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理论力学竞赛理论力学竞赛① ① 静力学专题静力学专题② ② 运动学专题运动学专题③ ③ 动力学专题动力学专题1 全国周培源大学生力学竞赛考试范围材料力学基本部分专题部分理论力学基本部分专题部分2 理论力学(基本部分)( (一一) ) 静力学静力学 (1) 掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质能熟练地掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩 (2) 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质能掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质能熟练地计算力偶矩及其投影熟练地计算力偶矩及其投影 (3) 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质掌握汇掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果能熟练地计算各类力系的主矢和主矩掌握重心的概念及能熟练地计算各类力系的主矢和主矩掌握重心的概念及其位置计算的方法其位置计算的方法 (4) 掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质能熟掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。
能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图练地画出单个刚体及刚体系受力图 (5) 掌握各种力系的平衡条件和平衡方程能熟练地求解掌握各种力系的平衡条件和平衡方程能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题单个刚体和简单刚体系的平衡问题 (6) 掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念会求解考虑滑动摩掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题3 理论力学(基本部分)( (二二) )运动学运动学 (1) 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度 (2) 掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法能熟练求轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度度和加速度 (3) 掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。
速度合成定理和加速度合成定理 (4) 掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念能熟练求解平面运动刚体的角速度刚体速度瞬心的概念能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度4 理论力学(基本部分)( (三三) )动力学动力学 (1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法了解两类动力掌握建立质点的运动微分方程的方法了解两类动力学基本问题的求解方法学基本问题的求解方法 (2) 掌握刚体转动惯量的计算了解刚体惯性积和惯性主掌握刚体转动惯量的计算了解刚体惯性积和惯性主轴的概念轴的概念 (3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能 (4) 掌握动力学普遍定理掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定及相应的守恒定理，并会综合应用。
理，并会综合应用 (5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法了解其两掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法了解其两类动力学基本问题的求解方法类动力学基本问题的求解方法 (6) 掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化掌握质点系达朗贝尔原理贝尔惯性力系的简化掌握质点系达朗贝尔原理(动静法动静法) ，并会综合应用了解定轴转动刚体静平衡与动平衡的概，并会综合应用了解定轴转动刚体静平衡与动平衡的概念5 理论力学(专题部分)专题专题1 1：： 虚位移原理虚位移原理 掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、广义坐标的概念；会应用质点系虚位移原理广义坐标的概念；会应用质点系虚位移原理专题专题2 2：： 碰撞问题碰撞问题 (1) (1) 掌握碰撞问题的特征及其简化条件掌握恢复因掌握碰撞问题的特征及其简化条件掌握恢复因数概念数概念 (2) (2) 会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚体的碰撞问题运动刚体的碰撞问题6 公理公理1 力的平行四边形规则力的平行四边形规则 F1F2FRFROF1F2FR=F1+ F2 ★★ 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定成的平行四边形的对角线确定§1 §1 静力学公理静力学公理静力学公理静力学公理A7 ★★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的这两个力的大小相等大小相等，，方向相反方向相反，，且在同一直线上且在同一直线上F1F2 公理公理2 二力平衡条件二力平衡条件 AB注意：注意： 公理对于刚体的平衡是公理对于刚体的平衡是充要充要条件，而对变形体仅为条件，而对变形体仅为 平衡的平衡的必要必要条件；条件；F1= F28 公理公理3 加减平衡力系原理加减平衡力系原理★★ 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用对刚体的作用 推理推理1 力的可传性力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
意一点，并不改变该力对刚体的作用AFABFF1 F2BAF2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力—— 滑动矢量滑动矢量作用线取代作用点作用线取代作用点9 推理推理推理推理2 2 三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且交于一点，则此三力必在同一平面内，且 第三个力的作用线通第三个力的作用线通过汇交点过汇交点CBOAF3F1F2F1F2F1210 公理公理公理公理4 4 作用与反作用定律作用与反作用定律作用与反作用定律作用与反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在，两力的小相等、方向相反，作用力和反作用力总是同时存在，两力的小相等、方向相反，作用力和反作用力总是同时存在，两力的小相等、方向相反，作用力和反作用力总是同时存在，两力的小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
