福建师范大学21春《近世代数》在线作业三满分答案98.docx
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福建师范大学21春《近世代数》作业三满分答案1. 若函数|f(x)|在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处必可导；若函数|f(x)|在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处必可导；错误例如，，可 见|f(x)|在点x=0处可导，而f(x)在点x=0处不可导． 2. 甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下： 前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军； (b)若乙获亚军，甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下： 前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军； (b)若乙获亚军，则甲不能获冠军； (c)若丁获亚军，则丙不能获亚军； 事实是：(d)甲获冠军； 结论是：(e)丁没有获亚军 请证明此结论是有效结论[证明]如果令 P：甲获冠军； Q：乙获亚军； R：丙获亚军； S：丁获亚军 由题意可知，需证明 P→(QR)，Q→￢P，S→￢R， 用间接证明法： ①S P(附加前提) ②S→￢R P ③￢R T①，② ④P P ⑤P→(QR) P ⑥QR T④，⑤ ⑦(￢Q→R)∧(R→￢Q) T⑥ ⑧￢Q→R T⑦ ⑨Q→￢P P ⑩￢Q T④，⑨ (11)R T⑧，⑩ (12)R∧￢R(矛盾) T③，(11) 3. 已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，且，则φ(x)=______．已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，且，则φ(x)=______．arcsin(1-x2)()4. 设P(A)＞0，P(B)＞0，则______正确． A．若A与B独立，则A与B必相容 B．若A与B独立，则A与B必互不相容 C．若A与B互设P(A)＞0，P(B)＞0，则______正确． A．若A与B独立，则A与B必相容 B．若A与B独立，则A与B必互不相容 C．若A与B互不相容，则A与B必独立 D．若A与B相容，则A与B必独立A因为P(A)＞0，P(B)＞0，所以，若A与B独立，则 P(AB)=P(A)P(B)＞0． 从而AB≠Φ，即A与B相容，所以选项A正确，而选项B不正确． A的等价命题也成立，即若A与B互不相容，则A与B必不独立，所以C不正确，D显然不正确． 故应选A． 5. 设f(χ)＝χ4，χ∈[0，1]，取h＝0．2，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(0．44)的估计值。
设f(χ)＝χ4，χ∈[0，1]，取h＝0．2，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(0．44)的估计值正确答案：取χj-1＝0．4χj＝0．6则f(χj-1)＝0．44＝0．0256f(χj)＝0．64＝0．1296则由线性插值得\r\n\r\n 由两点三次Hermite插值公式计算得\r\n\r\n 真值f(0．44)＝0．03748096显然Hermite插值比线性插值的精度高取χj-1＝0．4,χj＝0．6,则f(χj-1)＝0．44＝0．0256,f(χj)＝0．64＝0．1296,则由线性插值得由两点三次Hermite插值公式计算得真值f(0．44)＝0．03748096,显然Hermite插值比线性插值的精度高6. 某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品 q 吨收取客户的收入(单位:万元)为 R(q)= 4q一 0.5q2试求当运输量为多少时，利润最大?最大利润为多少?参考答案：运输 q 吨商品的成本函数为 C(q) =q十2利润函数为 L(q) =R(q)-C(q)=3q一 0.5q2_2令 ML(q)=3-q=0得惟一驻点 q=3 吨。
故当运输量为 3 吨时，利润最大最大利润为 L(3)= 2.5 万元7. 二次积分∫02dy∫y4-yf(x，y)dx改变成先y后x的积分是______二次积分∫02dy∫y4-yf(x，y)dx改变成先y后x的积分是______∫02dx∫02f(x，y)dy+∫24dx∫04-xf(x，y)dy8. 长度为3的素数等差数列的共同的公差素因素是几?A、6.0B、3.0C、2.0D、1.0长度为3的素数等差数列的共同的公差素因素是几?A、6.0B、3.0C、2.0D、1.0正确答案： C9. 盒子中有10个球，其中8个白球和2个红球，由10个人依次取球不放回，求第二人取出红球的概率盒子中有10个球，其中8个白球和2个红球，由10个人依次取球不放回，求第二人取出红球的概率0.210. 设f(x)在区间[a，b]上连续，则函数在区间[a，b]上一定( )． A．连续 B．可导 C．可积 D．有界设f(x)在区间[a，b]上连续，则函数在区间[a，b]上一定( )． A．连续 B．可导 C．可积 D．有界ABCD[解] 全都成立．