【小学奥数】3-1-4多人相遇和追及问题-题库教师版.pdf

旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 1. 能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用 2. 根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图 3. 能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题 二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3 个或 3 个以上的对象之间的相遇追及问题 所有行程问题都是围绕“=路程速度”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程 题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化由此还可以得到如下两条关系式： =路程和 速度和 相遇； =路程差速度差 追及； 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即 可迎刃而解 板块一、多人从两端出发相遇、追及 【例【例 1】】 （难度级别 ）有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6 分钟后，甲又 与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米? 【 【解析】 】 甲、丙 6 分钟相遇的路程：()1007561050+=(米)； 甲、乙相遇的时间为：()10508075210=(分钟)； 东、西两村之间的距离为：()1008021037800+=(米). 【巩固】 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地 多人相遇和追及问题多人相遇和追及问题 教学目标教学目标 知识精讲知识精讲 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【 【解析】 】 4004502502=（）(分钟) 【例【例 2】】 （难度级别 ） (2009 年四中入学测试题)在公路上， 汽车A、B、C分别以80km / h，70km / h， 50km / h的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且 在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距多少km？ 【 【解析】 】 汽车A在与汽车B相遇时，汽车A与汽车C的距离为：(8050)2260+=千米，此时汽车B与汽 车C的距离也是 260 千米， 说明这三辆车已经出发了260(7050)13=小时， 那么甲、 乙两站的 距离为：(8070) 131950+=千米 【巩固】 （难度等级 ）甲、乙、丙三人每分分别行 60 米、50 米和 40 米，甲从 B 地、乙和丙从 A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后 15 分又遇到丙求 A，B 两地的距离 【 【解析】 】 甲遇到乙后 15 分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为： （6040）15 1500（米） ，而乙丙之间拉开这么大的距离一共要 1500（50-40）=150（分） ，即从出发到甲 与乙相遇一共经过了 150 分钟，所以 A、B 之间的距离为： （60+50）15016500（米） 【巩固】 （难度级别 ）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与 甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 【 【解析】 】 那 2 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）2=270 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路 程差所以乙丙相遇时间=270（67.5-60）=36 分钟，所以路程=36（67.5+75）=5130 米。

【巩固】 （难度级别 ）小王的步行速度是 4.8 千米/小时，小张的步行速度是 5.4 千米/小时，他们 两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是 10.8 千米/小时， 从乙地到甲地去.他们 3 人同时出 发， 在小张与小李相遇后 5 分钟， 小王又与小李相遇.问： 小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 【 【解析】 】 画一张示意图： 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 图中 A 点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个 B 点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与小李相遇，也就是 5 分钟的时间，小王和小李共同走了 B 与 A 之间这段距离： () 5 4.810.81.3 60 +=（千米） ，这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是 （5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.3（5.4-4.8）60=130（分钟）. 这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度 10.8 千米/小时是小张速度 5.4 千米/小时的 2 倍.因此小李从 A 到甲地需要： 1302=65 （分钟） .从乙地到甲地需要的时间是： 13065=195 （分 钟）3 小时 15 分.小李从乙地到甲地需要 3 小时 15 分. 【巩固】 （难度级别 ）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 65 米，丙每分钟走 70 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 1 分钟与甲相 遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 【 【解析】 】 那 2 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）1=130 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路 程差所以乙丙相遇时间=130（65-60）=26 分钟，所以路程=26（65+70）=3510 米。

【巩固】 （难度级别 ）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相 遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 【 【解析】 】 那 2 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）2=260 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路 程差所以乙丙相遇时间=260（60-50）=26 分钟，所以路程=26（60+70）=3380 米 【巩固】 （难度级别 ）甲、乙、 丙三人行路， 甲每分钟走 80 米， 乙每分钟走 90 米， 丙每分钟走 100 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 5 分钟与甲相 遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 【 【解析】 】 那 5 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（90+100）5=950 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的 路程差 所以乙丙相遇时间=950 （90-80） =95 分钟， 所以路程=95 （90+100） =18050 米 【巩固】 （难度级别 ）小王的步行速度是 5 千米/小时，小张的步行速度是 6 千米/小时，他们 两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是 10 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出 发，在小张与小李相遇后 30 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时 间？ 【 【解析】 】 30 分钟是小王和小李相遇，所以距离是 1 5+10=7.5 2 （）千米，这距离是小王和小李相遇时间里小 张和小王的路程差。

