2021年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练.pdf

1 2021 年高考理科数学函数的定义与性质题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求函数的定义域、值域例 1 （1）函数的定义域为 ( ) A.;B.；C. ;D. （2）设，则的定义域为（）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】（ 1）D；（2）B 【解析】（ 1）欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择（2）由得，的定义域为，故解得故的定义域为. 选 B.【易错点】 抽象函数的定义域【思维点拨】 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数)(xf)4323ln(122xxxxx),2)4,() 1 ,0()0,4(1 ,0()0 ,4,)1 ,0()0,4,xxxf22lgxfxf224, 00, 44, 11, 42, 11,24,22, 4)(xf0043230430232222xxxxxxxxx)1 ,0()0 ,4xD202xx( )f x22x22,2222.xx4, 11,4xxfxf224, 11,4x2 的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

求复合函数定义域 , 即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域例2.已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立 , 试求实数的取值范围答案】（ 1）在区间上的最小值为（2）【解析】（ 1）当时，在区间上为增函数在区间上的最小值为2）在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为 3，即【易错点】不会求函数的值域思维点拨】 对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到( )f x , a b ( )f g x( )ag xb ( )f g x , a b , xa b( )f x , xa b( )g xxaxxxf2)(2)., 1,x21a)(xf1,),( )0 xf xa)(xf), 127)1(f3a21a2211)( ,221)(xxfxxxf1x0)(xf)(xf), 1)(xf), 127)1 (f02)(2xaxxxf), 1022axx), 1 axx22), 1 xxy22), 1 3a3a,221)(xxxf0 x2222122)21()(xxxxxf3 而认为其最小值为， 但实际上，要取得等号，必须使得， 这时所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。

其次, 不等式恒成立问题常转化为求函数的最值本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型二 函数图像例 1(1) 函数的图象大致是 ( ) (2) 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（A）4 （B）6 （C）8 （D）10 (3) 如图所示，一质点在平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其 在轴 上 的 投 影 点的 运 动 速 度的 图 象 大 致 为( ) 22xx21),21x|1|lnxeyx211( )log (),0,1 ;1,0,122Pf xxab ab11( , ),0,1;1,0,122Qx y xyP( )f xQ( , )P x yxOyx( ,0)Q x( )VV t4 A B C D 【答案】 (1) D；(2) 答案 B (3) 答案 B 【解析】 (1) 当时，可以排除 A和 C；又当时，可以排除 B (2) 当时，可以排除 A和 C；又当时，可以排除B (3) 解析由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时， 投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.1x1) 1(xxy21x23y1x1)1(xxy21x23y( , )P x y( ,0)Q xA( , )P x yD( ,)P x y( ,0)Q xCBO( )V ttO( )V ttO( )V ttO( )V tt5 【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。

思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性质角度思考例 2 求函数2222229931294fxxxxx的最小值【答案】574f【解析】 由于22222213343334xxfxxx令23xy，此为抛物线方程，其焦点为30,4F，准线方程为34y，记点3,4A，则可以改写为2222133434fxxyxy， 它表示为抛物线上 的 点,Mx y到 点A与 到 焦 点F的 距 离 之 和 ：13fMAMF，注意点A在抛物线的上方，由于点M到焦点的距离等于其到准线的距离：MFMH，故当点M移至1M使在垂线1AH上时，MAMH的值最小，为111319444AMMHAH，即11934f，所以574f【易错点】不能很好的领悟数形结合思想思维点拨】因数配形题型三函数的性质例 1（1）函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则 ( )A.是偶函数 B.是奇函数C. D.是奇函数( )fx(1)f x(1)f x( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)fxYXHH1OAFMM16 （2）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有下列结论中正确的是( ) A若，则B若，且，则C 若，则D 若，且，则【答案】（ 1） D；（2） C ；【解析】（ 1）与都是奇函数，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。