公理公理公理公理5 5 刚化原理刚化原理刚化原理刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变体，其平衡状态保持不变11 §2 §2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程F FR R=0=0MMo o=0=0′ ′｝平面任意力系平衡的解析条件：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零数和也等于零● 几点说明：几点说明：（（1）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；（（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。
平衡方程平衡方程12 （（（（A A、、、、B B、、、、C C 三点不得共线）三点不得共线）三点不得共线）三点不得共线）（（（（x x 轴不得垂直于轴不得垂直于轴不得垂直于轴不得垂直于A A、、、、B B 两点的连线）两点的连线）两点的连线）两点的连线） 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式基本形式基本形式基本形式基本形式二力矩式二力矩式二力矩式二力矩式三力矩式三力矩式三力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？是否存在三投影式？是否存在三投影式？是否存在三投影式？13 解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解：解：解：解：取三角形板取三角形板取三角形板取三角形板ABCABC为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象FDECBAaaaMMP PF FA AF FB B例例例例 题题题题 1 1求：求：三杆对三角三杆对三角平板平板ABC的约束反力的约束反力F FC CP PACaaaMMB14 500NDCEFFExExFFEyEyFFDxDxFFDyDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mF FAxAxFFAyAyF FBB求：求：求：求：DD、、、、E E的约束反力。
的约束反力的约束反力的约束反力例例例例 题题题题 2 2解：解：解：解：(1)(1)取取取取CDECDE为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得(2)(2)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解得解得解得解得: :15 GEBFFGxGxFFGyGyFFBB(3) (3) 取取取取BEGBEG为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得: :500N500NDCEFFExExFFEyEyFFDxDxFFDyDy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mF FAxAxFFAyAyF FBB代入（代入（代入（代入（3 3）式得）式得）式得）式得: :16 BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：解：解：解：(1) (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象(2) (2) 取取取取DEFDEF杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：(3) (3) 取取取取ADBADB杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEF FNENEB求：求：求：求：A A、、、、DD、、、、B B的约束反力。
的约束反力的约束反力的约束反力例例例例 题题题题 3 317 aaBBCCDDAAFFEEP Paaaaaa( (a a) )aaBBCCDDAAFFEEPPaaaaaa( (b b) )aaBBCCDDAAFFEEaaaaaaMM( (c c) )aaBBCCDDAAFFEEaaaaaaMM( (d d) )18 P PP PABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：求：求：求：A A、、、、DD的约束反力的约束反力的约束反力的约束反力例例例例 题题题题 4 4解：解：解：解：(1)(1)取取取取BCBC杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：(2)(2)取取取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：代入（代入（代入（代入（3 3）式解得：）式解得：）式解得：）式解得：19 CDP PP PABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB(3)(3)取取取取CDCD杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：F FDxDxF FDyDyMMD D20 BCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyMMA AFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：解：解：解：(1) (1) 取取取取DEDE杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象(2) (2) 取取取取BDCBDC杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象(3) (3) 取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：解得：解得：求：求：求：求： A A、、、、B B的约束反力。
的约束反力的约束反力的约束反力例例例例 题题题题 5 5已知：已知：已知：已知：q q=50kN/m=50kN/m, , MM=80kN·m=80kN·m21 桁架桁架桁架桁架由二力杆铰接构成由二力杆铰接构成由二力杆铰接构成由二力杆铰接构成求平面静定桁架各杆内力的两种方法：求平面静定桁架各杆内力的两种方法：求平面静定桁架各杆内力的两种方法：求平面静定桁架各杆内力的两种方法：★★★★ 节点法：节点法：节点法：节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于的数目不宜多于的数目不宜多于的数目不宜多于2 2个★★★★ 截面法截面法截面法截面法 ：：：：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。
