浙江高考数学复习一轮【教师版】：技法强化训练1 函数与方程思想.doc

技法强化训练(一)　函数与方程思想题组1　运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为(　　) A．16　　　　 B．32　　　　 C．64　　　　 D．62 C　[由题意可知a＝a1a5， 即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ∴S8＝＝4×(1＋15)＝64.]2．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 B　[原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.]3．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是(　　) 【导学号：68334007】 A. B. C. D. B　[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2， 所以即 所以－＜k≤0，所以k的取值范围是.]4．已知数列{an}满足a1＝60，an＋1－an＝2n(n∈N*)，则的最小值为________． 　[由an＋1－an＝2n，得 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60 ＝n2－n＋60. ∴＝＝n＋－1. 令f(x)＝x＋－1，易知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 又n∈N*，当n＝7时，＝7＋－1＝， 当n＝8时，＝8＋－1＝. 又＜，故的最小值为.]5．已知函数f(x)＝xln x＋a，g(x)＝x2＋ax，其中a≥0. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值； (2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立． 【导学号：68334008】 [解]　(1)由f(x)＝xln x＋a，得f(1)＝a， f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1. 1分 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝x＋a－1.因为直线y＝x＋a－1与曲线y＝g(x)也相切， 所以两方程联立消元得x2＋ax＝a＋x－1， 即x2＋(a－1)x＋1－a＝0， 3分 所以Δ＝(a－1)2－4××(1－a)＝0，得a2＝1. 因为a≥0，所以a＝1. 4分 (2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立，等价于x2＋ax－xln x－a－＞0恒成立． 令h(x)＝x2＋ax－xln x－a－， 则h(1)＝0且h′(x)＝x＋a－ln x－1. 6分 令φ(x)＝x－ln x－1，则φ(1)＝0且φ′(x)＝1－＝， 8分 所以x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增， 所以φ(x)＞φ(1)＝0. 又因为a≥0，所以h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)＞h(1)＝0， 所以x＞1时，x2＋ax－xln x－a－＞0恒成立， 11分 即x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立. 12分题组2　利用函数与方程思想解决几何问题6．设抛物线C：y2＝3px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x C　[由抛物线的定义可知MF＝xM＋＝5，∴xM＝5－，y＝15p－，故以MF为直径的圆的方程为(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0， 即＋(2－yM)(2－0)＝0. ∴yM＝2＋－＝2＋⇒yM＝4，p＝或. ∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]7．(宁波市镇海中学高三模拟考试)在直三棱柱A1B1C1­ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为(　　) 【导学号：68334009】 A. B. C. D. A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E，G，设F(x,0,0)，D(0，y,0)，则＝，＝，x，y∈(0,1)． 由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0，x＝1－2y∈(0,1)，解得0＜y＜.DF＝＝＝，当且仅当y＝时，线段DF长度的最小值是，当y＝0时，线段DF的最大值是1，由于不包括端点，故y＝0不能取，所以线段DF的长度的取值范围是，故选A.]8．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，并且经过定点P. (1)求椭圆E的方程； (2)问：是否存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A，B两点，且满足·＝？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：68334010】 [解]　(1)由e＝＝且＋＝1，c2＝a2－b2， 解得a2＝4，b2＝1， 即椭圆E的方程为＋y2＝1. 4分 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由⇒x2＋4(m－x)2－4＝0⇒ 5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*) 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 8分 y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＝m2－m2＋＝，由·＝得(x1，y1)·(x2，y2)＝，即x1x2＋y1y2＝，＋＝， m＝±2. 又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m)2－4×5(4m2－4)＞0，解得－＜m＜，所以m＝±2. 12分9．如图1，直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分别为AB和BB′上的点，且＝＝λ.图1 (1)求证：当λ＝1时，A′B⊥CE； (2)当λ为何值时，三棱锥A′­CDE的体积最小，并求出最小体积． [解]　(1)证明：∵λ＝1，∴D，E分别为AB和BB′的中点. 1分 又AA′＝AB，且三棱柱ABC­A′B′C′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B. 2分 ∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB. 3分 ∵三棱柱ABC­A′B′C′为直三棱柱， ∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B， 4分 又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE. ∵CE⊂平面CDE，∴A′B⊥CE. 6分 (2)设BE＝x，则AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x.由已知可得C到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB所对应的高h＝＝4， 8分 ∴VA′­CDE＝VC­A′DE＝(S四边形ABB′A－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h ＝·h ＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)， 14分 ∴当x＝3，即λ＝1时，VA′­CDE有最小值18. 15分 。