2024年清华大学新领军自主招生考试数学试卷试题（含答案详解）.docx

2024清华大学新领军自主招生考试数学试卷试题（一）（TACA）1．作出函数f（x）＝ln|x|−12x2+1图象．2．y＝sinπ3x在区间[t﹣1，t]上的最大值为M（t），最小值为N（t），若t∈[52，92]，求M（t）﹣N（t）的最大值．3．数列满足an+1＝2Sn，求an．4．在△ABC中，BC=7，AC＝2，AB＝1，AD⊥AB且AD∩BC＝D，求S△ADC．5．过椭圆左焦点作直线交椭圆于A，B两点，然后在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，求椭圆离范围．2022年北京市清华大学新领军招生数学试卷（一）（TACA）参考答案与试题解析1．作出函数f（x）＝ln|x|−12x2+1图象．【分析】先得到函数为偶函数，即图象关于y轴对称，再利用导数求出函数的单调性与最值，即可得到函数图象．【解答】解：函数f（x）＝ln|x|−12x2+1的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝ln|x|−12x2+1＝f（x），故函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，f（x）＝lnx−12x2+1，f′（x）=1x−x=1−x2x，令f′（x）＝0，解得x＝1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值也是最大值为f（1）=12，所以可得函数f（x）＝ln|x|−12x2+1的图象如图所示：2．y＝sinπ3x在区间[t﹣1，t]上的最大值为M（t），最小值为N（t），若t∈[52，92]，求M（t）﹣N（t）的最大值．【分析】结合函数y＝sinπ3x的图象，根据单调性，确定表达式M（t）﹣N（t），再利用两角和差公式化简即可．【解答】解：函数y＝sinπ3x的周期为6，函数y＝sinπ3x在[32，92]上递减，当t∈[52，92]时，[t﹣1，t]⊆[32，92]，M（t）﹣N（t）＝sin(t−1)π3−sinπt3=12sinπt3−32cosπt3−sinπt3=−sin（πt3+π3）≤1．当πt3+π3=3π2，即t=72时取最大值1．3．数列满足an+1＝2Sn，求an．【分析】由已知可得(Sn−1)2=Sn−1，分两种情况讨论：①当Sn−Sn−1=1时，②当Sn+Sn−1=1时，然后求数列的通项公式即可．【解答】解：已知an+1＝2Sn，则Sn−Sn−1+1=2Sn，即Sn−2Sn+1=Sn−1，即(Sn−1)2=Sn−1，即Sn−1=Sn−1或Sn−1=−Sn−1，由a1+1＝2a1，即a1＝1，①当Sn−Sn−1=1时，数列{Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列，即Sn=n，即Sn=n2，则当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，又n＝1时，a1＝1满足上式，即an＝2n﹣1；②当Sn+Sn−1=1时，则Sn+1+Sn=1，即Sn+1=Sn−1，即Sn+1＝Sn﹣1，即an+an+1＝0，（n≥2），由a1+a2＝0，即an+an+1＝0，（n≥1），又a1＝1，即an=(−1)n+1，综上可得an＝2n﹣1或an=(−1)n+1．4．在△ABC中，BC=7，AC＝2，AB＝1，AD⊥AB且AD∩BC＝D，求S△ADC．【分析】由已知结合余弦定理可求cosC，进而可求CD，然后结合勾股定理求出AD，再由三角形面积公式可求．【解答】解：因为BC=7，AC＝2，AB＝1，由余弦定理得cosC=4+7−12×2×7=5714，因为AD⊥AB，Rt△ACD中，cosC=CDAC，所以CD＝2×5714=577，AD=AC2−CD2=4−257=217，故S△ADC=12AD⋅CD=12×577×217=5314．5．过椭圆左焦点作直线交椭圆于A，B两点，然后在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，求椭圆离心率范围．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为my＝x+c，椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左焦点为F（﹣c，0），联立化为（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4＝0，由在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，可得OC→=OA+OB→=（x1+x2，y1+y2），于是(x1+x2)2a2+(y1+y2)2b2=1，把根与系数的关系代入化简，进而得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为my＝x+c，椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左焦点为F（﹣c，0），联立my=x+cx2a2+y2b2=1，化为（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4＝0，Δ＞0，y1+y2=2b2mcb2m2+a2，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c=2b2m2cb2m2+a2−2c=−2a2cb2m2+c2，∵在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，∴OC→=OA+OB→=（x1+x2，y1+y2），∴(x1+x2)2a2+(y1+y2)2b2=1，把y1+y2=2b2mcb2m2+a2，x1+x2=−2a2cb2m2+c2代入上式化为：b4m4+（2a2b2﹣4b2c2）m2+a4﹣4a2c2＝0，Δ＝（2a2b2﹣4b2c2）2﹣4b4（a4﹣4a2c2）＝16b4c4＞0，上述关于m2的一元二次方程存在非负实数根，则4b2c2−2a2b2b4≥0，a4−4a2c2b4≥0，或a4−4a2c2b4≤0，不等式组4b2c2−2a2b2b4≥0，a4−4a2c2b4≥0，无解，舍去；由a4−4a2c2b4≤0，化为a2≤4c2，解得12≤e＜1，∴椭圆离心率范围是[12，1）．。