应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于于于于3 322 PPEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：解：解：解：(1) (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：解得：解得：(2) (2) 取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象aaaaaaPP21ABECD(3)(3)取节点取节点取节点取节点AA为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象FAxFAyFNB求：求：求：求：桁架桁架桁架桁架1 1、、、、2 2杆的力 例例例例 题题题题 6 623 F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021222324求：求：求：求：图示桁架中受力图示桁架中受力图示桁架中受力图示桁架中受力为零的杆件。
为零的杆件为零的杆件为零的杆件 思思思思 考考考考 题题题题 解：解：解：解：由节点法可知由节点法可知由节点法可知由节点法可知(a)(a)图中受力为零的图中受力为零的图中受力为零的图中受力为零的(b)(b)杆件有：杆件有：杆件有：杆件有：3 3、、、、1212、、、、9 9b) (b) 图中受力为零的图中受力为零的图中受力为零的图中受力为零的杆件有：杆件有：杆件有：杆件有：1 1、、、、3 3、、、、4 4、、、、1111、、、、1212、、、、1313、、、、1414、、、、1717、、、、212124 小结：小结：小结：小结： 其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：衡方程如下：衡方程如下：衡方程如下：力力 系系 名名 称称独立方程的数目独立方程的数目共线力系共线力系共线力系共线力系平平 衡衡 方方 程程平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系112225 平衡方程的快速练习平衡方程的快速练习26 27 28 29 30 31 32 如何截断？33 34 §3 §3 空间力系空间力系空间力系空间力系1. 1. 空间力的投影和分解空间力的投影和分解空间力的投影和分解空间力的投影和分解OxyFz直接投影法直接投影法直接投影法直接投影法F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k35 yzOxFFxy二次投影法二次投影法二次投影法二次投影法F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k36 §3-2 §3-2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩1. 力对点的矩力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空间的力对空间的力对O点之矩取决于：点之矩取决于：（（1）力矩的）力矩的大小大小；；（（2）力矩的）力矩的转向转向；；（（3）力矩）力矩作用面方位作用面方位。
★★ 须用一矢量表征须用一矢量表征 MO(F) =Fh=2△OAB 37 OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)MO(F)定位矢量定位矢量定位矢量定位矢量38 2. 力对轴的矩力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz ★★★★ 力对轴的矩等于力在垂力对轴的矩等于力在垂力对轴的矩等于力在垂力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对直于该轴的平面上的投影对直于该轴的平面上的投影对直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩轴与平面交点的矩轴与平面交点的矩轴与平面交点的矩MMMz zz( ( (F F F) ) ) = = = MMMO OO( ( (F F Fxyxyxy) ) )=±=±=±F F Fxy xy xy h h h = ±2 = ±2 = ±2 △△△OAbOAbOAb 力对轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征————力对刚体绕某轴的转动效应力对刚体绕某轴的转动效应力对刚体绕某轴的转动效应力对刚体绕某轴的转动效应MMz z( (F F) ) ☆☆☆☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零39 yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式40 3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系● ● 力对点的矩矢在通过力对点的矩矢在通过力对点的矩矢在通过力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等该点的某轴上的投影，等该点的某轴上的投影，等该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩于力对该轴的矩于力对该轴的矩于力对该轴的矩41 Mz(F)(x,y,z)）FxyMMMz zz( ( (F F F) ) ) = = = MMMO OO( ( (F F Fxyxyxy) ) ) = ±2 = ±2 = ±2 △△△OabOabOab 42 求：求：求：求： MMOO( (F F) ) 例例例例 题题题题 2 2已知：已知：已知：已知：F F、、、、 a a、、b b、、 、、 解：解：解：解：(1) (1) 直接计算直接计算直接计算直接计算43 (2) (2) 利用力矩关系利用力矩关系利用力矩关系利用力矩关系44 zPOabcAxy已知：已知：已知：已知： P P 、、、、 a a、、b b、、c c求：求：求：求： 力力力力P P 对对对对OAOA轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩例例例例 题题题题 3 3MO(P)解：解：解：解：（（（（1 1）计算）计算）计算）计算 MMOO( (P P) )（（（（2 2）利用力矩关系）利用力矩关系）利用力矩关系）利用力矩关系力对点的矩矢在通过该点的某轴力对点的矩矢在通过该点的某轴的投影，等于力对该轴的矩。
的投影，等于力对该轴的矩45 OABCFD已知：已知：已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOA=OB=OC =b, OA⊥⊥OBOB⊥⊥OC.OC.求：求：求：求：力力力力 F F 对对对对OA OA 边的中点边的中点边的中点边的中点DD之矩在之矩在之矩在之矩在ACAC方向的投影方向的投影方向的投影方向的投影例例例例 题题题题 4 4解：解：解：解：利用力矩关系利用力矩关系利用力矩关系利用力矩关系xyz46 OABCFDxyz47 矢量矢量A在轴在轴B上的投影上的投影: AB= A · eBAB= A · eBAθeBB48 §3-3 §3-3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化空间任意力系的简化空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOyxzM2M1M3xzyOMO主矢主矢主矢主矢F FRR′ ′MMOO主矩主矩主矩主矩49 xzyOMO50 §3-4 §3-4 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析● ● F FR R=0=0，，MMO O≠0≠0′ ′● ● F FR R≠ ≠ 0 0，，MMO O=0=0′ ′● ● F FR R≠ ≠ 0 0，，MMO O ≠0≠0′ ′● ● F FR R=0=0，，MMO O= =0 0′ ′● ● F FR R=0=0，，MMo o≠0≠0′ ′★★★★ 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。
