2022年高考理数真题试卷（全国甲卷）（含答案解析》.pptx

20222022 年高考理数真年高考理数真题试题试卷卷（全国甲卷）（全国甲卷）一一、选选择择题题：本本题题共共 1212 小小题题，每，每小小题题 5 5 分，共分，共 6060 分在在每每小小题给题给出出的的四四个个选选项项中，中，只只有一有一 项项是是符符合合题题目目要要求求的1若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】【解答】解：由题意得，则则.故选：C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.2某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问 卷答题的正确率如下图：则 （ ）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【解答】解：对于 A，讲座前中位数为， 所以 A 错；对于 B，讲座后问卷答题的正确率只有 1 个是 80%，4 个 85%，剩下全部大于等于 90%， 所以讲座 后问卷答题的正确率的平均数大于 85% ，所以 B 对；对于 C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正 确率的标准差，所以 C 错；对于 D，讲座后问卷答题的正确率的极差为 100%-80%=20% ，讲座前问卷答题的正确率的极差为 95%-60%=35%20% ，所以 D 错. 故选：B.【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.3.设全集，集合，则（ ）A.BCD【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，所以 AB=-1，1，2，3 ， 所以.故选：D【分析】先求解方程求出集合 B，再由集合的并集、补集运算即可得解.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（ ）A8B12C16D20【答案】B【解析】【解答】解：由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积.故选：B.【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.5函数在区间的图像大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又 所以 f(x)为奇函数，排除 BD；又当时，3x-3-x0，cosx0，所以f(x)0，排除 C.故选：A.【分析】由函数的奇偶性排除 BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除 C，即可得解.6当时，函数取得最大值，则（ ）A-1BCD1【答案】B【解析】【解答】因为函数 f(x)定义域为（0，+），所以依题可知，f(1)=-2 ，f(1)=0，又，则，解得，所以，由 f(x)0，得 0 x1，由f(x)1，因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，则当 x=1 时取最大值，满足题意，即有故选：B.【分析】根据题意可知f(1)=-2 ，f(1)=0，列式即可解得 a，b，再根据f(x)即可解出7在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为， 则 （ ）ABAB 与平面所成的角为CD与平面所成的角为【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：不妨设 AB=a，AD=b，AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知， B1D 与平面 ABCD 所成角为B1DB，B1D 与平面 AA1B1B 所成角为 DB1A，所以，即 b=c ，解得对于 A， AB=a，AD=b ，AB=，AD ，A 错误；对于 B，过 B 作 BEAB1 于 E，易知 BE平面 AB1C1D，所以 AB 与平面 AB1C1D 所成角为BAE，因为，所以，B 错误；对于 C，C 错误；对于 D， B1D 与平面 BB1C1C 所成角为DB1C ，又，而0DB1C0 ，因为 x（0，），所以，要使函数在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，又 y=sinx，的图象如下所示：则，解得，即 故选：C【分析】由 x 的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可12已知， 则 （ ）ABCD【答案】A【解析】【解答】解：因为，因为当，sinxxb ；设，f(x)=-sinx+x0 ，所以f(x)在（0，+）单调递增，则， 所以，所以 ba， 所以 cba ，故选：A【分析】由结合三角函数的性质可得 cb；构造函数，利用导数可得ba，即可得解.二二、填填空空题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每小每小题题 5 5 分分，共，共 2020 分。

分13设向量，的夹角的余弦值为，且【答案】11，则 【解析】【解答】解：由题意得所以故答案为：11 【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案14若双曲线的渐近线与圆相切，则 【答案】【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，即xmy=0，不妨取x+my=0，圆，即 x2+(y-2)2=1 ，所以圆心为（0，2），半径 r=1，依题意圆心（0，2）到渐近线 x+my=0 的距离，解得或（舍去） 故答案为：【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可15从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为 【答案】【解析】【解答】解：从正方体的 8 个顶点中任取 4 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有m=6+6=12 个，故所求概率故答案为：【分析】直接根据古典概型的概率公式即可求出16已知中，点 D 在边 BC 上， 小值时，【答案】或【解析】【解答】解：设 CD=2BD=2m0，当取得最则在ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m ，在ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m ，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当故答案为：取最小值时，.，即 BD=.【分析】设 CD=2BD=2m0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.三三、 解解答答题题： 共共 7070 分分。