首先，由于f(x)在[a，b]连续，故在[a，b]上成立F'(x)=f(x)，这说明F(x)于[a，b]上可导，再从可导推出连续，而闭区间上连续函数必有界，闭区间上连续函数必定可积等一般结果知，其他选项正确．11. 若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导函数，且 f(x1)=f(x2)=f(x3)(a＜x1＜x2＜x3＜b)，证明：在(x1，x3)内至少有一点ξ，使若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导函数，且 f(x1)=f(x2)=f(x3)(a＜x1＜x2＜x3＜b)，证明：在(x1，x3)内至少有一点ξ，使得f"(ξ)=0．显然f(x)在(a，b)内连续可导，故f(x)在[x1,x2]及[x2，x3]上连续，在(x1，x2)及(x2，x3)上可导，于是由罗尔定理知，ξ2∈(x2，x3)，使得 f'(ξ1)=f'(ξ2)=0 (ξ1＜ξ2)，又，故f(x)在[ξ1，ξ2]上连续可导，再次应用罗尔定理知， 使得f"(ξ)=0， ξ∈(x1，x3)． 12. R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记{x1，…，xn}与{y1，…，yn)的样本相关系数为rxy，即 则有关系R2=(rxy)2． 事实上，因 所以 因此R2=1，对应着|rxy|=1，x与y有最大线性相关；R2=0，x与y无线性相关关系．但用rxy说明回归直线的拟合程度需慎重，例如当rxy=0.5时，只能推出R2=0.25，也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半! 13. 设方程组 系数行列式｜A｜=0，而A中某行元素aij的代数余了式Aij≠0，试证(Ai1,Ai2,…,Ain)T是该方程组的一个基设方程组 系数行列式｜A｜=0，而A中某行元素aij的代数余了式Aij≠0，试证(Ai1,Ai2,…,Ain)T是该方程组的一个基础解系．证： 因为｜A｜=0，所以AA*=｜A｜E=O， 将A*按列分块A*=[α1,α2,…,αn]，其中αi=(Ai1,Ai2,…,Ain)T，则 AA*=[Aα1,Aα2,…,Aαn]=[0,0,…,0] 即Aαi=O(i=1,2,…,n)，αi是齐次方程组Ax=0的解．又因为｜A｜=0，Aij≠0)，即A存在一个r-1阶的非零子式，所以秩(A)=n-1． 故方程组Ax=0的基础解系只包含有n-r(A)=1个解向量，任意一个非零解向量都可作为Ax=0的基础解系．由Aij≠0，知αi=(Ai1,Ai2,…,Ain)T≠0是Ax=0的一个基础解系．[逻辑推理] 利用基础解系的定义直接求解． 14. 几时发表“不大于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年几时发表“不大于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年正确答案： D15. 设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7)T，y0=(0，1)T。
求由向量方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=g(x)在x0处的导数，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2)T由于题中的向量方程f(x，y)=0是由两个五元方程f1(x1，x2，x3，y1，y2)=0与f2(x1，x2，x3，y1，y2)=0构成的方程组，其中的5个变量是x1，x2，x3，y1，y2，因此能确定两个三元函数由题意，它们就是y1=g1(x1，x2，x3)，y2=g2(x1，x2，x3)容易验证，f1与2满足隐函数存在定理的条件(1)，(2)(读者自 所以能在(x0，y0)T的某邻域内唯一确定两个单值的有连续偏导数的三元函数y1=g1(x1，x1，x3)与y2=g2(x1，x2，x3)，也就是以g1与g2为分量的向量值函数y=g(x)，要求的导数就是g在x0处的Jocobi矩阵 16. 两奇函数之和是______，两奇函数之积是______，两偶函数之积是______，一个偶函数与一个奇函数之积是______两奇函数之和是______，两奇函数之积是______，两偶函数之积是______，一个偶函数与一个奇函数之积是______填奇、偶函数)奇函数$偶函数$偶函数$奇函数17. 设A∈Rn×n，则存在有限个Givens矩阵(或Householder矩阵)的乘积Q，使得QAQT为上Hessenberg矩阵．设A∈Rn×n，则存在有限个Givens矩阵(或Householder矩阵)的乘积Q，使得QAQT为上Hessenberg矩阵．仅讨论使用Givens矩阵的情形． 第1步：设A=(aij)n×n，记β(0)=(a21，…，an1)T∈Rn-1，当β(0)=0时转入 第2步；β(0)≠0时，构造有限个Givens矩阵的乘积T0，使得 T0/β(0)=|β(0)|e1 (e1∈Rn-1)． 记，则有 = 第2步：A(1)∈R(n-1)×(n-1)，记∈Rn-2，当β(1)=0时转入第3步；β(1)≠0时，构造有限个Givens矩阵的乘积T1，使得 T1/β(1)=|β(1)|e1 (e1∈Rn-2)． 记，则有 第3步：A(2)∈R(n-2)×(n-2)，… 第n-2步：，记 当β(n-3)=0时结束；β(n-3)≠0。
