求数列通项公式十种方法例题含详解讲解.docx

求数列通项公式的十种方法,例题含答案详解讲解求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，概括细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法） 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）数学概括法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）特点根法、、二四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列经过变形，代换转变为等差数列或等比数列四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法五．数列的实质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数一、累加法1．合用于：an 1 an f ( n) ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一2．若an 1an f (n) (n2) ，则a2a3a1a2f (1)f (2)an 1anf (n)n两边分别相加得an 1a1f (n)k 1例 1已知数列{an} 知足an 1an2n 1 a1 1，求数列{ an}的通项公式。

解：由 an 1an 2n 1 得 an 1an2n1则an (anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) ( a2a1) a1[2( n 1)1][2( n2)1](2 21)(2 1 1) 12[(n1)(n2)21](n1)12 (n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列 { an } 的通项公式为 ann2 例 2已知数列 { an} 知足 aa2 3n 1，a3 ，求数列 { an } 的通项公式n 1n1解法一：由 an 1an2 3n1得 an 1an2 3n1则an ( anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2a1) a1(23n 11)(23n 21)(2321)(2 31 1) 32(3n 13n 23231 )(n 1)32 3(13n1 )(n1)3133n3n133nn1所以 an3nn1.解法二： a3a23n1 两边除以3n 1 ，得 an1an211，n 1n3n1n33n3则an 1an213n 1n33n 1 ，故3ananan 1)(an 1an 2an 2an 3a2a1a1n(nan 1an 13n 2 )(n 2n 3 )(21 )3333333212121213(3n )(3n 1 )(n 2 )(32 )3333332(n1)(1111113nnn 13n22 )33331n1所以an2(n1)3n(13)2n11，3n31313223n则 an2 n 3n1 3n1 .322评注：已知a1a,an 1anf (n)，此中 f(n) 能够是对于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an .①若 f(n) 是对于 n 的一次函数，累加后可转变为等差数列乞降;②若 f(n) 是对于 n 的二次函数，累加后可分组乞降;③若 f(n) 是对于 n 的指数函数，累加后可转变为等比数列乞降;④若 f(n) 是对于 n 的分式函数，累加后可裂项乞降。

{ an }an0Sn1 (ann ){ an}例 3.已知数列中 ,且2an,求数列的通项公式 .Sn1 ( ann ) Sn1 (SnSn 1n)解 :由已知2an得2SnSn 1,化简有 Sn2Sn21n ,由种类 (1)有 Sn2S1223n ,又 S1a1 得 a1Sn2n(n1)sn2n(n1)1,所以2,又 an0 ,2,2n(n 1)2n(n1)an则2本题也能够用数学概括法来求解.二、累乘法1.合用于：an 1f (n)an----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二an 1a2a3f (2)，an1f (n)2．若f (n) ，则f (1)，，ana1a2anan1na1f (k )两 分 相乘得，a1k1例 4已知数列 { an} 足 an 12(n 1)5n an， a13，求数列 { an } 的通 公式解：因 an 12(n 1)5n an，a13 ，所以 an0 ， an 12(n 1)5n ，故anananan 1a3 a2 a1an1an2a2 a1[2( n11)5n 1 ][2( n21)5n 2 ][2(21)52 ][2(1 1)51] 32n1[ n(n1)3 2]5(n 1)( n 2)2132n 1n (n 1)35 2n!2n 1n (n1)所以数列 { an } 的通 公式 an352n!.例 5. an 是首 1 的正 数列，且n1 an21nan2an 1 an0 （ n =1 ， 2， 3，⋯）， 它的通 公式是an =________.解：已知等式可化 ：( an 1 an ) (n 1) an 1 nan 0an 1nan0 ( n N * )(n+1) a n 1na n 0 , 即 ann 1ann 1n2 ， an 1nananan 1a2a1n 1 n 211an 1an 2a11=n n 12= n . 注： 本 是对于an和an 1的二次 次式，能够通 因式分解（一般状况 用求根公式）获得an与an 1的更 明 的关系式，从而求出an..已知an 1nann1, a11,求数列{an}的通 公式.答案：an(n 1)! (a11)-1.评注：本题解题的重点是把本来的递推关系式an 1na nn1, 转变为an 1 1n(an 1), 若令 bnan 1,则问题进一步转变为bn 1nbn 形式，从而应用累乘法求出数列的通项公式 .三、待定系数法合用于 aqanf (n)n 1。