主矩与简化中心的位置无关主矩与简化中心的位置无关主矩与简化中心的位置无关1. 1. 空间任意力系简化为一合力偶的情形空间任意力系简化为一合力偶的情形空间任意力系简化为一合力偶的情形空间任意力系简化为一合力偶的情形51 oMoo1FRMMO O( (F FR R)= )= F FR Rd d= =MMO O=∑ =∑ MMO O( (F Fi i) )MMO O( (F FR R)= ∑ )= ∑ MMO O( (F Fi i) )MMz z( (F FR R)= ∑ )= ∑ MMz z( (F Fi i) )● ● F FR R≠ ≠ 0 0，，MMO O ≠0 ≠0 且且且且 F FR R ⊥⊥ MMO O′ ′′ ′o1FR′′FRdo2. 2. 空间任意力系简化为一合力的情形空间任意力系简化为一合力的情形空间任意力系简化为一合力的情形空间任意力系简化为一合力的情形 · · 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理● ● F FR R≠ ≠ 0 0，，MMO O=0=0′ ′合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心52 ● ● ● F F FR RR≠ ≠ ≠ 0 0 0，，，MMMo o o ≠0 ≠0 ≠0 且且且且且且 F F FR RR ∥∥∥ MMMo oo′ ′ ′′ ′ ′OMoOMoOO力螺旋力螺旋左螺旋左螺旋右螺旋右螺旋3. 3. 空间任意力系简化为力螺旋的情形空间任意力系简化为力螺旋的情形空间任意力系简化为力螺旋的情形空间任意力系简化为力螺旋的情形53 OMo′′Mo′● ● ● F F FR RR≠ ≠ ≠ 0 0 0，，，MMMO O O ≠0 ≠0 ≠0 ，，，且为一般状态且为一般状态且为一般状态且为一般状态且为一般状态且为一般状态′ ′ ′OFRO1Mo′dOMo 一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋● ● F FR R=0=0，，MMO O= =0 0′ ′原力系平衡原力系平衡原力系平衡原力系平衡4. 4. 空间任意力系简化为平衡的情形空间任意力系简化为平衡的情形空间任意力系简化为平衡的情形空间任意力系简化为平衡的情形54 总结：总结：总结：总结： 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间汇交力系空间汇交力系平面任意力系平面任意力系基本形式基本形式基本形式基本形式 空间力偶系空间力偶系 空间平行力系空间平行力系55 OxyzF1F2ABCDEGH例题例题例题例题例题例题5 5 5：：：：：：棱长为棱长为棱长为棱长为 a a 的正方体上作用的力系如的正方体上作用的力系如的正方体上作用的力系如的正方体上作用的力系如图示。
则图示则（（（（1 1）力系的主矢量；）力系的主矢量；）力系的主矢量；）力系的主矢量；（（（（2 2）主矢量在）主矢量在）主矢量在）主矢量在 OE OE 方向投影的大小；方向投影的大小；方向投影的大小；方向投影的大小；（（（（3 3）力系对）力系对）力系对）力系对ACAC轴之矩；轴之矩；轴之矩；轴之矩；（（（（4 4）力系最终可简化为力螺旋，其中力）力系最终可简化为力螺旋，其中力）力系最终可简化为力螺旋，其中力）力系最终可简化为力螺旋，其中力 偶矩大小偶矩大小偶矩大小偶矩大小解解解解: : （（（（1 1）力系的主矢量）力系的主矢量）力系的主矢量）力系的主矢量56 OxyzF1F2ABCDEGH（（（（2 2））））主矢量在主矢量在主矢量在主矢量在 OE OE 方向投影的大小方向投影的大小方向投影的大小方向投影的大小（（（（3 3）力系对）力系对）力系对）力系对 AC AC 轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩57 OxyzF1F2ABCDEGH（（（（4 4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小58 PPPabc作业题：作业题：作业题：作业题：1.1. 沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力相等的力相等的力相等的力P P，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则a a、、、、b b、、、、c c应满足关系：应满足关系：应满足关系：应满足关系： 。
作业题：作业题：作业题：作业题：2.2. 棱长为棱长为棱长为棱长为 a a 的正方体上作用的力的正方体上作用的力的正方体上作用的力的正方体上作用的力系如图示则其简化的最后结果是：系如图示则其简化的最后结果是：系如图示则其简化的最后结果是：系如图示则其简化的最后结果是： oxyzF1F2F3oxyzF1F2F3F459 §4-1 §4-1 滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦F FP PF FNNF FssP PF FNN两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力有阻碍相对滑动的阻力有阻碍相对滑动的阻力有阻碍相对滑动的阻力————滑动摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力★★ 静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定1. 1. 静滑动摩擦力静滑动摩擦力静滑动摩擦力静滑动摩擦力60 F FP PF FNNF Fss静摩擦定律：静摩擦定律：静摩擦定律：静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体最大静摩擦力的大小与两物体最大静摩擦力的大小与两物体最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比间的正压力成正比间的正压力成正比间的正压力成正比3. 3. 动滑动摩擦力动滑动摩擦力动滑动摩擦力动滑动摩擦力2. 2. 最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力61 §4-2 §4-2 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题● ● 检验物体是否平衡；检验物体是否平衡；检验物体是否平衡；检验物体是否平衡；● ● 临界平衡问题；临界平衡问题；临界平衡问题；临界平衡问题；● ● 求平衡范围问题。
