数学建模之方程组的背景及计算教材课程.ppt

数学建模与实验 主讲人：宋叔尼教授2009年3月第三讲 与方程组有关的问题 数学必须解决实际问题 首届国家最高科学技术奖获得者、中国科学院院士吴文俊指出： 任何数学都要逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活及其他学科中出现的数学问题 学校给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的 但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案这就要求培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法 什么是数学建模与实验 众所周知，学习物理要做物理实验，学习化学要做化学实验，为适应现代科学技术的发展，学习数学也需要做数学实验 传统数学的教学体系和内容侧重于培养学生准确、快捷的计算和严密的逻辑推理 如何运用所学的数学理论将一个实际问题用适合的数学语言描述？ 如何运用计算机求解该问题？ 如何结合实际问题对所求解进行分析和修正？ 这些综合起来就是数学建模与实验许多实际问题可以归结为方程组的求解例如：冶金工程、机械结构、大型的土木结构、最优控制 大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等1. 投入产出分析1949年，哈佛大学教授 Leontief 把美国经济分解成500个部门(如农业、制造业、服务业等)，对每个部门，其产出如何分配给其它经济部门？构建了500个未知数，500个方程的方程组，受计算机的限制只好把问题简化为42个未知数，42个方程的方程组。

该成果获1973年诺贝尔经济学奖下面假设：经济体系中仅由农业、制造业、服务业构成，这些部门生产商品和服务 产产出 投入农业农业制造业业服务业务业外部需求总产总产 出农业农业15203035100制造业业301045115200服务业务业2060070150初始投入3511075总总投入100200150各部门间的投入产出平衡关系上表中第一行表示农业总产出为100时，15农产品用于农业生产，20用于制造，30用于服务，35用于外部需求1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型2.如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50， 150，100，问三个部门的总产出分别应为多少？3.若三部门外部需求分别增加1单位，总产出应增加多少？4.若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出， 称模型可行为使模型可行，应满足什么条件？问 题 产产出 投入农业农业制造业业服务业务业外部需求总产总产 出农业农业15203035100制造业业301045115200服务业务业2060070150初始投入3511075总总投入100200150设有n个部门，第i个部门的总产出为xi，用于(投入到)第j个部门xij，外部需求为di，则 假设每个部门的产出与投入成正比，即 xij/xj为常数，记为 aij .1. 给定外部需求，建立求解各部门总产出模型转换成记投入系数矩阵 ，产出向量需求向量 ，则方程组记为即这就是线性代数方程组。

产产出 投入农业农业制造业业服务务业业农业农业0.150.100.20制造业业0.300.050.30服务务业业0.200.300投入产出系数表 产产出 投入农业农业制造业业服务业务业外部需求总产总产 出农业农业15203035100制造业业301045115200服务业务业2060070150初始投入3511075总总投入100200150各部门间的投入产出平衡关系得到数学模型（线性方程组）2. 如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50， 150，100，问三个部门的总产出分别应为多少？用MATLAB求出即可3. 若三部门外部需求分别增加1单位，总产出应增加多少？得令求解4. 若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出， 称模型可行为使模型可行，应满足什么条件？要使模型可行，即对任意的外部需求 得 .由 知，如果 (即每个元素非负). 即满足结论. 如果 ，就有 如果 ，必有 . 得到这等价于又因为 数学模型还没有一个统一的准确的定义，我们这样理解:数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构 数学建模就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式、不等式、图表、图 象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

一般来说数学建模过程如下： 实际问题 模型假设 模型建立 模型求解 模型分析 检验与评价 应用设A，B是重力场中给定的两点，且A点高于B点，B点不正好位于A点下方2 最速降线问题一个在A点静止的质点在重力作用下沿着怎样的路线C无摩擦地从A点滑到B点，才能使所花的时间最短？该曲线C称为最速降线如何求出该曲线？2.1 问题的提出考虑连接A, B的曲线显然，质点运动的速度这里 表示弧长因此故所需时间为构造坐标系设曲线上一点处的切线与 轴方向的夹角为 ；设质点的质量为 ，重力加速度为 ；由牛顿运动第二定律两端同乘以 ，则两边积分，则有但已设初速为零，故 ， 从而 .于是我们的问题便是在条件 ， 之下寻求使取最小的函数 由上可知， 是 的函数，同时 是的 函数；因此 是函数 的函数工程上常常称 是 的泛函记为2.2 求解问题的初步设想先考虑从 到 的以下曲线：(i) 直线段；(ii) 圆弧(自己选择一条)；(iii) 抛物线(自己选择一条)；分别计算所花的时间（练习） 这样将 分成 个小段，每段长度 将区间 等份，每段长度等于 ，而在区间 内插入 个分点 ， 使对 成立此时，曲线 相应地被分成 小段： 2.3 近似计算注意 和 不能改变， 是固定点。

