高等代数教案北大版第六章.pdf

授课内容授课内容教学时数教学时数教学目标教学目标教学重点教学重点教学难点教学难点教学方法与教学方法与手段手段第六章第六章 线性空间线性空间第一讲第一讲 集合映射集合映射2 2授课类型授课类型讲授讲授通过本节的学习通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义求和号与乘积号的定义集合映射的有关定义集合映射的有关定义集合映射的有关定义集合映射的有关定义讲授法讲授法启发式启发式1.1.集合的运算集合的运算,集合的映射集合的映射(像与原像、单射、满射、双射像与原像、单射、满射、双射)的概念的概念定义定义:(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集交集,记作AB；把A和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集并集,记做AB；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的教教学学过过程程元素组成的集合成为A与 B 的差集差集,记做A B.定义定义:(集合的映射)设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a),则称f是A到B的一个映射映射,记为f:A B,af(a).如果f(a)bB,则b称为a在f下的像像,a称为b在f下的原像原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像像,记做f(A),即f(A)f(a)|a A.若a a A,都有f(a)f(a),则称f为单射单射.若bB,都存在a A,使得f(a)b,则称f为满射满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双双射射,或称一一对应一一对应.2.2.求和号与求积号求和号与求积号(1)(1)求和号与乘积号的定义求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域K上n个数a1,a2,an,我们使用如下记号:a1 a2 anai,a1a2anai.i1nni1当然也可以写成a1 a2 an(2)(2)求和号的性质求和号的性质容易证明,1inai,a1a2an1inai.aiai,(aibi)aibi,aijaij.i1i1i1i1i1nnnnnnmmni1j1j1 i1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:a11a21an1a12a22a1ma2man2anm分别先按行和列求和,再求总和即可.讨论、讨论、练习与练习与作业作业课后反思课后反思授课内容授课内容教学时数教学时数教学目标教学目标教学重点教学重点教学难点教学难点教学方法与教学方法与手段手段第二讲第二讲线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质2 2授课类型授课类型讲授讲授通过本节的学习通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质掌握线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质讲授法讲授法启发式启发式一一.线性空间的定义线性空间的定义(1)(1)定义定义 1 1(线性空间)设 V 是一个非空集合,且 V 上有一个二元运算“+”(V V V),又设 K 为数域,V 中的元素与 K 中的元素有运算数量乘法“”(KV V),且“+”与“”满足如下性质:教教学学过过程程1、加法交换律,V,有；2、加法结合律,V,有()()；3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0；4、存在负元,即V,存在V,使得 0；5、“1 律”1；6、数乘结合律k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)；7、分配律k,lK,V,都有(k l)kl；8、分配律k K,V,都有k()kk,则称V为K上的一个线性空间线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合 V 有关.(2)(2)零向量和负向量的唯一性零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质算与通常数的加、乘法类似的性质命题命题 1 1零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0均是零元素,则由零元素的性质,有0 00 0；V,设,都是的负向量,则 0()()0,于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.定义定义 2 2(减法)我们定义二元运算减法“-”如下:定义为().命题命题 2 2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、加法满足消去律；2、可移项；3、可以消因子k且k 0,则1；k4、0 0,k 0 0,(1).(3)(3)线性空间的例子线性空间的例子例例1 1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K,V中加法的定义就是函数的加法,关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成 K 上的线性空间.二二 线性空间中线性组合和线性表出的定义线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述的定义以及等价表述,向量组的秩向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组向量组的线性等价；极大线性无关组.定义定义 3 3(线性组合)给定 V 内一个向量组1,2,数k1,k2,合合.