 所示， ) ：(1) 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0v0(2) 小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当0v时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即Nmg；当 0vgR时，因2vmgNmR, 则2vNmgmR. 轻杆对小球的支持力N 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0mgN当 vgR时，0N；当 vgR时，则2vmgNmR，即2vNmmgR，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零. 小结如果小球带电， 且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度vgR ( 应根据具体情况具体分析) 另外， 若在月球上做圆周运动则可将上述的g 换成g月，若在其他天体上则把g 换成g天体. 二、两种模型的应用【例 1】如图 5 所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h至少应为多少? 图 1 图 2 图 3 图 4 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是vRg临界，根据机械能守恒定律得2122mghmgRmv临界把 vRg临界代入上式得：min52hR【例 2】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电 q 、质量为 m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑， 若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动， 问 A点的高度h至少应为多少 ? 【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B 受到三个力作用: 电场力FqE， 方 向 竖 直 向 上 ； 重 力 mg ； 弹 力 N ， 方 向 竖 直 向 下 由 向 心 力 公 式 ， 有2BvmgNqEmR要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动， 说明小球此时处于临界状态，其速率Bv为临界速度，临界条件是0N由此可列出小球的临界状态方程为2BvmgqEmR根据动能定理，有21() (2 )2BmgqEhRmv解之得：min52hR说明把式中的mgqE换成2BvmR，较容易求出min52hR【例 3】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为 m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少 ? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv为临界速度，临界条件是0N由此可列出小球的临界状态方程为：2BvmgqEmR根据动能定理，有21() (2 )2BmgqEhRmv由上述二式解得：min52hR小 结上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因 为 电 场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关我们不妨可以这样认为，例 2 中的“等效重力加速度1g”比例 1 中的重力加速度g 减小，例3 中的“等效重力加速度2g”比例 1 中的重力加速度 g 增大例 2 中1vRg临界，211122mghmgRmv临界；图 5 图 6 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3 中2vRg临界，222122mg hmgRmv临界把v临界代入各自对应的式子，结果1mg、2mg分别都约去了，故min52hR 【例 4】如图 7 所示，一个带正电q、质量为 m的电荷，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B ( 圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场 ) ，问点 A的高度至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能” 是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B ，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv为临界速率，临界条件是0N，由此可列出小球的临界状态方程为2BBvmgqv BmR2122BmghmgRmv ，由式可得 : 224()2BRm gvqBqBmR因Bv只能取正值，即224()2BRm gvqBqBmR则2222min242()8Rm ghRqBqBRm g【例 5】如图 8 所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点B ( 圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场) ，问点 A的 高 度h至 少 应 为 多少? 【解析】 此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B ，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv为临界速率，临界条件是0N，由此可列出小球的临界状态方程为2BBvmgqv BqEmR21() (2 )2BmgqEhRmv由式可得 : 24()()2BRmvqBqBmgqEmR因Bv只能取正值，即图 7 图 8 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载24()()2BRmvqBqBmgqEmR则222min42()()8 ()RmhRqBqBmgqEm mgqER小结小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是0N【例 6】如图 9 所示， ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径0.2mR的半圆， 两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小35.010 V/mE. 一不带电的绝缘小球甲，以速度0v沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。

已知甲、乙两球的质量均为21.010kgm，乙所带电荷量52.010Cq， g 取210m/s.( 水平轨道足够长，甲、乙两球 可视为质点， 整个运动过程无电荷转移 ) （1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离；（2）在满足 (1) 的条件下求的甲的速度0v；（3）若甲仍以速度0v向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离范围 . 【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为Dv，乙离开 D 点到达水平轨道的时间为t ，乙的落点到B 点的距离为x，则2DvmgqEmR212()2mgqERtmDxv t联立得0.4xm（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有0mvmvmv乙甲2220111222mvmvmv乙甲联立得0vv乙由动能定理，得22D112222mgRqERmvmv乙联立得05()25m/smgEq Rvm（3）设甲的质量为M ，碰撞后甲、乙的速度分别为Mmvv、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有0MmMvMvmv图 9 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2220111222MmMvMvmv联立得02mMvvMm11由11和Mm，可得002mvvv12设乙球过 D 点时速度为Dv，由动能定理得22112222DmmgRqERmvmv13联立1213得2m/s8m/sDv14设乙在水平轨道上的落点距B 点的距离x ，有Dxv t15联立1415得：0.4m1.6mx 【例 7】如图 10 所示，杆长为L ，一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动210m/sg求：(1) 小球在最高点A的速度Av为多少时，才能使杆和小球m的作用力为零? (2) 小球在最高点A时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度分别是多少? (3) 若0.5kgm，0.5mL，0.4m/sAv，则在最高点A和最低点B ，杆对小球m的作用力多大 ? 【解析】 此题属于“轻杆类”若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力mg 提供，根据牛顿第二定律，有：2AvmgmL解得AvgL(2) 若小球m 在最高点A 时，受拉力F ，受力如图11 所示，由牛顿第二定律，有: 21vFmgmL解得1FLvgLgLm若小球 m在最高点 A 时， 受推力 F ， 受力如图 12 所示，由牛顿第二定律， 有: 22vmgFmL解得：2FLvgLgLm可见AvgL 是杆对小球 m的作用力 F 在推力和拉力之间突变的临界速度(3) 杆长0.5mL时，临界速度02.2m/svgL，00.4m/sAvv，杆对小球有推力AF，有2AAvmgFmL，则4.84NAF由 A至 B 只有重力做功，机械能守恒设B 点所处水平面为参考平面, 则2211222ABmvmgLmv , 解得244.5m/sBAvvgL图 10 图 11 图 12 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载在最低点 B ，小球 m受拉力BF，由2BBvFmgmL解得225.3NBBvFmgmL【例 8】如图 13 所示，光滑的圆管轨道AB 部分平直，BC 部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r ，有质量为 m、半径比 r 略小的光滑小球以水平初速度度0v射入圆管. (1) 若要小球能从C 端出来，初速0v多大 ? (2) 在小球从 C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v各应满足什么条件? 图 13 【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”(1) 小球恰好能到达最高点的条件是0Cv，由机械能守恒， 初速度应满足：20122mvmgR ，即04vgR 要使小球能从C 端出来，需0Cv，所以入射速度04vgR(2) 在。