求平衡范围问题求平衡范围问题求平衡范围问题考虑摩擦的系统平衡问题的特点考虑摩擦的系统平衡问题的特点考虑摩擦的系统平衡问题的特点考虑摩擦的系统平衡问题的特点1.1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数增多2. 2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 F Fss≤ ≤f fssF FN N 3. 3. 除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程F Fmax max = = f fssF FN N 常见的问题有常见的问题有常见的问题有常见的问题有 62 P PFsFN解：解：解：解：取物块为研究对象，并假定其平衡。
取物块为研究对象，并假定其平衡取物块为研究对象，并假定其平衡取物块为研究对象，并假定其平衡解得解得解得解得 已知：已知：已知：已知：=400N=400N，，，，P P=1500N=1500N，，，，f fss=0.2=0.2，，，，f f = 0.18= 0.18问：问：问：问：物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向例例例例 题题题题 1 1物块不可能静止，而是向下滑动物块不可能静止，而是向下滑动此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向上，大小为此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向上，大小为63 P P P P P P P PFF1 243FsFsP PF1FsF12FN1P P2解：解：解：解：（（（（1 1））））取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象F Fss= =20N20N（（（（2 2）取书）取书）取书）取书1 1为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象（（（（3 3）取书）取书）取书）取书2 2为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象FN1F12′′FN2F23 已知：已知：已知：已知： P P=10N=10N，，，， f fss11 =0.1=0.1，，，， f fss22 = 0.25= 0.25。
问：问：问：问：要提起这四本书需加的最小压力要提起这四本书需加的最小压力要提起这四本书需加的最小压力要提起这四本书需加的最小压力例例例例 题题题题 2 264 P PFmaxFN解：解：解：解：取物块为研究对象，先求其最大值取物块为研究对象，先求其最大值取物块为研究对象，先求其最大值取物块为研究对象，先求其最大值解得：解得：解得：解得：（（（（2 2）求其最小值求其最小值求其最小值求其最小值解得：解得：解得：解得：求：求：求：求：平衡时水平力平衡时水平力平衡时水平力平衡时水平力 Q Q 的大小例例例例 题题题题 3 3已知：已知：已知：已知：P P，，，， ，，f fssP PFmaxFN65 MeaABdbABOFNAFAD解：解：解：解：取推杆为研究对象取推杆为研究对象取推杆为研究对象取推杆为研究对象考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程已知：已知：已知：已知：f fss，，，，b b 求：求：求：求：a a为多大，推杆才不致被卡为多大，推杆才不致被卡为多大，推杆才不致被卡。
为多大，推杆才不致被卡例例例例 题题题题 4 4FNBFBF66 ABC5cm10cm30°BF FBCBCP PF FBABAF FBABA′F FNNF FmaxmaxAOP P解解解解: : (1) (1) 取销钉取销钉取销钉取销钉B B为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象F FBABA= =2 2(2) (2) 取物块取物块取物块取物块A A为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象①①①① 处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时 已知：已知：已知：已知： P P=1000N=1000N，，，， f fs s =0.52=0.52求：求：求：求：不致破坏系统平衡时的不致破坏系统平衡时的不致破坏系统平衡时的不致破坏系统平衡时的maxmax例例例例 题题题题 5 567 F FBABA′F FNNF FmaxmaxAOP P②②②② 处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时68 已知：已知：已知：已知：d d=5cm, =5cm, h h=20cm,=20cm, f fs s =0.5=0.5，，水平接触面均光滑。
水平接触面均光滑水平接触面均光滑水平接触面均光滑求：求：求：求：当当当当F F=2=2nP nP 时，能保持平衡时，能保持平衡时，能保持平衡时，能保持平衡n n的最大值的最大值的最大值的最大值例例例例 题题题题 6 6如图（如图（如图（如图（a a），有），有），有），有 2 2n n 块相同的均质块相同的均质块相同的均质块相同的均质砖块在作用于物块砖块在作用于物块砖块在作用于物块砖块在作用于物块HH上的水平力上的水平力上的水平力上的水平力F F 的作用下保持平衡的作用下保持平衡的作用下保持平衡的作用下保持平衡解解解解: : 取右半部分的取右半部分的取右半部分的取右半部分的 n n 块砖为为研究对块砖为为研究对块砖为为研究对块砖为为研究对象，临界平衡时，受力如图（象，临界平衡时，受力如图（象，临界平衡时，受力如图（象，临界平衡时，受力如图（b b）69 ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′解解解解: : (1) (1) 取取取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象设设设设 C C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：解得：解得：解得：解得：F FNCNC=100N=100N，， F FCC=40N=40N(2) (2) 取轮为研究对象取轮为研究对象取轮为研究对象取轮为研究对象已知：已知：已知：已知： P P=100N=100N，，，，F FBB=50N=50N ，，，，f fc c =0.4=0.4，，，， 求：求：求：求：(1) (1) 若若若若f fD D =0.3=0.3，，，， 轮心轮心轮心轮心OO的水平推力的水平推力的水平推力的水平推力F Fminmin =60°=60°，，AC AC = = CB CB = = l l /2/2，， r r。
