（江苏专版）2023年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）优质课件.ppt

4.3等腰三角形与直角三角形中考数学中考数学(江苏专用)考点考点1 1等腰三角形等腰三角形A A组组 2014-20182014-2018年年江苏江苏中考题组中考题组五年中考1.(2018宿迁,6,3分)若实数m、n满足等式|m-2|+=0,且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长,则ABC的周长是()A.12B.10C.8D.6答案答案B|m-2|+=0,m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,当腰长为2时,三边长为2,2,4,不符合三边关系定理;当腰长为4时,三边长为2,4,4,符合三边关系定理,此时周长为2+4+4=10.故选B.2.(2015苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为B C中点,BAD=35,则C的度数为()A.35B.45C.55D.60答案答案CAB=AC,D为BC中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.3.(2014苏州,6,3分)如图,在ABC中,点D在BC上,AB=A D=DC,B=80,则C的度数为()A.30B.40C.45D.60答案答案B因为AB=AD,所以B=ADB=80,因为DC=AD,所以C=CAD,又因为ADB是ACD的外角,所以ADB=C+CAD=2C,所以C=40,故选B.4.(2018淮安,13,3分)若一个等腰三角形的顶角等于50,则它的底角等于.答案答案65解析解析等腰三角形的顶角等于50,等腰三角形的底角相等,底角等于(180-50)=65.故答案为65.5.(2016镇江,12,2分)有一张等腰三角形纸片,AB=AC=5,BC=3,小明将它沿虚线PQ剪开,得到AQP和四边形BCPQ两 张 纸 片(如图所示),且满足BQP=B,则下列五个数据,3,2,中可以作为长的有个.答案答案3解析解析如图,当PQ过点C时,设BQ=x.BQC=B,A=A,BQCBCA.则=,即=,x=,则AQ=5-=.0AQ0),GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图所示.(1)求图中线段MN所在直线的函数表达式;(2)试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径(EFG)是否可以是一个等腰三角形?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由.解析解析(1)设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b(k0),M,N两点的坐标分别为(30,230),(100,300),解这个方程组,得线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200.(2)可以.第一种情况:考虑FE=FG是否成立.连接EC,AE=x,AD=100,GA=x+200,ED=GD=x+100.又CDEG,CE=CG,CGE=CEG,FEGCGE,FEFG.第二种情况:考虑FG=EG是否成立.四边形ABCD是正方形,BCEG,FBCFEG,假设FG=EG成立,则FC=BC亦成立,FC=BC=100.AE=x,GA=x+200,FG=AE+AG=2x+200,CG=FG-FC=2x+200-100=2x+100,在RtCDG中,CD=100,GD=x+100,CG=2x+100,且CD2+GD2=CG2,1002+(x+100)2=(2x+100)2,解这个方程,得x1=-100,x2=,x0,x=.则当x=时,FG=EG,此时EFG为等腰三角形.第三种情况:考虑EF=EG是否成立.与同理,假设EF=EG成立,则FB=BC亦成立,且BE=EF-FB=2x+200-100=2x+100,在RtABE中,AE=x,AB=100,BE=2x+100,且AB2+AE2=BE2,1002+x2=(2x+100)2,解这个方程,得x1=0,x2=-(均不合题意,舍去),故EFEG.综上所述,当x=时,EFG是一个等腰三角形.解题关键解题关键本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识.应用数形结合、分类讨论思想,根据勾股定理列出方程是解决问题的关键.8.(2017徐州,25,8分)如图,已知ACBC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.解析解析(1)AC=AD,CAD=60,ACD是等边三角形,DC=AC=4.(2)过点D作DEBC于点E.ACD是等边三角形,ACD=60,又ACBC,DCE=ACB-ACD=90-60=30,在RtCDE中,DE=DC=2,CE=DCcos30=4=2,BE=BC-CE=3-2=.在RtBDE中,BD=.考点考点2 2直角三角形直角三角形1.(2018扬州,7,3分)在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是()A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC答案答案CACB=90,CDAB,ACD+BCD=90,ACD+A=90,BCD=A.CE平分ACD,ACE=DCE.又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE,BEC=BCE,BC=BE.故选C.思路分析思路分析根据同角的余角相等可得出BCD=A,根据角平分线的定义可得出ACE=DCE,再结合BEC=A+ACE、BCE=BCD+DCE即可得出BEC=BCE,利用等角对等边即可得出BC=BE,此题得解.方法总结方法总结本题考查了三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定,通过计算得到BEC=BCE是解题的关键.2.(2016常州,7,2分)已知在ABC中,BC=6,AC=3,CPA B,垂足为P,则CP的长可能是()A.2B.4C.5D.7答案答案A如图,根据垂线段最短可得CP0),则HE=x,C H=x,过点B作BGHE于G,则BG=x,EG=,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDGCDH,=,BC=,CD=,又DH=GH=HE=,由勾股定理得,DH2+CH2=C D2,即+(x)2=,解得x=1,DH=.疑难突破疑难突破此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等三角形,从而实现线段的转化.3.(2016徐州,14,3分)若等腰三角形的顶角为120,腰长为2cm,则它的底边长为cm.