故选D （2） 对 于， 即 有， 令，有，不妨设，即有，因此有，因此有【易错点】函数性质掌握不够透彻【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证例 2. 已知函数11811axfxaxxa，0 x,1当8a时，求fx的单调区间；2对任意正数a，证明：12fxM( )f x12,xxR21xx212121()()()()xxf xf xxx1( )f xM2( )g xM12( )( )f xg xM1( )f xM2( )g xM( )0g x12( )( )f xMg x1( )f xM2( )g xM12( )( )f xg xM1( )f xM2( )g xM1212( )( )f xg xM(1)f x(1)fx(1)(1),(1)(1)fxfxfxf x( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4T(14)(14)fxf x(3)(3)fxf x(3)f x212121()()()()xxf xf xxx2121()()f xf xxx2121()()f xf xkxxk1( )f xM2( )g xM11,fk22gk1212fgkk12( )( )f xg xM7 【答案】( )f x在(0,1中单调递增，而在1,)中单调递减【解析】1、当8a时，1131xfxx，求得3121xfxxx，于是当(0,1x时，0fx；而当1,)x时，0fx即( )f x在(0,1中单调递增，而在1,)中单调递减（2）. 对任意给定的0a，0 x，由111( )1181f xxaax，若令8bax，则8abx ，而111111fxxab （一）、先证1fx；因为1111xx，1111aa，1111bb，又由422 224 28abxabxabx，得6abx所以111111111111fxxabxab32()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab9()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab1()()1(1)(1)(1)abxabaxbxabxxab（二） 、 再证2fx； 由、 式中关于,x a b的对称性，不妨设xab 则02b（）、当7ab，则5a，所以5xa，因为111b，11211115xa，此时1112111fxxab（）、当7ab，由得 ,8xab，181ababx，因为222111114(1)2(1)bbbbbbb所以112(1)1bbb同理得112(1)1aaa ，于是8 1222 118ababfxabab今证明2118abababab , 因为211(1)(1)abababab，只要证(1)(1)8abababab，即8(1)(1)abab，也即7ab，据，此为显然 因此得证故由得( )2f x综上所述，对任何正数a, x，皆有12fx【易错点】函数性质掌握不够透彻【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证【巩固训练】题型一求函数的定义域和值域1. 设表示不超过的最大整数（如,）, 对于给定的N*, 定义, 求当时，函数的值域【答案】【解析】；当时，因为函数在上是减函数，得；当时，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是2. 设函数，则函数的定义域是xx22145n(1)(1),(1)(1)xnn nnxCx xxxx1,x3,32xC828,328(316,4(28,328(316, 4()2,23x1xxCx88xu8)2,2331684x)3 ,2x2x)1(568xxCx6) 1(2xx28)1(56328xxx3,32xC828,328(316,4(xxxf22ln)()1()2()(xfxfxg9 【答案】【解析】 由得，的定义域为。

故解得或3. 求函数22( )10968256f xxxxx的最大值【答案】 最大值3 35【解析】( )(1)(9)(4)(64)f xxxxx，则定义域为49x为了从两个根式中移出相同的常数，注意(1)(64)63xx，即2216416363xx，令1cos63x，64sin63x，为锐角，又由(4)(9)5xx，即2249155xx，令4sin5x，9cos5x，为锐角；所以163cos ,95cosxx，6463sin,x45sinx，于是，( )3 35 coscossinsin3 35cos()3 35f x，当时等号成立，此时19coscos635xx，于是19(1)(9)635635xxxx826817，126117x，12614311717x，而1434,917；即当14317x，( )f x取得最大值3 35)4,21()21, 4(022xx( )f x22x212222xx214x421x10 解二：利用()()abcdac bd，（因为2()abcdabcdabcdadbc，即2()()()abcdac bd，两边开方便得上式，其中取等号当且仅当adbc）；因此( )(1)(9)(64)(4)f xxxxx(164)(94)xxxx63 53 35，其中取等号当且仅当(1)(4)(9)(64)xxxx，即14317x题型二 函数图像问题1. 已知定义在 R上的奇函数， 满足, 且在区间 0,2 上是增函数 ,若 方 程f(x)=m(m0) 在 区 间上 有 四 个 不 同 的 根, 则【答案】 -8【解析】因为定义在 R上的奇函数，满足, 所以, 所以, 由为奇函数 , 所以函数图象关于直线对称且, 由知, 所以函数是以 8为周期的周期函数 , 又因为在区间0,2 上是增函数, 所以在区间 -2,0上也是增函数 . 如图所示 , 那么方程f(x)=m(m0) 在区 间上 有 四 个 不 同 的 根, 不 妨 设由 对 称 性 知所以2. 如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（）)(xf(4)( )f xf x8 ,81234,xxxx1234_.xxxx(4)( )f xfx(4)()f xfx)(xf2x(0)0f(4)( )f xf x(8)( )f xf x)(xf)(xf8 ,81。