解解答答应应写出写出文文字字说说明明、 证证明明过过程或程或演演算算步步骤骤 第第 17172121 题题为为必必考考题题， 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答第 2222、2323 题题为为选选考考题题，考生考生根根据据要要求作求作答答17.记为数列的前 n 项和已知1证明：是等差数列；2若成等比数列，求的最小值【答案】（1）已知，即，当时，-得，即，即，所以，且，所以是以 1 为公差的等差数列（2）由（1）中可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时【解析】【分析】 （1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出 a1，即可得到an的通项公式与前 n 项和，再根据二次函数的性 质计算可得18在四棱锥中，底面（1）证明：；（2）求 PD 与平面所成的角的正弦值【答案】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形所以为等腰梯形，故，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以（2）解： 由(1)知，PD，AD，BD 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则设平面 PAB 的法向量为，则即不妨设，则设 PD 与平面 PAB 的所成角为 ，则，PD 与平面PAB 的所成的角的正弦值为.【解析】【分析】 （1）作于，于，利用勾股定理证明 ADBD ，根，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；据线面垂直的性质可得（2）依题意建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别 为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立1求甲学校获得冠军的概率；2用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P=0.16+0.16+ 0.24+0.04=0.6.（2）解：依题可知，X 的可能取值为，所以，.即 X 的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望【解析】【分析】 （1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获 胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X 的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出 期望20.设抛物线的焦点为 F，点，过的直线交 C 于 M，N 两 点当直线 MD 垂直于 x 轴时，1求 C 的方程：2设直线与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线 AB 的方程【答案】（1）解：抛物线的准线为此时，所以所以抛物线 C 的方程为；，当与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为 p，（2）解：设，直线，由可得，由斜率公式可得，直线，代入抛物线方程可得，所以，同理可得，所以又因为直线 MN、AB 的倾斜角分别为所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.【解析】【分析】 （1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）设点的坐标及直线 MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得 KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线 AB：，结合韦达定理可解.21已知函数（1）若，求a 的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则【答案】（1）解： 由题意得，函数f(x)的定义域为，令 f(x)=0， 得 x=1 ，当 x（0，1），f(x)0， f(x)单调递增 ， 若 f(x)0，则 e+1-a0， 即 ae+1 ，所以 a 的取值范围为（-，e+1）（2）证明：由题知，一个零点小于 1，一个零点大于 1不妨设要证，即证因为，即证因为，即证即证即证下面证明时，设，则设所以，而所以，所以所以在单调递增即，所以令所以在单调递减即，所以；综上，所以【解析】【分析】 （1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）由化归思想，将原问题转化要证明恒成立问题，构造函数， 再利用导数研究函数的单调性与最值即可得证.四四、选选考考题题：共共 1010 分分。

请请考考生生在第在第 2222、2323 题题中中任任选选一一题题作答作答如如果果多做多做，则则按按所做所做的的第一第一 题题计计分分22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数） ， 曲线的参数方程为（s 为参数） 1写出的普通方程；2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，求与交点的直角坐标，及与的极坐标方程为交点的直角坐标【答案】（1）解：因为，所以，即普通方程为（2）解：因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标，【解析】【分析】(1)消去参数 t，即可得到 C1 的普通方程；(2)将曲线 C2，C3 的方程化成普通方程，联立求解即解出23已知 a，b，c 均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则【答案】（1）证明：由柯西不等式有所以，当且仅当时，取等号， 所以，（2）证明：因为，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.【解析】【分析】 （1）根据 a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.。