人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义11 《方程的定义 等式的性质》全章复习与巩固+练习 (教师版).doc

方程的定义 等式的性质【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念 1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6； ④2m-3n＝0； ⑤3x2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3； ⑦； ⑧．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（　　）A. 3+2=5 B. x=1 C. 2x﹣3＜0 D. a2+2ab+b2【答案】B．2．下列方程中，以x=2为解的方程是（　　）A. 4x﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1 C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．类型二、一元一次方程的相关概念3．已知方程①；②0.4x＝11；③；④y2-4y＝3；⑤t＝0；⑥x+2y＝1．其中是一元一次方程的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）；④未知数的次数为2；⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程．【总结升华】和是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 不是整式，是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④．【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果，那么________；(2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________；(3)如果，那么＝________．【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by；(3).； 根据等式的性质2，等式两边都乘以．【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.B．在等式a＝b两边除以c2+1，可得.C．在等式两边都除以a，可得b＝c.D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程： 一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解 显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80． 所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得．《一元一次方程》课时练习一 、选择题下列方程中，一元一次方程的有( )个。

①2x－3y=6 ②x2－5x+6=0 ③3(x－2)=1－2x ④3x－2(6－x)A.1 B.2 C.3 D.4答案为：A若(m﹣2)x|m|﹣1=5是一元一次方程，则m的值为( )A.±2 B.﹣2 C.2 D.4答案为：B下列式子：①x=0；②3+2=5；③=4；④x2=9；⑤2x=3x；⑥6-4x；⑦2(x+1)=2；⑧x+2y=0.其中方程的个数是(　　)A.5 B.4 C.6 D.7答案为：C若方程(a+3)x |a| - 2－7=0是一个一元一次方程，则a等于 ( ) A.-3 B.3 C.±3 D.0答案为：B下列各式中，方程有( )①2+1=1+2；②4－x=1；③y2-1=-3y+1；④x-2.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案为：B下列方程中，不是一元一次方程的是( )A.4x=2－2x B.0.1y=2 C.x＋3=y－5 D.5x－2x=6x答案为：C；下列等式是一元一次方程的是(　　)A.x2+3x=6 B.2x=4 C.﹣x﹣y=0 D.x+12=x﹣4答案为：B.下列方程是一元一次方程的是(　　)A.x－2=3 B.1＋5=6 C.x2＋x=1 D.x－3y=0答案为：A；若(m-2)x|2m-3|=6是一元一次方程，则x等于( ).A.1 B.2 C.1或2 D.任何数答案为：A方程2x-3y=7用含x的代数式表示y为( )A. B. C. D.答案为：B方程2x﹣1=3x+2的解为(　　)A.x=1 B.x=﹣1 C.x=3 D.x=﹣3答案为：D；有下列四种说法：(1)由5m=6m＋2可得m=2；(2)方程的解就是方程中未知数所取的值；(3)方程2x-1=3的解是x=2；(4)方程x=-x没有解.其中错误说法的个数是( ).A.1 B.2 C.3 D.4答案为：C二 、填空题当m=　　　　时，关于x的方程x2﹣m+1=0是一元一次方程.答案为：1.已知(m－3)x|m|－2=18是关于x的一元一次方程，则m=_______.答案为：－3若2x|m|-1 =5是一元一次方程，则m的值为   .答案为：±2.若关于x的方程(|a|﹣3)x2+ax﹣3x+4=0是一元一次方程，则a= .答案为：﹣3.已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为　 .答案为：1.请构造一个一元一次方程，使得方程的解为x=3：_______________.答案为：答案不唯一，如x－3=0三 、解答题设某数为x,根据下列条件列方程.(1)某数与8的差等于某数的与4的和；(2)某数的与某数的的和等于3.解：(1)根据题意,得x﹣8=x+4.(2)根据题意,得x+x=3.一项工程,甲单独做要20小时,乙单独做要12小时.现在先由甲单独做5小时,然后乙加入进来一起做.完成整项工程一共需要多少小时?(只列方程,不必求解)解：设一共需要x小时,根据题意,得×5+( +)×(x﹣5) =1.已知方程(3m－4)x2－(5－3m)x－4m=－2m是关于x的一元一次方程.(1)求m和x的值；(2)若n满足关系式|2n＋m|=1，求n的值.解：(1)∵方程(3m－4)x2－(5－3m)x－4m=－2m是关于x的一元一次方程，∴3m－4=0.解得：m=.将m=代入得：－x－=－.解得x=－.(2)∵将m=代入得：|2n＋|=1.∴2n＋=1或2n＋=－1.∴n=－或n=－.根据下列条件列出方程，并检验x=4是不是所列方程的解.(1)某数与1的差是这个数的2倍；(2)某数与2的差的一半比该数的2倍与4的差的一半小1.解：(1)设某数为x，则x-1=2x，x=4不是此方程的解.(2)设某数为x，则(x-2)= (2x-4)-1，x=4是此方程的解.已知a是非零整数，关于x的方程ax|a|-bx2+x-2=0是一元一次方程，求a+b的值与方程的解.解：(1)a=b，|a|=2，当a=2时，b=2，此时a+b=4，方程的解为x=2；当a=-2时，b=-2，此时a+b=-4，方程的解为x=2.(2)|a|=1。