量子力学第四章态和力学量的表象4.4表象变换.ppt

4.4 表象变换,一、态表象变换,矢量在不同坐标系中的变换,求 与 的关系:,分别点乘上式得：,求 与 的关系:,写成矩阵形式,,,,即,,的性质,,,幺正矩阵,可以证明：,,2.量子态的表象变换,态矢量,设在 表象下,本征矢为,表象下, 本征矢为,之间的的关系？——态的表象变换,,右端左乘 积分,令,得：,,,类比：,不同态 ， ，同一表象,相同态 ，表象不同,u（x）是Q的本征矢,分别是A,B的本征矢,,,,,,同一个量子态 在表象 中通过一幺正矩阵S相联系可以证明： v 幺正矩阵,2. 变换矩阵的性质,,,证明：S为幺正矩阵,[证],即：,二、力学量的表象变换,,A表象本征函数,力学量算符 如何从 A 表象转换到 B 表象？,B表象本征函数,解决办法：首先设法将 建立联系,1.问题：,,,2.将 , 用 展开,,,,,,,,3.求,三、对角化矩阵的变换——幺正变化的形式,1.问题：自身表象力学量矩阵是对角矩阵，矩阵元是本征值。

因此，求某一力学量的本征值，可将矩阵通过幺正变化变为自身表象如何选取幺正矩阵？,,,,可以证明 ：,,即，S矩阵的第 l 列正是算符 F 对应于本征值 为本征函数，因此一般来说，要是算符对应矩阵对角化，就要求出F 对应的本征函数系，然后把对应于不同本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵S，则 必为对角化矩阵例：设力学量 F 在某一表象A中的矩阵为 ， 其中 为常数，求,1.F本征值、本征方程和在A表象中的正交归一本征函数 2．求使矩阵F在A表象中的本征方程解:1.设力学量 F 在某一表象A中的本征函数为,则 F 在A表象中的本征方程为,,,不同时为零的条件是,归一化条件,,,,同理：,归一化条件,,,,同理：,2．对角化幺正矩阵S，将本征函数按列排列,由,,,对角元素刚好是本征值四、表象变换不变量,(1).标积,在A表象中：,,,,,,在B表象中：,(2).归一化条件,,,,,在A表象中：,,,,在B表象中：,(3).平均值,在A表象中：,(4).算符本征值,,在A表象,,在B表象,,,,(5).力学量矩阵的迹,A表象F,B 表象,五、 不变表达式,,,,,,(2) 力学量矩阵的迹,A表象F,B 表象,,,定义：一个矩阵 A 的对角元素之和,,,在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下都是不变的。

2).算符对态的作用,,,量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表象无关的,,,解：设 的共同本征函数为,,的本征方程,,的久期方程为,,∴ 的本征值为,,的本征方程,其中 , 设为 的本征函数共同表象中的矩阵,当 时，有,,,∴,由归一化条件,,,,,∴,由归一化条件,,当 时，有,,,,∴,,∴归一化的 对应于 的本征值,,由以上结果可知，从 的共同表象变到 表象的变换矩阵为,∴对角化的矩阵为,,,,,,按照与上同样的方法可得的本征值为的归一化的本征函数为,,利用S可使 对角化,。