广东省三校联合体2015-2016学年高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）.doc

第 1 页（共 24 页） 广东省三校联合体 2015-2016 学年高三（上）第一次联考数学试卷 （理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．已知集合 A={y|y=log 2 x，x＞1} ，B={y|y= （ ） x ，x＞1} ，则 A∩B=（ ） A．{y|0＜y＜ } B ．{y|0 ＜y＜1} C ．{y| ＜y＜1} D．∅2．若 tanα=2tan ，则 =（ ） A．1 B．2 C ．3 D ．43．在△ABC 中， = ， = ．若点 D 满足 =（ ） A．+ B ．C ．D ．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A．f（x）=x 2 B ． C ．f （x）=x 2 D ．f （x）=sinx5．为得到函数 的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（ ）第 2 页（共 24 页） A．向左平移 个长度单位 B ．向右平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 D ．向右平移 个长度单位6．若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为（ ） A．﹣3 B．1 C ． D ．37．等差数列{a n } 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ） A．130 B．170 C ．210 D ．2608．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台，则不 同的取法共有（ ） A．140 种 B ．84 种C ．70 种D ．35 种9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A．2+ B ．4+ C ．2+2 D ．510．函数 f（x）=﹣ （x﹣ ）cosx （﹣π≤x≤π 且 x≠0）的图象可能为（ ） A． B ． C ． D．第 3 页（共 24 页） 11．设椭圆 =1（a ＞b＞0）的左右焦点分别为 F 1 、F 2 ，点 P（a，b）满足|F 1 F 2 |=|PF 2 |，设直 线 PF 2 与椭圆交于 M、N 两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（ ） A． B ． C． D．12．设函数 f（x）=ln（1+|x| ）﹣ ，则使得 f （x）＞f（2x﹣1）成立的 x 的取值范围是（ ） A． （ ，1） B ． ∪ （1，+∞ ）C ． （ ） D． （﹣∞， ，+∞）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．已知函数 f （x）=x 2 + （m+2 ）x+3 是偶函数，则 m= ．14．由曲线 y= ，直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ．15．设 F 是双曲线 C ： ﹣ =1 的一个焦点．若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一 个端点，则 C 的离心率为 ．16．已知△ABC 中，∠A，∠B ，∠C 的对边分别为 a ，b，c ，若 a=1，2cosC+c=2b，则△ABC 的周长 的取值范围是 ．三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17．在△ABC 中，内角 A ，B，C 所对的边分别为 a ，b，c ，已知△ABC 的面积为 3 ，b﹣c=2 ，cosA=﹣ ． （Ⅰ）求 a 和 sinC 的值； （Ⅱ）求 cos（2A+ ）的值．18．某市在 2 015 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市 10000 名学生的成绩 服从正态分布 N （120，25） ，现某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分析，结果这 50 名同学的 成绩全部介于 80 分到 140 分之间现将结果按如下方式分为 6 组，第一组[85，95） ，第二组 [95，105） ，…第六组[135 ，145] ，得到如图所示的频率分布直方图．第 4 页（共 24 页） （I）试估计该校数学的平均成绩； （Ⅱ）这 50 名学生中成绩在 125 分（含 125 分）以上的同学中任意抽取 3 人，该 3 人在全市前 13 名的人数记为 X，求 X 的分布列和期望． 附：若 X～N（μ ，σ 2 ） ，则 P （u﹣3σ＜X＜u+3σ ）=0.9974 ．19．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1 A=4 ，A 1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B 1 C 1 的中点． （1）证明：A 1 D ⊥ 平面 A 1 BC； （2）求二面角 A 1 ﹣BD ﹣B 1 的平面角的余弦值．20．设椭圆 E 的方程为 + =1（a ＞b＞0） ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（a ，0） ，点 B 的 坐标为（0，b） ，点 M 段 AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为 （Ⅰ）求 E 的离心率 e ； （Ⅱ）设点 C 的坐标为（0，﹣b） ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ， 求 E 的方程．21．设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f （x）存在零点，则 f （x）在区间（1， ）上仅有一个零点．第 5 页（共 24 页） 四、选作题（共 1 小题，满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 22．选修 4﹣1：几何证明选讲 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是 的中点，BD 交 AC 于点 E． （I）求证：CD 2 ﹣DE 2 =AE×EC； （II）若 CD 的长等于⊙O 的半径，求∠ACD 的大小．选修 4-4：坐标系与参数方程 23． （2015•海南模拟）已知曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=6cosθ，曲线 C 2 的极坐标方程为 θ= （p∈R） ，曲线 C 1 ，C 2 相交于 A，B 两点． （Ⅰ）把曲线 C 1 ，C 2 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦 AB 的长度．