答案答案2解析解析过点A作ADBC于点D,AB=AC,BAD=BAC=60,BD=BC.在RtABD中,BD=ABsin60=2=(cm),BC=2BD=2cm.4.(2015浙江绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm.若衣架收拢时,AOB=60,如图2,则此时A,B两点间的距离是cm.答案答案18解析解析连接AB.因为OA=OB=18cm,AOB=60,所以AOB是正三角形,故AB=18cm.5.(2015福建龙岩,16,3分)我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点),则正方形的腰点共有个.答案答案9解析解析如图,(1)连接两条对角线,对角线的交点是正方形的一个腰点;(2)分别以四个顶点为圆心,以正方形的边长为半径画圆,除顶点外,共有8个交点,这8个点也是腰点.综上,正方形共有9个腰点.评析评析本题中正方形的边可以是等腰三角形的腰,也可以是底边.属于中等难度题.6.(2018辽宁沈阳,24,12分)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0ACB90,点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与所段端点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AGBC,延长BM交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE.(1)如图,当ACB=90时:求证:BCMACN;求BDE的度数;(2)当ACB=,其他条件不变时,BDE的度数是;(用含的代数式表示)(3)若ABC是等边三角形,A B=3,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段CF的长.备用图1备用图2解析解析(1)证明:CA=CB,BN=AM,CB-BN=CA-AM,即CN=CM,BC=AC,MCB=ACN,CM=CN,BCMACN.BCMACN,MBC=NAC,EA=ED,EAD=EDA,AGBC,GAC=ACB=90,ADB=DBC,ADB=NAC,ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90,BDE=90.(2)或180-.(3)4或.详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:如图1,E与N在点A异侧,可得BDE=180-;如图2,E与N在点A同侧,可得BDE=.图1图2(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:如 图3,当CN=MC=BC=2时,由ADBC可得ADMCBM,=,=,AD=.由EA=ED得AN=DF,又由BCMACN可得AN=BM.过点A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN=.由(2)知BDE=120BDF=60,从而可得BCMBDF,=,=,BF=,CF=BF-BC=.图3图4如图4,当CN=BC=时,与同法可求得CF=4.思路分析思路分析(1)由“边角边”可证三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等边对等角可得EAD=EDA.由BCMACN,可得CBM=CAN,由两直线平行,内错角相等,可得ADM=CBM,DAM=C=90.而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90,BDE=90.(2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解.(3)N为BC的三等分点,分类讨论B N=BC和B N=BC两种情况.易错警示易错警示本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点,都需要分类讨论.7.(2016泰州,21,10分)如图,ABC中,AB=AC,E在BA的延长线上,AD平分CAE.(1)求证:ADBC;(2)过点C作CGAD于点F,交AE于点G.若AF=4,求BC的长.解析解析(1)证明:AD平分CAE,DAE=CAE,AB=AC,B=ACB,CAE=B+ACB,B=CAE,B=DAE,ADBC.(2)AD平分CAE,CAF=GAF,CGAD,AFC=AFG=90,在AFC和AFG中,AFCAFG(ASA),CF=GF=CG,ADBC,AGFBGC,=,BC=2AF=24=8.8.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:PCEEDQ;(2)延长PC,QD交于点R.如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形;如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.解析解析(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DE OC,CE OD.四边形ODEC为平行四边形.OCE=ODE.又OAP,OBQ都是等腰直角三角形,PCO=QDO=90.PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ.又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,PCEEDQ.(5分)(2)证明:如图,连接OR.PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD.在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30.ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60.ABR为等边三角形.(9分)如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.又AOED,CED=ACE.PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90,即PEQ为等腰直角三角形.由于ARBPEQ,所以ARB=90.于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD=ARB=45,MON=135.此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2PQ=PQ,则=.(14分)9.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A。