二次函数的图像与性质(初高中内容衔接2).doc

2．2 二次函数2.2.1 二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象和性质{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1） (2) 2xy(3) 教师可采用计算机绘图软件辅助教学 }2xy32xy问题 1 函数 y＝ ax2与 y＝ x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2 x2， y＝ x2， y＝－2 x2的图象，通过这些函1数图象与函数 y＝ x2的图象之间的关系，推导出函数 y＝ ax2与 y＝ x2的图象之间所存在的关系先画出函数 y＝ x2， y＝2 x2的图象先列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …2x2 … 18 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大到两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 y＝ x2， y＝2 x2的图象（如图 2－1 所示） ，从图 2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y＝2 x2的图象可以由函数 y＝ x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y＝ x2， y＝－2 x2的图象，并研究这两个1函数图象与函数 y＝ x2的图象之间的关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y＝ ax2(a≠0)的图象可以由 y＝ x2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 y＝ ax2(a≠0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题 2 函数 y＝ a(x＋ h)2＋ k 与 y＝ ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y＝2( x＋1) 2＋1 与 y＝2 x2的图象（如图 2－2 所示） ，从函数的图象我们不难发现，只要把函数 y＝2 x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y＝2( x＋1) 2＋1 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y＝－3 x2， y＝－3( x－1) 2＋1 的图象，研究它们图象之间的图 2.2-2xyO－1y＝2x 2y＝2(x＋1) 2y＝2(x＋1) 2＋1y＝x 2y＝2x 2图 2.2-1xOy相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y＝ a(x＋ h)2＋ k(a≠0)中， a 决定了二次函数图象的开口大小及方向； h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“ h 正左移， h 负右移” ； k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“ k 正上移， k 负下移” 。

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)的图象的方法：由于 y＝ ax2＋ bx＋ c＝ a(x2＋ )＋ c＝ a(x2＋ ＋ )＋ c－ bb42b，4()bax所以， y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y＝ ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)具有下列性质：（1）当 a＞0 时，函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 图象开口向上；顶点坐标为 ，对24(,)bac称轴为直线 x＝－ ；当 x＜ 时， y 随着 x 的增大而减小；当 x＞ 时， y 随着 x 的2bba增大而增大；当 x＝ 时，函数取最小值 y＝ 24ab（2）当 a＜0 时，函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 图象开口向下；顶点坐标为 ，24(,)bac对称轴为直线 x＝－ ；当 x＜ 时， y 随着 x 的增大而增大；当 x＞ 时， y 随着 x2bba 2的增大而减小；当 x＝ 时，函数取最大值 y＝ 24ab上述二次函数的性质可以分别通过图 2．2－3 和图 2．2－4 直观地表示出来。

因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例 1 求二次函数 y＝ － 3x2－6 x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：∵ y＝ － 3x2－6 x＋1＝－3( x＋1) 2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线 x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当 x＝－1 时，函数 y 取最大值 y＝4；当 x＜－1 时， y 随着 x 的增大而增大；当 x＞－1 时， y 随着 x 的增大而减小；xyOx＝－ 2baA24(,)bac图 2.2-3xyOx＝－ 2baA2(,)4bac图 2.2-4xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC图 2.2－5采用描点法画图，选顶点 A(－1，4))，与 x 轴交于点 B 和23(,0)C ，与 y 轴的交点为 D(0，1)，过这五点画出图象（如图 2－5 所示） 23(,0)说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。

函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 图象作图要领：①确定开口方向：由二次项系数 a 决定②确定对称轴：对称轴方程为 bx2③确定图象与 x 轴的交点情况，①若△>0 则与 x 轴有两个交点，可由方程 x2＋ bx＋ c=0求出②①若△=0 则与 x 轴有一个交点，可由方程 x2＋ bx＋ c=0 求出③①若△<0 则与 x 轴有无交点④确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（0，c）⑤由以上各要素出草图练习：作出以下二次函数的草图：（1） (2) (3) 62xy 12xy2xy例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量 y×(销售价 x－120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的x /元 130 150 165y/件 70 50 35函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。

解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 y＝kx＋b，将 x＝130， y＝70； x＝150， y＝50代入方程，有 解得 ∴ y＝－ x＋2007013,5kb201k设每天的利润为 z（元） ，则 z＝(－ x+200)(x－120)＝－ x2＋320 x－24000＝－( x－160) 2＋1600，∴当 x＝160 时， z 取最大值 1600答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元例 3 把二次函数 y＝ x2＋ bx＋ c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝ x2的图像，求 b， c 的值解法一： y＝ x2＋ bx＋ c＝( x+ )2 ，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 44b个单位，得到 的图像，也就是函数 y＝ x2的图像，所以，2(4)解得 b＝－8， c＝14240,,bc解法二：把二次函数 y＝ x2＋ bx＋ c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝ x2的图像，等价于把二次函数 y＝ x2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y＝ x2＋ bx＋ c 的图像。

由于把二次函数 y＝ x2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数y＝( x－4) 2＋2 的图像，即为 y＝ x2－8 x＋14 的图像，∴函数 y＝ x2－8 x＋14 与函数y＝ x2＋ bx＋ c 表示同一个函数，∴ b＝－8， c＝14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例 4 已知函数 y＝ x2，－2≤ x≤ a，其中 a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论解：（1）当 a＝－2 时，函数 y＝ x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x＝－2；（2）当－2＜ a＜0 时，由图 2．2－6①可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 y＝4；当x＝ a 时，函数取最小值 y＝ a2；（3）当 0≤ a＜2 时，由图 2．2－6②可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 y＝4；当x＝0 时，函数取最小值 y＝0；（4）当 a≥2 时，由图 2．2－6③可知，当 x＝ a 时，函数取最大值 y＝ a2；当 x＝0 时，函数取最小值 y＝0。

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题练习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A） y＝2 x2 （B） y＝2 x2－4 x＋2 （C） y＝2 x2－1 （D） y＝2 x2－4 x （2）函数 y＝2( x－1) 2＋2 是将函数 y＝2 x2（ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的（B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的（C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的（D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的2．填空题（1）二次函数 y＝2 x2－ mx＋ n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则 m＝ ， n＝ 2）已知二次函数 y＝ x2+(m－2) x－2 m，当 m＝ 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m＝ 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m＝ 时，函数图象经过原点。

3）函数 y＝－3( x＋2) 2＋5 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x＝ 时，函数取最 值 y＝ ；当 x 时， y随着 x 的增大而减小3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并画出其图象 （1） y＝ x2－2 x－3； （ 2） y＝1＋6 x－ x2xyO－2 a①－a24图 2.2－6xyO a－2 24a2②－2 xyO aa24③4．已知函数 y＝－ x2－2 x＋3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值： ；；）（ 2.1x.）（； 1x2.3）（ 0.4）（2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式： y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)；2．顶点式： y＝ a(x＋ h)2。