(2) (2) 若若若若f fD D =0.15=0.15，，，， 轮心轮心轮心轮心OO的水平推力的水平推力的水平推力的水平推力F Fminmin例例例例 题题题题 7 770 ACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′设设设设 C C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：解得：解得：解得：解得：F FNCNC=100N=100N，， F FCC=40N=40N(2) (2) 取轮为研究对象取轮为研究对象取轮为研究对象取轮为研究对象解得：解得：解得：解得：F FDD=40N=40N ，，，，F F = 26.6N= 26.6N，，F FNDND=184.6N=184.6N由于由于由于由于 F FDD﹤﹤F FDmaxDmax，，，，DD处无滑动，上述假定正确处无滑动，上述假定正确处无滑动，上述假定正确处无滑动，上述假定正确71 oDFPFDFNDFC′FNC′(3) (3) 当当当当 f fD D =0.15 =0.15 时时时时因因因因 F FDD﹥﹥F Fdmaxdmax 故应设故应设故应设故应设 D D 处达到临界状态处达到临界状态处达到临界状态处达到临界状态补充方程：补充方程：补充方程：补充方程：解得：解得：解得：解得：F FDD= = F FCC =25.86N =25.86N ，，，，F F = 47.81N= 47.81N故上述假定正确故上述假定正确故上述假定正确故上述假定正确ACBFBFAxFAyFNCFC72 例题例题例题例题解：解：梯子梯子 AB 靠在墙上，与水平面成靠在墙上，与水平面成θ角。
梯子长角梯子长 AB = l，重量可略去，如图所示已知梯子与地面、墙面间，重量可略去，如图所示已知梯子与地面、墙面间的静摩擦因素为的静摩擦因素为 fsA，，fsB重量为 P 的人沿梯上登，的人沿梯上登，他在梯上的位置他在梯上的位置 C 不能过高，即距离不能过高，即距离 AC = s，如超，如超过一定限度，则梯子即将滑倒试求过一定限度，则梯子即将滑倒试求 s 的范围梯子梯子AB —— 研究对象研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)临界平衡时有：临界平衡时有：(4)(5)73 解：解：梯子梯子AB —— 研究对象研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)临界平衡时有：临界平衡时有：(4)(5)解上述方程，得解上述方程，得(6)所求所求 s 值为值为(7)设设θ= 60°, fsA= 0.4 , fsB= 0.2则：则：smax = 0.7156 l74 讨论：讨论：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(6)（（1））当 时，即：即： ，此时有此时有（（2））当当 fsB = 0，即墙面为光滑时，由式（即墙面为光滑时，由式（6）得）得但当但当 fsA = 0，即地面为光滑时，由式（即地面为光滑时，由式（6）得）得此时此时 , 人无法登上梯子。
人无法登上梯子75 思考题思考题思考题思考题2 2：：：：均质杆重均质杆重均质杆重均质杆重P P，长，长，长，长l l，置于，置于，置于，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦粗糙的水平面上，两者间的静摩擦粗糙的水平面上，两者间的静摩擦粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为系数为系数为系数为f fss现在杆的一端施加与杆现在杆的一端施加与杆现在杆的一端施加与杆现在杆的一端施加与杆垂直的力垂直的力垂直的力垂直的力F F，试求使杆处于平衡时，试求使杆处于平衡时，试求使杆处于平衡时，试求使杆处于平衡时的的的的F F Fmax.max.max.设杆的高度忽略不计设杆的高度忽略不计设杆的高度忽略不计设杆的高度忽略不计F思考题思考题思考题思考题3 3：：：：重量均为重量均为重量均为重量均为P P P的小球的小球的小球的小球A A、、、、B B用一不计重量的杆连结放置用一不计重量的杆连结放置用一不计重量的杆连结放置用一不计重量的杆连结放置在水平桌面上，球与桌面间摩在水平桌面上，球与桌面间摩在水平桌面上，球与桌面间摩在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为擦系数为擦系数为擦系数为 f f fs ss ，，，，一水平力一水平力一水平力一水平力F F F 作用作用作用作用于于于于A A球，系统平衡时球，系统平衡时球，系统平衡时球，系统平衡时 F F Fmax max max 。
30°ABF思考题思考题思考题思考题1 1：：：：有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力一压力一压力一压力225N225N如每本书的质量为如每本书的质量为如每本书的质量为如每本书的质量为0.95kg0.95kg，手与书间的摩擦系数为，手与书间的摩擦系数为，手与书间的摩擦系数为，手与书间的摩擦系数为0.450.45，书与书间的摩擦系数为，书与书间的摩擦系数为，书与书间的摩擦系数为，书与书间的摩擦系数为0.400.40求可能执书的最大数目求可能执书的最大数目求可能执书的最大数目求可能执书的最大数目76 思考题：思考题：思考题：思考题：均质杆质量为均质杆质量为均质杆质量为均质杆质量为mm，长，长，长，长l l，置于粗糙的水平面上，两者间，置于粗糙的水平面上，两者间，置于粗糙的水平面上，两者间，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为的静摩擦系数为的静摩擦系数为的静摩擦系数为f fss现在杆的一端施加与杆垂直的力现在杆的一端施加与杆垂直的力现在杆的一端施加与杆垂直的力。
现在杆的一端施加与杆垂直的力F F，试求，试求，试求，试求使杆处于平衡时的使杆处于平衡时的使杆处于平衡时的使杆处于平衡时的F F Fmax max max 设杆的高度忽略不计设杆的高度忽略不计设杆的高度忽略不计设杆的高度忽略不计xOFABl解：解：解：解：取杆取杆取杆取杆 ABAB 为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象77 思考题：思考题：思考题：思考题：重量均为重量均为重量均为重量均为 P P P 的小球的小球的小球的小球A A、、、、B B用一不计重量的杆连结放置用一不计重量的杆连结放置用一不计重量的杆连结放置用一不计重量的杆连结放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为 f f fs ss ，，，，一水平力一水平力一水平力一水平力F F F 作用于作用于作用于作用于A A球，系统平衡时球，系统平衡时球，系统平衡时球，系统平衡时 F F Fmax max max 30°ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：解：解：解：（（（（1 1））））取取取取小球小球小球小球 A A 为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象（（（（2 2））））取取取取小球小球小球小球 B B 为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象78 §4-3 §4-3 摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象1. 1. 摩擦角摩擦角摩擦角摩擦角F FRARAF FNNF FssAF FRARA= =F FNN+ +F FSS全约束反力全约束反力全约束反力全约束反力★★★★ 摩擦角摩擦角摩擦角摩擦角————全约束反力与法线间夹角的最大值全约束反力与法线间夹角的最大值全约束反力与法线间夹角的最大值全约束反力与法线间夹角的最大值 ffffF FRARAAF FNN摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正切等于静摩擦系数AfF FmaxmaxF FNNF FRARA79 2. 2. 自锁现象自锁现象自锁现象自锁现象物块平衡时，物块平衡时，物块平衡时，物块平衡时，0≤ 0≤ F F≤ ≤ F Fmaxmax , , 因此因此因此因此 0≤ 0≤ ≤ ≤ ff★★★★ 如果作用于物块的全部主动力的合如果作用于物块的全部主动力的合如果作用于物块的全部主动力的合如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这力的作用线在摩擦角之内，则无论这力的作用线在摩擦角之内，则无论这力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持平衡。
