普通高等学校招生全国统一考试数学文(全国卷Ⅱ,解析版).pdf
11页
1 - 普通高等学校招生全国统一考试数学文（全国卷，解析版）第卷（选择题）本卷共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()P ABP AP B24SR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A BP AP B球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么343VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径( )(1)(01,2)kkn knnP kC PPkn， ， ，一选择题（1）已知全集U=1 ，2，3，4，5，6，7，8，M =1，3，5，7 ，N=5 ，6，7，则 Cu( M N)= (A) 5，7 （B） 2 ，4 （C） 2.4.8 （ D）1 ， 3，5，6，7 答案： C 解析：本题考查集合运算能力2）函数 y=x(x0) 的反函数是（A）2yx（x0）（B）2yx（x0）（B）2yx（x0）（D）2yx（x0）答案： B 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0 可知 AC错, 原函数 y0 可知 D 错，选 B. （3） 函数 y=22log2xyx的图像（ A ） 关于原点对称（B）关于主线yx对称- 2 - （ C ） 关于y轴对称（D）关于直线yx对称答案： A 解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2 ， 2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。
4）已知ABC中，12cot5A，则cosA(A) 1213 (B) 513 (C) 513 (D) 1213答案： D 解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125知 A为钝角， cosAlge0, 知 ab, 又 c=21lge, 作商比较知cb,选 B8）双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rryx相切，则r= （A）3（B） 2 （C）3 （D） 6 答案： A 解析： 本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求 r=3（ 9 ） 若 将 函 数)0)(4tan( xy的 图 像 向 右 平 移6个 单 位 长 度 后 ， 与 函 数)6tan( xy的图像重合，则的最小值为(A)61 (B)41 (C)31 (D)21答案： D 解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出min=21（10）甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有（A） 6种（B） 12 种（C）24 种（D） 30 种答案： C 解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2 门的种数2424CC=36， 再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为24C=6，故只恰好有1 门相同的选法有24 种 。
11）已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交 A、B两点， F 为 C的焦点若FBFA2, 则 k= (A)31 (B)32 (C)32 (D)322答案： D 解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0） ，由2FAFB及第二定义知)2(22BAxx联立方程用根与系数关系可求k=2 23 4 - （12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是（A）南（B）北（C）西（D）下答案： B 解析： . 此题用还原立体图方法直接得出结果，使上在正上方依次找到对应面即可第卷（非选择题）本卷共 10 小题，共90 分二填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共 20 分把答案填写在答题卡上相应位置的横线上 . （13）设等比数列 na 的前 n 项和为ns若3614, 1ssa，则4a= 答案： 3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由3614, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=314）4)(xyyx的展开式中33yx的系数为 答案： 6 解析：本题考查二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。
15）已知圆 O ：522yx和点 A （1，2） ，则过 A且与圆 O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 答案：254上东- 5 - 解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=21(x-1) ，即 x+2y-5=0, 从而求出在两坐标轴上的截距分别是5 和25，所以所求面积为4255252116）设 OA是球 O的半径， M是 OA的中点，过M且与 OA成 45角的平面截球O的表面得到圆 C若圆 C的面积等于47，则球 O的表面积等于 答案： 8解 析 ： 本 题 考 查 立 体 几 何 球 面 知 识 ， 注 意 结 合 平 面 几 何 知 识 进 行 运 算 ， 由.8)14474(4422RS三、解答题：本大题共6小题，共70 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答过程写在答题卡的相应位置17） （本小题满分10 分）已知等差数列na中，,0,166473aaaa求 na前 n 项和ns.解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解解：设na的公差为d，则11112616350adadadad即22111812164adadad解得118,82,2aadd或因此819819nnSnn nn nSnn nn n，或（ 18） （ 本 小 题 满 分12 分 ） 设 ABC 的 内 角A、 B、 C 的 对 边 长 分 别 为a、 b、 c ，23cos)cos(BCA,acb2，求 B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23( 负值舍掉 ) ，从而求出B=3。
