高中数学复习8.凸凹反转.doc

第八讲：凸凹反转一．基本原理凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.于是，这就需要我们熟悉高中阶段常见的六个具有这样特点的函数. 其次，凸凹反转也是命制一些零点问题的一种视角，若方程有唯一根，且可进一步转化为，而为上凸型函数，为下凹型函数，这样唯一的零点就会出现在一个函数的最低点和另一个函数的最高点！做好这类题目的关键是熟悉下面一个函数的性质：1.指数型函数：假设且.（1）. 为偶函数 （2）.为奇函数（3）.为奇函数 （4）.可转化为（2）或（3）2.对数型函数：假设且.（1）.都是奇函数.（2）.是奇函数.（3）.(且)是偶函数.二．典例分析类型1.凸凹反转解决零点问题例1．已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（  ）A．4 B．2 C．-2 D．-4解析：∵ ∴，又，则，∴函数为偶函数，故函数的图象关于对称，∴ 函数的图象关于对称，∴函数的图象关于对称，又函数有且只有一个零点，∴函数的零点为2，∴   ，即，∴   ,∴   .故选：C.练习1.若函数有唯一的零点，则实数_______解析：因为，所以所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在，0），即（2），所以．故答案为：.类型2.凸凹反转解决零点问题例如在上面六个函数中，我们可以选取凸函数，求导可得：，故可得在上减，上增，于是.再考虑凹函数，则，故在处取得最大值，即. 这样可得，即，将这个不等式包装一下就得到了下面这道2013年高考真题.例2.（2013全国卷）设函数，曲线在点处的切线为．（1）求；（2）证明：．解析：（2），从而等价于．设函数，则，所以当时，；如下图所示.当时，．故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为．设函数，则．所以当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为（1）；因为（1），所以当时，，即．练习2.设函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：在上恒成立．解析：（1）当时，，当时，；当时，．在上单调递增，在上单调递减；在处取得极大值（2），无极小值；（2）当时，，下面证，即证，设，则，在上，，是减函数；在上，，是增函数．所以，设，则，在上，，是增函数；在上，，是减函数，所以，所以，即，所以，即，即在上恒成立．最后给出一道利用凸凹反转命制的原创题目，读者可进一步体会这列问题的处理思想！在整理函数(且)的性质时，发现这是一个定义域为上的偶函数，自然有最小值，当且仅当时，.于是，便想利用凸凹反转的思想命制一道含参数的恒成立问题. 取函数，根据上述分析，的对称轴为，且. 再取函数，显然，故可得：恒成立.进一步整理： 换个马甲，一道恒成立问题求参数题就出来了！例3.已知函数，求的取值范围. 如上图，凸凹反转的基本原理，这个题目来考察高一还是有点邪恶！如果不熟悉这个对数函数的基本性质怕是很难做出来吧！读者可以尝试有没有其他的方法.习题3.已知函数，且，恒成立，求的取值范围.解析：方法同上，过程略！三. 习题演练习题1.已知函数．（1）若函数，讨论的单调性与极值；（2）证明：.提示：欲证成立，只需证xln x＋>(x>0)成立，如下图所示：习题2.已知．（1）当时，求在的最值；（2）求证：，．解析：（1）所证不等式等价于．设，，在单调递减，在单调递增，．设，，在单调递增，在单调递减，，．所证不等式成立．6。