个力怎样大，物块必保持平衡个力怎样大，物块必保持平衡个力怎样大，物块必保持平衡 ffAF FRARAF FRR80 （（（（2 2）非自锁现象）非自锁现象）非自锁现象）非自锁现象★★★★ 如果作用于物块的全部主动力的合力如果作用于物块的全部主动力的合力如果作用于物块的全部主动力的合力如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动样小，物块一定会滑动样小，物块一定会滑动样小，物块一定会滑动ffAFRFRA81 P PF F30°问题问题问题问题1 1 已知摩擦角已知摩擦角已知摩擦角已知摩擦角 ff= = 20°20°，，F=PF=P，，问物问物问物问物块动不动？为什么？块动不动？为什么？块动不动？为什么？块动不动？为什么？问题问题问题问题2 2 已知摩擦角均为已知摩擦角均为已知摩擦角均为已知摩擦角均为 ff ，，问欲使楔子问欲使楔子问欲使楔子问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的打入后不致滑出，在两种情况下的打入后不致滑出，在两种情况下的打入后不致滑出，在两种情况下的 ，，，， 物角应为若干？物角应为若干？物角应为若干？物角应为若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBf82 P PmaxmaxFR fP PminminFRfFRP Pmaxmaxf+例例例例 题题题题 8 8用几何法求解例用几何法求解例用几何法求解例用几何法求解例3 3P PminminFRf -83 CFABObad解解解解: : 由图示几何关系得由图示几何关系得由图示几何关系得由图示几何关系得例例例例 题题题题 9 9用几何法求解例用几何法求解例用几何法求解例用几何法求解例4 4ff84 §4-3 §4-3 滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念FFPPFFNNFFssOAFFPPOAPPFFOAFFRRMMPPFFFFNNFFssOAMMFFPPOAFsFN′d87 P PFFFFNNFFssOAMM保证滚子不滑动：保证滚子不滑动：保证滚子不滑动：保证滚子不滑动：保证滚子不滚动：保证滚子不滚动：保证滚子不滚动：保证滚子不滚动：88 ACO1FSAFNAMAMCFSCFNCBDO2FSBFNBMBMDFSDFNDPF FABCDO1O2r解解解解: : （（（（1 1）取滚子）取滚子）取滚子）取滚子A A为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象（（（（2 2）取滚子）取滚子）取滚子）取滚子B B为研究对象，同理可得为研究对象，同理可得为研究对象，同理可得为研究对象，同理可得例题例题例题例题1111已知：已知：已知：已知：P P，，r r ，，，， 1 1 ，，，， 22求：求：求：求：系统保持平衡时系统保持平衡时系统保持平衡时系统保持平衡时F Fmaxmax89 PFmaxMA′FNA′FSA′MB′FNB′FSB′AB（（（（3 3）取平板为研究对象）取平板为研究对象）取平板为研究对象）取平板为研究对象若已知若已知若已知若已知：：：：P P =10kN, =10kN, r r =7.5cm, =7.5cm, 1 1 =0.2cm, =0.2cm, 22 =0.05cm =0.05cm。
代入上式解得代入上式解得代入上式解得代入上式解得F Fmaxmax=0.167kN=0.167kN90 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论1. 1. 摩擦现象分为摩擦现象分为摩擦现象分为摩擦现象分为滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦和和和和滚动摩阻滚动摩阻滚动摩阻滚动摩阻两类2. 2. 滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力前者自然称为静滑动摩擦力，势或有相对滑动时出现的切向阻力前者自然称为静滑动摩擦力，势或有相对滑动时出现的切向阻力前者自然称为静滑动摩擦力，势或有相对滑动时出现的切向阻力前者自然称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力后者称为动滑动摩擦力后者称为动滑动摩擦力后者称为动滑动摩擦力 （（（（1 1））））静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小应根据平衡方程确定。
当物体处于平衡的临界状态时，它的大小应根据平衡方程确定当物体处于平衡的临界状态时，它的大小应根据平衡方程确定当物体处于平衡的临界状态时，它的大小应根据平衡方程确定当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与静摩擦力达到最大值，因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与静摩擦力达到最大值，因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与静摩擦力达到最大值，因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与最大值之间，即最大值之间，即最大值之间，即最大值之间，即91 静摩擦定律：静摩擦定律：静摩擦定律：静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比 （（（（2 2））））动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，它的大小为它的大小为它的大小为它的大小为3. 3. 摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生自锁现象自锁现象自锁现象自锁现象。
4. 4. 物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用92 静力学练习题静力学练习题93 94 95 静力学专题静力学专题96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 部分竞赛题部分竞赛题126 一、在图示机构中，已知：悬挂一、在图示机构中，已知：悬挂着的三脚架的重量是着的三脚架的重量是P，轮轴重，轮轴重P1, ,尺寸尺寸l1、、 l2、、 l3、、 r1、、 r2如图如图所示，所示，C、、D处的静摩擦系数均为处的静摩擦系数均为f, ,且且l1> l2 ，滚动摩阻略去不计滚动摩阻略去不计试求机构平衡时水平拉力试求机构平衡时水平拉力Q的最的最大值20分分)20112011陕西省大学生力学竞陕西省大学生力学竞赛理论力学题赛理论力学题127 解：（解：（1）假设）假设C处先滑处先滑1）对三脚架）对三脚架2）对轮）对轮（（2）假设）假设D处先滑处先滑1）对整体）对整体2）对轮）对轮128 这幅浮雕（约公元前这幅浮雕（约公元前1900年）反映了奴隶们搬运一个年）反映了奴隶们搬运一个石雕巨像的情景。