选修 4-5：不等式选讲 24． （2015•江西校级二模）已知 a+b=1 ，a ＞0，b＞0． （Ⅰ）求 + 的最小值； （Ⅱ）若不等式 + ≥|2x ﹣1| ﹣|x+1| 对任意 a ，b 恒成立，求 x 的取值范围．第 6 页（共 24 页） 2015-2016 学年广东省三校联合体高三（上）第一次联考数学 试卷（理科） 参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．已知集合 A={y|y=log 2 x，x＞1} ，B={y|y= （ ） x ，x＞1} ，则 A∩B=（ ） A．{y|0＜y＜ } B ．{y|0 ＜y＜1} C ．{y| ＜y＜1} D．∅ 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合 A 和 B，然后再求两个集合的交集即可． 【解答】解：∵集合 A={y|y=log 2 x，x＞1} ， ∴A= （0，+∞） ∵B={y|y=（ ） x ，x＞1} ， ∴B= （0， ） ∴A ∩B= （0， ） 故选 A． 【点评】本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自 的值域．2．若 tanα=2tan ，则 =（ ） A．1 B．2 C ．3 D ．4 【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值． 【专题】三角函数的求值． 【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已 知条件以及积化和差个数化简求解即可． 【解答】解：tanα=2tan ，则 = =第 7 页（共 24 页） = = = = = = = = = = =3． 故答案为：3． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．3．在△ABC 中， = ， = ．若点 D 满足 =（ ） A．+ B ．C ．D ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由向量的运算法则，结合题意可得 ═ = ，代入已知化简可 得． 【解答】解：由题意可得 = = = = = 故选 A 【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）第 8 页（共 24 页） A．f（x）=x 2 B ． C ．f （x）=x 2 D ．f （x）=sinx 【考点】程序框图． 【专题】操作型． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输 出满足条件①f （x）+f （﹣x）=0，即函数 f（x）为奇函数 ②f（x）存在零点，即函数图象与 x 轴有 交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案． 【解答】解：∵A ：f （x）=x 2 、C ：f （x）=x 2 ，不是奇函数，故不满足条件① 又∵B： 的函数图象与 x 轴没有交点，故不满足条件② 而 D：f（x）=sinx 既是奇函数，而且函数图象与 x 也有交点， 故 D：f（x）=sinx 符合输出的条件 故答案为 D． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法 是：：①分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出 参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学 模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．为得到函数 的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（ ） A．向左平移 个长度单位 B ．向右平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 D ．向右平移 个长度单位 【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题．第 9 页（共 24 页） 【分析】先根据诱导公式将函数 化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行 平移即可得到答案． 【解答】解：∵ ， 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象． 故选 A． 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6．若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为（ ） A．﹣3 B．1 C ． D ．3 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域． 【专题】开放型；不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求 解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若表示的平面区域为三角形， 由 ，得 ，即 A （2，0） ， 则 A（2，0）在直线 x﹣y+2m=0 的下方， 即 2+2m＞0， 则 m＞﹣1， 则 A（2，0） ，D （﹣2m，0） ， 由 ，解得 ，即 B （1﹣m，1+m ） ， 由 ，解得 ，即 C （ ， ） ． 则三角形 ABC 的面积 S △ABC =S △ADB ﹣S △ADC = |AD||y B ﹣y C |第 10 页（共 24 页） = （2+2m ） （1+m ﹣ ） =（1+m） （1+m ﹣ ）= ， 即（1+m）× = ， 即（1+m） 2 =4 解得 m=1 或 m=﹣3（舍） ， 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是 解决本题的关键．7．等差数列{a n } 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ） A．130 B．170 C ．210 D ．260 【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列的性质． 【专题】计算题． 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式，结合已知条件列出关于 a 1 ，d 的方程组，用 m 表示出 a 1 、d，进而求出 s 3m ；或利用等差数列的性质，s m ，s 2m ﹣s m ，s 3m ﹣s 2m 成。