所以小李和小张相遇时间=7.5 （6-5） =7.5 小时， 所以路程=7.5 （6+10） =120 千米12010=12（小时） 【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟 480、540、720 米，甲、乙、丙 3 人同时动 身，甲、乙二人从 A 地出发，向 B 地行时，丙从 B 地出发向 A 地行进，丙首先在途中与乙相 遇，3 分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙 3 人行完全程各用多长时间？ 【 【解析】 】 方法一：乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行 3 分钟的时间，这段距离为 ()48072033600+=（ 米 ），()360054048060=（ 分 ）， A 、 B之 间 的 距 离 为 ()7205406075600+=（米） ，行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下： 甲 75600480157.5()=分 乙 75600540140()=分 丙75600720105()=分 方法二：丙与乙相遇时，各行了()()480720354048060+= （分） ，速度与时间成反比，所 以，丙行完全程需要 540 6060105 720 +=（分） ；乙行完全程需要 720 105157.5 480 =（分）. 方 法 三 ： 丙 与 乙 相 遇 时 ， 乙 比 甲 多 行 了()72048033600+=（ 米 ） ； 丙 比 甲 多 行 了 720480 360014400 540480 = （ 米 ） ， 所 以A地 与B地 之 间 的 距 离 为 ()480540480236001440075600++=（米）. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下： 甲 75600480157.5()=分 乙 75600540140()=分 丙 75600720105()=分 【巩固】 甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方 向行走。

已知甲每小时行 7 千米，乙每小时行 5 千米，1 小时后甲、丙二人相遇，又过了 10 分 钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？ 【 【解析】 】 方法一：出发 1 小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙()7512 =千米；10 分钟后丙、乙相遇，相 向而行共行了 2 千米，其中乙行了 105 5 606 =千米，丙行了 57 2 66 =千米，丙每小时行 760 7 60 10 = 千米，所以甲、丙相遇时，丙行了7 17 =千米 方法二：丙 1 小时 10 分钟（与乙相遇）行的距离与 1 小时（与甲相遇）行的距离之差恰好等于 甲 1 小时行的距离之差，所以丙的速度等于 7070 7 1517 6060 = 千米/小时，丙与甲相遇 时，丙行了7 17 =千米 【例【例 3】】 （难度等级 ） 甲、 乙两车的速度分别为 52 千米时和 40 千米时， 它们同时从 A 地 出发到 B 地去， 出发后 6 时， 甲车遇到一辆迎面开来的卡车， 1 时后乙车也遇到了这辆卡车 求这辆卡车的速度 【 【解析】 】 甲乙两车最初的过程类似追及， 速度差追及时间路程差；路程差为 72 千米；72 千米就是 1 小时的甲车和卡车的路程和，速度和相遇时间路程和，得到速度和为 72 千米时，所以卡 车速度为 72-40=32 千米时。

旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 【巩固】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米甲从东村，乙、 丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后 3 分钟又与丙相遇求东西两村的距离 【 【解析】 】 先画示意图如下： 甲、乙相遇后 3 分钟，甲、丙相遇甲、丙在 3 分钟内共走路程是100753525+=（）(米)显然， 这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走80755=(米)所以，甲、乙相遇 时 离 出 发 的 时 间 是5258075105=（）( 分 钟 ) 两 村 间 的 距 离 是 ： 10080 1007538075 18 10518900++ ==（）（）（）(米) 【巩固】 （难度等级 ）甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米时和 48 千米时有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 5 时、6 时、8 时先后 与甲、乙、丙三辆车相遇求丙车的速度 【 【解析】 】 甲车每小时比乙车快604812=(千米)则 5 小时后， 甲比乙多走的路程为12560=(千米) 也 即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为 60 千米。