仔细观察可以发现：巨像放在滑板上，石雕巨像的情景仔细观察可以发现：巨像放在滑板上，由由172个奴隶拉着，有一个人在指挥，有一人在滑板上将液个奴隶拉着，有一个人在指挥，有一人在滑板上将液体倒在地面上进行润滑资料中所给的巨像重量约为体倒在地面上进行润滑资料中所给的巨像重量约为60t 二、二、 根据记载，古埃及人在四千年前就已懂得了摩擦学的根据记载，古埃及人在四千年前就已懂得了摩擦学的原理，他们曾用滚子和滑板来搬运重物原理，他们曾用滚子和滑板来搬运重物129 看了这幅图后，可以有几个疑问：看了这幅图后，可以有几个疑问： （（1）为什么雕刻中有）为什么雕刻中有172个奴隶在拉石像？这个个奴隶在拉石像？这个数目是随意的还是有道理的？数目是随意的还是有道理的？（（2）资料中所说石像有）资料中所说石像有60t，是否合理？，是否合理？（（3）从力学角度看，这些人是否能拉动石像？）从力学角度看，这些人是否能拉动石像？130 首先估计巨像重量约为首先估计巨像重量约为60t是否可靠是否可靠 假设浮雕的画面是按一定比例雕刻的，可测出巨假设浮雕的画面是按一定比例雕刻的，可测出巨像中的法老身高约为奴隶身高的像中的法老身高约为奴隶身高的5倍，则体积应为倍，则体积应为5的的3次方即次方即125倍。
设奴隶体重倍设奴隶体重60kg，密度约为，密度约为1g/cm3，石，石块密度一般在块密度一般在3g/cm3左右，因此法老重量为左右，因此法老重量为60××125××3=22500kg=22.5t再加上座椅及底座，因此巨像总重为再加上座椅及底座，因此巨像总重为60t是比较可靠的是比较可靠的 131 设滑板经润滑后与地面的摩擦系数为设滑板经润滑后与地面的摩擦系数为0.23（查（查摩擦学方面的手册），则要搬动巨像，每个奴隶的摩擦学方面的手册），则要搬动巨像，每个奴隶的平均拉力至少应大于平均拉力至少应大于其次，对奴隶的拉力进行估计其次，对奴隶的拉力进行估计78N780N7800N太轻松了太轻松了不可能实现不可能实现0有可能有可能132 但有一个问题，体重为但有一个问题，体重为60kg，拉力为，拉力为780N，，那么摩擦系数不就大于那么摩擦系数不就大于1了吗？了吗？ 可以用一个简单的试验来验证：把一枚硬币放可以用一个简单的试验来验证：把一枚硬币放在手掌上，慢慢转动手掌，可以明显发现当倾角大在手掌上，慢慢转动手掌，可以明显发现当倾角大于于45°时，硬币并不会相对手掌滑动，由此证明皮肤时，硬币并不会相对手掌滑动，由此证明皮肤与硬币间的摩擦系数大于与硬币间的摩擦系数大于1。
我们有理由认为奴隶们光着脚工作而皮肤我们有理由认为奴隶们光着脚工作而皮肤与地面的摩擦系数是可以大于与地面的摩擦系数是可以大于1的133 因此奴隶体重为因此奴隶体重为60kg，拉力为，拉力为780N并不会导致并不会导致什么矛盾或者雕像不足什么矛盾或者雕像不足60吨，奴隶的体重超过吨，奴隶的体重超过60kg，或地面摩擦系数更小些，这都会使拉力减小，或地面摩擦系数更小些，这都会使拉力减小些 综上，从浮雕可以得出结论：这些奴隶是可以综上，从浮雕可以得出结论：这些奴隶是可以搬动这个巨像的但同时也可看出：奴隶们的劳动搬动这个巨像的但同时也可看出：奴隶们的劳动强度是巨大的，这也符合历史上的记载强度是巨大的，这也符合历史上的记载 雕刻者如果想随意刻些人数，完全可以刻很少雕刻者如果想随意刻些人数，完全可以刻很少的人数，没有必要刻出的人数，没有必要刻出172172人因此我们认为，这一因此我们认为，这一浮雕所表现的可能是当时真实的情况（其它旁证）浮雕所表现的可能是当时真实的情况（其它旁证）134 关于多点摩擦：关于多点摩擦：u 判断未知量的个数和独立平衡方程数。
判断未知量的个数和独立平衡方程数u 采用穷举法，分别假设达到临界状态采用穷举法，分别假设达到临界状态（考虑所有可能情况）考虑所有可能情况） 摩擦力的方向也可假设摩擦力的方向也可假设u 可先判断那个点先达到临界状态可先判断那个点先达到临界状态135 三、四两拨千斤（南京工程学院）三、四两拨千斤（南京工程学院）中国武术中有中国武术中有“四两拨千斤四两拨千斤”的招式请你分析一下：的招式请你分析一下：（（1））“四两拨千斤四两拨千斤”与力学中的什么内容有关系？与力学中的什么内容有关系？（（2）试用力学原理简要解析一下）试用力学原理简要解析一下“四两拨千斤四两拨千斤”的关键所在？的关键所在？（（3）试分析图示拔桩装置的力学原理试分析图示拔桩装置的力学原理136 解：（解：（1）力的合成）力的合成 （（2））“四两拨千斤四两拨千斤”是用很小的力去改变一个很大的力的方向是用很小的力去改变一个很大的力的方向137 （（3 3）分析图示装置的力学原理）分析图示装置的力学原理图示图示A A、、B B两点的受力为两个力三角形如图示两点的受力为两个力三角形如图示138 四、魔术表演四、魔术表演 利用一无底的薄壁圆桶（设半径利用一无底的薄壁圆桶（设半径R R），再找两个乒乓），再找两个乒乓球，如果满足球，如果满足 就可以进行魔术表演了：把两乒乓就可以进行魔术表演了：把两乒乓球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒，有时候有时候不会翻倒。
不会翻倒淮海工学院）淮海工学院）139 解解:1、、，保证球可以放入桶内保证球可以放入桶内保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩2、整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有、整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有NA=0，，对对B取矩，有取矩，有取两球为研究对象，可得取两球为研究对象，可得联立求解，可得：联立求解，可得：故要使得圆桶不翻倒，必须满足故要使得圆桶不翻倒，必须满足 140 2个乒乓球的重量不一样，一个是普通的乒乓球，个乒乓球的重量不一样，一个是普通的乒乓球，一个是注水的乒乓球表演魔术时，如果先放空心乒乓一个是注水的乒乓球表演魔术时，如果先放空心乒乓球再放注水乒乓球，圆桶就会翻倒，若先放注水乒乓球球再放注水乒乓球，圆桶就会翻倒，若先放注水乒乓球再放空心乒乓球，圆桶不会翻倒再放空心乒乓球，圆桶不会翻倒要满足的条件：根据要满足的条件：根据2的结果，注水乒乓球的重量的结果，注水乒乓球的重量3、魔术的机关在于：、魔术的机关在于：141 第六届全国周培源大第六届全国周培源大学生力学竞赛题学生力学竞赛题142 143 144 145 第七届全国周培源大学生第七届全国周培源大学生力学竞赛题力学竞赛题146 147 148 m1gm2gFNFgnFgτFf149 静力学小结静力学小结1.问题的描述问题的描述 研究对象（物理模型）：研究对象（物理模型）： 点、刚体、变形体点、刚体、变形体2.正确的受力分析正确的受力分析3.问题的类型问题的类型 平衡问题平衡问题-------多点摩擦多点摩擦 变形、破坏变形、破坏-----与材料力学的结合与材料力学的结合 与动力学的结合与动力学的结合150 。