记 ， 是坐标为 的点而其余 及 纵坐标随着曲线 的不同而改变如果 比较大，并且每个 都比较小，则可近似地看成从 到 的直线段质点在 ， 两点的速度分别是 ， ； 在直线段 内的平均速度为质点经过这条直线段的时间是总时间 近似地等于这样即求出了 的值求合适的 使 最小. 3. 多元函数的极小值问题 （非线性方程组的计算问题）3.1 函数的极小值问题与方程求根一元函数极值转化为函数方程求根多元函数极值问题转化为求非线性方程组解的问题设 在 取极小值，则设 在 取极小值，则即求f (x)=0的根.3.2 Newton 迭代法3.2.1 Newton迭代公式 设(x)在有根区间a,b上二阶连续可微, 给定根的某个近似值x0（初值）, 取(x)(x0)+(x0)(x-x0),方程(x)=0近似为 (x0)+(x0)(x-x0)=0若(x0)0, 其解为因为得到根的新的近似值x1 ,一般地,在xk附近线性化方程为 (xk)+(xk)(x-xk)=0设(xk)0, 其解为迭代格式称为Newton 迭代法. xyox0y=(x)x1x2直线 y=(x0)+(x0)(x-x0)就是 y-(x0)=(x0)(x-x0)Newton迭代法也叫切线法.k, 2 , 1 , 0,)()(1L=-=+kxfxfxxkkk 设(x)在根附近具有二阶连续导数, 则对充分接近的初值x0,Newton迭代法产生的序列xk收敛于, 且定理 例 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根.3.2.2 Newton迭代法的收敛性 例 用Newton迭代法求8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0的根,在1.5附近的根.为了简化计算(xk),采用格式称为简化Newton迭代法.oxyy=(x)x0 x1x2x3 在区间I=-,+上,取M与(x)同号,且M1/2max|(x)|时,简化Newton迭代法对x0I收敛.通常取M=(x0). 简化Newton迭代法一般只具有线性收敛. 简化Newton迭代法非线性方程组的求解向量记法对于函数方程f(x)=0, 如果(xk) 0, 其近似解为迭代格式称为 Newton迭代法. , 2 , 1 , 0,)()(1L=-=+kxfxfxxkkkk上式改为Hessen矩阵例 用Newton迭代法求解非线性方程组在 初值(1, 1)的解。

例 用Newton迭代法求解非线性方程组在初值(2, 2)附近的解理论问题 收敛性，收敛区域，修改方法 稳定性 矩阵的范数 矩阵条件数假设载荷很小，则发生的形变也很小，用u=u(x)表示在载荷f(x)作用下弦的平衡位置，则AB非线性4.弦振动问题（微分方程问题）区间a, b上连续函数的全体，记为Ca,b;区间a, b上二阶连续可微函数的全体，记为C2a,b;按照通常函数的加法和数与函数的乘法两种运算,构成实数域上的线性空间. 结合边界条件问题1 方程组的求解问题微分方程的解是 中的函数（或元素）方程组的解是N1 维空间中的向量时，该向量的极限是否为原方程的解？问题 2数学建模与实验参考书1. 姜启源.数学模型 (第二版), 高等教育出版社.2. 姜启源等.数学建模 (第三版) ， 高等教育出版社.3. 萧树铁等.数学实验，高等教育出版社.4. 朱道元.数学建模案例精选，科学出版社.5. 雷功炎.数学模型讲义，北京大学出版社.6. 叶其孝等.大学生数学建模竞赛教材， 湖南教育出版社.7. 江裕钊等.数学模型与计算机模拟， 电子科技大学出版社8. 杨启帆等.数学模型，浙江大学出版社.9. 赵静等. 数学建模与数学实验, 高等教育出版社，施普林格出版社.谢 谢！。