6 - 解：由 cos（AC）+cosB=32及 B=（A+C ）得 cos（ AC）cos（A+C ）=32， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC ）=32, sinAsinC=34. 又由2b=ac 及正弦定理得2sinsinsin,BAC故23sin4B，3sin2B或3sin2B（舍去），于是 B=3或 B=23. 又由2bac知ab或cb所 以B=319） （本小题满分12 分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC,D 、 E分别为 AA1、B1C的中点， DE 平面BCC1（）证明： AB=AC（）设二面角A-BD-C 为 60, 求 B1C与平面 BCD所成的角的大小解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点 F， 通过证明AF 平面 BCC1,再证 AF为 BC的垂直平分线， 第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF平面 BDC ，从而找到线面夹角求解此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解解法一：（）取BC中点 F，连接 EF ，则 EF121B B，从而 EFDA A C B A1 B1 C1 DE- 7 - 连接 AF，则 ADEF为平行四边形，从而AF/DE。
又 DE 平面1BCC，故 AF 平面1BCC，从而 AFBC，即 AF为 BC的垂直平分线，所以AB=AC 作 AG BD ，垂足为 G ，连接 CG 由三垂线定理知CG BD ，故 AGC 为二面角A-BD-C 的平面角由题设知，AGC=600. 设 AC=2 ，则 AG=23又 AB=2 ，BC=2 2，故 AF=2由AB ADAG BD得 2AD=222.23AD，解得 AD=2故 AD=AF 又 AD AF，所以四边形ADEF为正方形因为 BC AF，BC AD ， AF AD=A ，故 BC 平面 DEF ，因此平面BCD 平面 DEF 连接 AE 、 DF，设 AEDF=H ，则 EH DF，EH 平面 BCD 连接 CH ，则 ECH为1B C与平面 BCD所成的角因 ADEF为正方形， AD=2，故 EH=1 ，又 EC=112BC=2，所以 ECH=300，即1B C与平面 BCD所成的角为300. 解法二：（） 以 A为坐标原点， 射线 AB为 x 轴的正半轴， 建立如图所示的直角坐标系A xyz设 B（1，0，0） ，C（0，b，0） ，D （0，0，c） ，则1B（1，0，2c）,E（12，2b，c） . - 8 - 于是DE=（12，2b，0） ，BC=（-1，b,0 ）. 由 DE 平面1BCC知 DE BC ，DE BC=0，求得 b=1，所以 AB=AC 。
设平面BCD的法向量( , , ),ANx y z则0,0.AN BCAN BD又BC=（-1，1， 0 ） ，BD=（-1 ，0，c）, 故00 xyxcz令 x=1, 则 y=1, z=1c,AN=(1,1, 1c). 又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）由二面角CBDA为 60知，ACAN，=60，故60cosACANACAN，求得21c于是），（211AN，），211 (1CB21cos111CBANCBANCBAN，601CBAN，所以CB1与平面BCD所成的角为30（20） （本小题满分12 分）某车间甲组有10 名工人，其中有4 名女工人；乙组有10 名工人，其中有6 名女工人现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4 名工人进行技术考核求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（）求抽取的4 名工人中恰有2 名男工人的概率解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，- 9 - 第三问关键是理解清楚题意以及恰有2 名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。
解： （ 错误 ! 未找到引用源 ）由于甲、乙两组各有10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取2 名工人错误 ! 未找到引用源 ）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人，则158)(2101614CCCAP（错误 ! 未找到引用源 ）iA表示事件：从甲组抽取的2 名工人中恰有i名男工人，210 ，ijB表示事件：从乙组抽取的2 名工人中恰有j名男工人，210j，B表示事件：抽取的4 名工人中恰有2 名男工人iA与jB独立，210 ，ji，且021120BABABAB故)()(021120BABABAPBP)()()()()()(021120BPAPBPAPBPAP210262102628141621016142102421024CCCCCCCCCCCCCC（21） （本小题满分12 分）aaxxaxxf244)1(31)(23( ) 讨论 f(x)的单调性 ; ( ) 若当 x0 时， f(x)0恒成立，求a 的取值范围解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解：（错误 ! 未找到引用源 ）)2)(2(4)1(2)(2axxaxaxxf由1a知，当2x时，0)(xf，故)(xf在区间)2,(是增函数；当ax22时，0)(xf，故)(xf在区间)2,2(a是减函数；当ax2时，0)(xf，故)(xf在区间),2( a是增函数综上， 当1a时，)(xf在区间)2 ,(和),2( a是增函数， 在区间)2,2(a是减函设函数，其中常数a1 - 10 - 数错误 ! 未找到引用源 ） 由 （错误 ! 未找到引用源 ） 知，当0 x时，)(xf在ax2或0 x处。
