整式的乘法与因式分解知识点及例题.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点整式乘除与因式分解一．学问点 （重点）1．幂的运算性质：m n＝ am＋ n2 2 3a ·a（ m、 n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例： 〔－ 2a〕 〔－ 3a 〕m2． an＝ amn （ m、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： 〔－ a5〕5n3． aba n b n（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例： 〔－ a2b〕3练习：（ 1） 5x 3 2 x2 y（ 2）3ab 〔4b 2 〕（3） 3ab 2a（ 4） yz2 y 2 z 2（ 5） 〔2x 2y〕 3〔 4 xy2 〕（ 6）1 a 3b36a 5b 2 c 〔ac 2 〕 24． am a n ＝ am－ n （a≠ 0， m、n 都是正整数，且 m＞ n）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（ 1） x8÷ x2 （ 2） a4÷ a （ 3）（ ab） 5÷（ ab） 2（ 4）（-a） 7÷（ -a） 5 （ 5） 〔-b〕 5÷ 〔-b 〕25．零指数幂的概念：a0＝ 1 （ a≠ 0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l．例：如〔2a3b〕01 成立，就a, b 满意什么条件？6．负指数幂的概念：1ap－ p＝ a（ a≠ 0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－ p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数．pn也可表示为： mpmn （m ≠0， n≠ 0，p 为正整数）7．单项式的乘法法就：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式．例：（ 1） 3a 2b2 abc1 abc 23（ 2） 〔1 m3n〕 32〔 2m 2 n〕 48．单项式与多项式的乘法法就：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（ 1） 2ab〔5ab23a 2 b 〕（ 2） 〔 2 ab 232ab〕1 ab2 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点（ 3）〔-5m 2 n 〕〔2n 3mn 2 〕（ 4）2〔 xy 2 zxy 2 z3 〕xyz9．多项式与多项式的乘法法就：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（ 1）（1x）〔0.6 x〕（ 2）〔 2 xy 〕〔 x y 〕（3）（ 2mn〕 2练习：1．运算 2x 3· 〔－ 2xy〕〔 － 1 xy〕 3 的结果是 2． 〔3× 10 8〕× 〔－ 4× 10 4〕＝23．如 n 为正整数，且 x 2n＝ 3，就 〔3x 3n〕 2 的值为 4．假如 〔a nb· ab m〕 3＝ a 9b 15，那么 mn 的值是5．－ [ －a2〔2a3－ a〕] ＝ 6． 〔－ 4x22＋ 6x －8〕· 〔－1 2x 〕＝27． 2n〔－1＋ 3mn 〕＝ 8．如 k〔2k － 5〕 ＋2k〔1 － k〕 ＝ 32，就 k＝9． 〔－ 3x 2 〕＋ 〔2x －3y〕〔2x － 5y〕 － 3y〔4x － 5y〕＝10．在 〔ax 2＋ bx－ 3〕〔x 2－ 1 x＋ 8〕的结果中不含 x 3 和 x 项，就 a＝ ，b＝211．一个长方体的长为 〔a＋ 4〕cm，宽为 〔a－ 3〕cm，高为 〔a＋5〕cm ，就它的表面积为 ，体积为 ；12．一个长方形的长是 10cm，宽比长少 6cm，就它的面积是 ，如将长方形的长和都扩大了 2cm，就面积增大 了 ；10．单项式的除法法就：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，就连同它的指数作为商的一个因式．例：（ 1） 28x4y2÷ 7x3y（ 2） -5a5b3c÷ 15a4 b（ 3）（ 2x2y） 3·（ -7xy2）÷ 14x4y311．多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例： 〔1〕〔3x2 y6 xy〕6xy〔 2〕〔5a3b10a 2b 215ab3 〕〔 5ab〕练习：1．运算：4 y2 z31 x2 y 2 ； （2 32） 2 x y3 x2 y2723（ 1） x ；237（ 3） 16 ab 6 4 a2b ． （ 4）4x3 y 2 n2xyn（ 5） 41092 103 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2．运算：名师总结 优秀学问点（ 1） 16x3 y31 x2 y321 xy23； （ 2）32 x2 y521 x2 y231 xy5（ 3）5 an21b221 anb2422 anbn5653．运算：（ 1） 4 xy 5 x y 46 y x 3 xy 2 ； （ 2）16 ab a b23a b a b ．4. 如 〔ax3my12〕 ÷〔3x 3y 2n〕=4x 6y8 , 就 a = , m = ,= ;易错点：在幂的运算中，由于法就把握不准显现错误；有关多项式的乘法运算显现错误；误用同底数幂的除法法就；用单项式除以单项式法就或多项式除以单项式法就出错；乘除混合运算次序出错；12．乘法公式：①平方差公式： （ a＋b）（ a－ b）＝ a2 －b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．②完全平方公式： （ a＋ b） 2＝ a2＋ 2ab＋b2（ a－b）2＝ a2－ 2ab＋b2文字语言表达：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍．例 1： （ 1） 〔7+6x〕〔7-6x〕 ； （ 2）〔3y ＋ x〕〔x-3y〕 ； （ 3） 〔-m ＋ 2n〕〔-m-2n〕 ．2 2 2例 2： 〔1〕 〔x+6〕 〔2〕 〔y-5〕 〔3〕 〔-2x+5〕3练习：41、 a5a 2 = ；x〔x3 y2 〕22〔 x2 y〕3〔 xy2 〕3 ＝ ；4 32 、 6a b3 412a b3 28a b3 22a b （ ） 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点3 、 x2 9 y2〔 x 〕2 ；x2 2 x35 〔 x7〕 （ ）4、已知 x 1x35 ，那么 x13 = ； xx21= ；x5、如9x2mxy16 y2 是一个完全平方式，那么 m 的值是 ；6、多项式 x3x2 , x 22 x 1, x 2x 2 的公因式是 ；7、因式分解：x 38 ；2728、因式分解： 4m2mn1 2n ；49、运算：0.131 80.004 80.0028 ；10、 x 2y2 x y〔 x y〕A ，就 A = 易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式；13．因式分解（难点） 因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．把握其定义应留意以下几点：（ 1）分解对象是多项式，分解结果必需是积的形式，且积的因式必需是整式，这三个要素缺一不行；（ 2）因式分解必需是恒等变形；（ 3）因式分解必需分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、娴熟把握因式分解的常用方法．1、提公因式法（ 1）把握提公因式法的概念；（ 2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情形下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母 —— 各项含有的相同字母；③指数 —— 相同字母的最低次数；（ 3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；其次步是提取公因式并确定另一因式．需留意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一样，这一点可用来检验是否漏项．（ 4）留意点：①提取公因式后各因式应当是最简形式，即分解到“底” ；②假如多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．例：（ 1） 8 a 3b212ab3 c （2） 75 x 3 y535 x2 y42、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -常用的公式：名师总结 优秀学问点①平方差公式： a2 －b2＝ （ a＋ b）（ a－ b）②完全平方公式： a2＋ 2ab＋ b2＝（ a＋ b） 2a2－ 2ab＋ b2＝（ a。