2021年南昌市高中数学竞赛试题及答案.docx

南昌市高中数学竞赛试题及答案（注意：题号后凡标有“高一”，为高一学生解答题；凡标有“高二”，为高二学生解答题；凡未作以上标志，则为高一、高二学生共同解答题）一、填空题（每题10分，共80分）1.（高一）化简成果是 ．答案：解：，故原式（高二） 设，若函数与具备相似最小值，函数与具备相似最大值，则 ．答案：解：故由，得…………①故由，得…………②由①②得，因此…………③，或者…………④若，由②④，，即，矛盾！故只有，此时，2.（高一）若个持续正整数之和为，则最大值是 ．答案：解：设，则，注意，且，为使值最大，当选用使得较小因子尽量去获得最大，由于，可令（此时相应于）．（高二） 是椭圆上位于第一象限一点，若与两焦点连线互相垂直，则点坐标为 ．答案：解：椭圆两焦点为，若点坐标为，则，以及，解得3.（高一） 三角形边长为正整数，周长为24，这种三角形共有 个．答案：12个．解：设三角形三条边长为，且，，则，再由，得，因此即，于是在时，，于是；在时，，有；在时，，有；在时，，有；共计12种情形．（高二）锐角三角形中，最小值是 ．答案：解：记，则两边立方，得，当且仅当，4.（高一）若为锐角，使得，则 ．答案：24.解：据，得，解得及，若，则，不合题意，故只有（高二）单位正方体（各棱长皆为1正方体）中，将每一对相邻中心连接，得到一种具备六个顶点多面体，其体积是 ．答案：解：如图，分别是及中点，则自作平行于平面，将多面体提成两个全等四棱锥，其底面面积为，高为5.如果一种单调递增数列每一项皆是由排成没有重复数字五位数，则 ．答案：解：总共可排出120个数，其中5开头有24个，它们中最小数是倒数第24个数，即全体这种五位数自小到大第97个数，5开头数后四位均由排成，这四个数码排成数自小到大顺次是，因此6.从中取出个不同数，使得取出数中，任两个数差，既不等于5，也不等于8，则最大值是 ．答案：6．解：将排列于一种圆上，使得每相邻两数之差，或者为5，或者为8，然后选用一组互不相邻数，至多能取到六个数，例如取．（若取7个数，则必有两数在圆周上相邻），因而7.满足正整数解组数为 ．答案：165.解：由条件得，由于有个正因子，对于每个正因子，由可以得到一种值，而当值拟定后，值便随之拟定，于是共有165组解．8.集合是集合子集，且中至少具有一种平方数或者立方数，则这种子集个数是 ．答案：解：集合中平方数或立方数构成集合，其中有12个元素，从中挖去集合后剩余元素构成集合，则中具有个元素，由于子集有个，非空子集有个，集可表达为形式，其中是任一非空子集，是任一子集，因而个数为二、解答题9.（20分）集合与分别由满足如下条件所有五位数构成：对于集合每个元素，其各位数码之和加1或减1之后是5倍数；对于集合每个元素，其各位数码之和或者是5倍数，或者减2之后是5倍数．证明：（即这两个集合元素个数相等．）证：对于任一五位数，其中，各位数码之和记为；对于集合中任意一数，令与五为数相相应，其中每个满足等式：则，且据此可知，若，则，若，则，于是当时，必有，并且不同相应于不同．反过来也是如此，即这种相应是一一相应，从而这两个集合元素个数相等．10.（25分）四边形内接于觉得直径圆，分别是边上点，且．证明：三线共点．证：设分别交于，对角线交于，只要证三点共线． 连，由△∽△，得…………①又由△∽△，△∽，得相乘得…………②将①②相乘得，，因而直角三角形△∽△，因此，，故三点共线，从而三线共点．11.如果实数集合全体元素可以排成一种等比数列，就称是一种几何集，例如无穷集合就是一种几何集．试拟定，与否存在7个几何集，使得它们并集元素中，包具有前50个正整数，即，其中．证明你结论．解：不存在．一方面证明，任一种几何集之中至多具有两个质数．反证法，假若某个几何集元素中具有三个质数，其中，若其首项为，公比为，记其中正整数．则由此即有因此，，这与是质数矛盾．于是，7个几何集并集中，至多具有14个质数，而中具有15个质数，因而满足条件7个几何集不存在．。