2012_2022年高考数学真题分类汇编04导数解答题50.doc

导数大题一、解答题1．(2021年高考全国甲卷理科)已知且，函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）．解析：（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解．2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．【答案】；证明见详解解析：（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，假设能取到，则，故；当时，，单增，假设能取到，则，故；综上所述，在恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增．（2）【解析】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增．(2)由得，，其中，①．当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②．当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：；(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．（2）证明见解析；（3）证明见解析．解析：(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增(2)注意到，故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，，，据此可得：，，即．(3)结合(2)的结论有：．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）；（2）证明见解析解析：（1）因为，由题意，，即则；（2）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1零点，则或，即或．当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1．【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．【答案】(1)见详解；(2)或．【官方解析】(1)． 令，得或． 若，则当时，；当时，．故 在单调递增，在单调递减； 若时，在单调递增； 若，则当时，；当时，．故 在单调递增，在单调递减． (2)满足题设条件的存在．(ⅰ)当时，由(1)知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为．此时满足题设条件当且仅当，即．(ⅱ)当时，由(1)知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为．此时满足题设条件当且仅当，即． (ⅲ)当时，由(1)知，在的最小值为，最大值为或．若，则，与矛盾．若，则或或，与矛盾．综上，当且仅当或，在最小值为，最大值为1．【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，计算量略大．7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．【答案】函数在和上是单调增函数，证明见解析；证明见解析.【官方解析】的定义域为.因为，所以在和上是单调递增.因为，，所以在有唯一零点，即．又，，故在有唯一零点．综上，有且仅有两个零点．因为，故点在曲线上．由题设知，即，故直线的斜率．曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．【分析】对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【解析】函数的定义域为，，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知函数，为的导数．证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点．【答案】解：（1）设，则，．当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为．则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点．（2）的定义域为．（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．又，，所以当时，．从而在没有零点．（iii）当时，，所以在单调递减．而，，所以在有唯一零点．（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点．综上，有且仅有2个零点．9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数．(1)若，证明：当时，，当时，；(2)若是的极大值点，求．【答案】【官方解析】当时，，设函数，则当时，；当时，，故当时，所以在上单调递增又，故当时，；当时，．（2）（i）若，由（1）知，当时，这与是的极大值点矛盾（ii）若，设函数由于当时，，故与符号相同又，故是的极大值点，当且仅当是的极大值点如果，则当，且时，，故不是的极大值点如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点如果，则则当时，；当时，所以是的极大值点，从而是的极大值点综上．【民间解析】（1）法一：当时，函数的定义域为，此时记则所以函数在上单调递增，而所以当时，，此时当时，，此时法二：当时，，则，①当时，，此时单调递减所以时，，故函数在上单调递增所以时，②当时，，此时单调递增所以时，，所以函数在上单调递增所以当时，综上所述若，证明：当时，，当时，．（2）法一：由可得所以因为是的极大值点所以，当时，；当时，又设，则，所以在上单调递增，所以当时，；当时，所以当时，设，则当时，；当时，所以函数在上单调递减；在上单调递增所以任意时，所以若时，，此时不存在极值，故由（1）知，当时，；当时，显然，当时，①当时，则若，则，使得当时，，此时不满足题意，故，即②当时，则若，则，使得当时，，此时，不满足题意，故，即综上，，所以．法二：记，当，时，所以在上单调递增，所以当时，即所以在上单调递增，与是的极大值点不符合；当时，，显然可知递减①，解得，则有，，递增；时，，递减，所以，故递减，又则，，，递增；，，，递减此时为的极大值点，符合题意②当时，有，所以在有唯一零点，记为，则，，递增则，递增，所以，即，递增，不符合题意；③当时，有，所以在有唯一零点，记为，则，，递减则，递减，所以，即，递减，不符合题意综上可知．法三：（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数在处各阶导数都存在且连续，是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导数小于0。

由得下证：当时，是的极大值点，，所以在单增，在单减进而有，从而在单减，当时，，当时，从而在单增，在单减，所以是的极大值点点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知基于此，还可以从大学的角度给出一种解法通过在阶的帕德逼近可得，且两个函数在处两个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法由此可以迅速得到，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相应的题目尝试一难点在于的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法法四：引理1：若与在处函数值和导数值都相同，则在处导数为．证明：，因为，且，代入化简即证：引理2：已知函数在处各阶导数都存在且连续，是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导数小于0。