定义定义4 4(线性表出)给定V内一个向量组1,2,量,如果存在 K 内 s 个数k1,k2,量可以被向量组1,2,s,又给定数域 K 内 s 个,s的一个线性组线性组,ks,称k11k22kss为向量组1,2,s,设是V内的一个向kss,则称向,ks,使得 k11k22,s线性表出线性表出.,s,定义定义5 5(向量组的线性相关与线性无关)给定V内一个向量组1,2,如果对 V 内某一个向量,存在数域 K 内不全为零的数k1,k2,ks,使得k11k22k11k22kss 0,则称向量组1,2,kss 0必 定 推 出k1 k2,s线性相关线性相关；若由方程 ks 0,则 称 向 量 组1,2,s线性无关线性无关.命题命题 3 3设1,2,1)1,2,sV,则下述两条等价:s线性相关；2)某个i可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义定义 6 6(线性等价)给定 V 内两个向量组1,2,1,2,r (),s (),如果()中任一向量都能被()线性表示,反过来,()中任一向量都能被()线性表示,则称两向量组线性等价线性等价.定义定义7 7(极大线性无关部分组)给定V内一个向量组1,2,一个部分组i1,i2,(i)、i1,i2,s,如果它有,ir满足如下条件:,ir线性无关；,ir线性表示,(ii)、原向量组中任一向量都能被i1,i2,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到K的一些特有的性质,于是那些命题性空间中依然成立.定义定义 8 8(向量组的秩)一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩秩.例例 2 2 求证:向量组e1,enx2x的秩等于 2(其中1x12).证明证明:方法一方法一:设k1,k2R,满足k1e k2e2x 0,则k1e1x k2e2x,假若k1,k2不全为零,不妨设k1 0,则有e(12)x k2,而由于12,等号左边k1为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是k1 k2 0.所以e1x,e2x线性无关,向量组的秩等于 2.证毕.1x方法二方法二:若在(a,b)上k1e两端求导数,得k11e1x k2e2x 0,k22e2x 0,cck1e1k2e2 0,以x c(a,b)代入,有1c2ck11ek22e 0.e1c而1e2ce2c(12)c e(21)0,2e2c于是k1 k2 0.证毕.讨论、讨论、练习与练习与作业作业课后反思课后反思授课内容授课内容教学时数教学时数教学目标教学目标教学重点教学重点教学难点教学难点教学方法与教学方法与手段手段第三讲第三讲维数、基与坐标维数、基与坐标2 2授课类型授课类型讲授讲授通过本节的学习通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质向量的坐标的有关定义及性质基与维数、向量坐标的有关定义基与维数、向量坐标的有关定义基与维数、向量坐标的有关定义基与维数、向量坐标的有关定义讲授法讲授法启发式启发式一一、基和维数基和维数设 V 是数域 F 上一个向量空间,1，2，nV令 L(1,n，knF，则 L(1，2，2，n)=kiik1，k2，i1教教学学过过程程n)是 V 的一个子空间，叫做由1,2,n 生成的子空间，其中向量1，2，,n 叫做这个子空间的一组生成元例 1在 Fx中，由多项式 1，x，xn-1 所生成的子空间为L(1，x，xn-1)=a0+a1x+an-1xn-1|aiF，就是 F 上一切次数小于 n 的多项式连同零多项式所成的子空间Fxn，ir是向量组1,2,n的一个极大无关组由命题设i1，i2，ir线性3，子空间 L(1，2，n)的每一个向量都可以由i1，i2，ir的任意一个线性组合自然是L(1，2,表示另一方面i1，i2，n)中的向量因此我们有命题 1设1，2，n是向量空间 V 的一组不全为零的向量，而i1,i2,ir是它的一个极大无关组则L(1，2，n)=L(i1,i2,ir)根据这个命题，若子空间L(1，2，n)不等于零空间，则它总可以由一组线性无关的生成元生成一个向量空间 V 本身也可能由其中某 n 个向量生成，因此引入以下的定义 1设1，2，n是数域 F 上向量空间 V 的向量组，满足以下条件：1)1，2，n 线性无关；2)V 中每一个向量都可以由1，2，n 线性表示，则称1，2，n 是 V 的一个基例 2在空间 V2 里，由原点出发的任意两个不共线的向量1，2 都构成一个基；在 V3 里，由原点出发的任意三个不共面的向量1，2，3 都构成一个基例 3在数域 F 上的 mn 矩阵空间 Fmn 里，A=(aij)mnFmn，都可以表成A=i1 j1aijEij；mn且若aijEij 0，即(aij)mn 是零矩阵，则 aij=0，i=1，m，j=1，i1 j1mn，m；j 1，n是 Fmn 的一个基n因此,Eiji 1，数域 F 上的一个向量空间若有基，当然不只有一个基 然而根据基的定义，一个向量空间的任意两个基是彼此等价的于是由推论 1，一个向量空间的任意两个基所含向量的个数是相等的因此引入定义 2一个向量空间 V 的一个基所含向量的个数叫做 V 的维数，记作dimV零空间的维数定义为 0这样，空间 V2 的维数是 2，V3 的维数是 3；Fn 的维数是 n；向量空间 Fmn的维数是 mn例 4求数域 F 上所有 n 阶反对称矩阵组成的向量空间 V 的一个基及其维数解任一 n 阶反对称矩阵 A 具有形式0a12A a1na12a1n0a2na2n0因此A a12E12 E21a13E13 E31 a1nE1n En1 an1nEn1n Enn1由于EijEjiEjiEijEijEji，En1n Enn1都是反对称矩阵假设所以E12 E21，E13 E31，k12E12 E21k13E13 E31kn1nEn1n Enn1 0，n 是Mn(F)的 一 个 基，所 以由 于 Eiji 1,n；j 1E12，E21，E13，E31，En1n，Enn1线 性 无 关，从 而 由 可 推 出k12En1n Enn1线性无关又由便可得出，k13 kn1n 0故E12 E21，E12 E21，En1n Enn1是 V 的一个基，且dimV n 1n 21nn 12若一个向量空间不能由有限个向量生成，则它自然也不能由有限个线性无关的向量生成对这一情形，就说这个向量空间是无限维的例 5 Fx作为 F 上向量空间是无限维的事实上，假设 Fx由有限个多项式 f1(x)，f2(x)，ft(x)生成自然可以设这些多项式都不为零令n 是这 t 个多项式的次数中最大的，则Fx中次数大于 n 的多项式不可能由这 t 个多项式线性表示这就导致矛盾，故Fx是无限维的由此易见1 中向量空间 Ca，b也是无限维的命题 2在 n 维。