浙江省丽水市天宁中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析.docx
16页浙江省丽水市天宁中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题，都有，命题，使得成立，则下列命题是真命题的是（ ）A． B． C． D．参考答案：C试题分析：对数函数定义域大于零，所以为假命题.显然是真命题，故为真命题.考点：含有逻辑联结词命题真假性.2. 设表示不大于实数x的最大整数，函数，若关于x的方程有且只有5个解，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】根据分段函数的解析式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解.【详解】首先，确定在x＞0上，方程f(x)=1的解.时，在，，所以由取整意义有[lnx]=-(n+1),又即在上，恒有取n=0,，令此时有一根，当n≥1时，恒有f(x)-1＞1，此时在上无根.在上，，，又所以在上，恒有，.n=1时，在上，有n=2时，在有即所以此时有两根，这样在有三根，在显然有一根所以在有且仅有一根，由“洛必达法则”是先增后减，得或a＞0.单调递增，即故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.3. 复数的值为 （ ） A． B． C． D．参考答案：C4. 已知z是纯虚数,是实数,那么等于A. B. C. D. 参考答案：D5. 已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为（ ） A．3B．5C．6D．7参考答案：C6. 给出三个命题：（1）若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行.（2）若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行.（3）若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行.其中正确命题的个数是 （A）0 （B） 1 （C） 2 （D）3 Ks5u参考答案：B略7. 已知等比数列前n项和为，若,,则A. B. C. D. 参考答案：A8. 图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则（ ）A. 10 B. 8 C. D. 参考答案：B略9. 已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可确定出交集中元素的个数．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10. 已知的矩形ABCD，沿对角形BD将折起得到三棱锥C—ABD，且三棱锥的体积为则异面直线BC与AD所成角的余弦值为( )A . B. C. D. 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 现给出如下命题：(1)若直线上有两个点到平面的距离相等，则直线；(2)“平面上有四个不共线的点到平面的距离相等”的充要条件是“平面”；(3)若一个球的表面积是，则它的体积；(4)若从总体中随机抽取的样本为，则该总体均值的点估计值是．则其中正确命题的序号是 ( )A．(1)、(2)、(3)． B．(1)、(2)、(4)． C．(3)、(4)． D．(2)、(3)．参考答案：C12. 若一个球的体积为，则它的表面积为________________．参考答案：解析：由得，所以．13. 如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上（1）若点F是CD的中点，则____________. (2)若，则的值是____________.参考答案：略14. 椭圆一个长轴的一个顶点为，以为直角顶点做一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积等于__________．参考答案：设内切于椭圆的等腰直角三角形为，则，，直线，可求得，，．15. 设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知的极坐标方程是：，，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是 .参考答案：[-1,3]16. 若tan20°+msin20°=，则m的值为 ．参考答案：4考点：两角和与差的正切函数． 专题：三角函数的求值．分析：由题意可得可得m=，再利用两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，运算求得结果．解答： 解：由于tan20°+msin20°=，可得m=====4，故答案为 4．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于中档题．17. 已知全集，集合，，则 . 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设动点M（x，y），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T的方程．（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m的方程．【解答】解：（1）设动点M（x，y），∵动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，∴由题意，得，化简整理得C的方程为．∴轨迹T的方程为=1．…（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…∴AB的中点N的坐标为（，）．∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），令y=0，解得x=，即P（，0）．…∵P、Q关于N点对称，∴=（ x0），=（ y0+0），解得x0=，y0=，即Q（，）． …∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，解得k2=，∴，∴=±，∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣． … 19. 为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．参考答案：略20. 已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.参考答案：解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴ ，∴ 所求椭圆方程为．（2）设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．所以，当最大时，面积取最大值．略21. （本小题满分12分）已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，证明为等边三角形．参考答案：解：（Ⅰ） ………………………………………………………3分………………………………………………………………………5分所以 ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题意知：由题意知：，解得：， …………………………8分因为, ,所以 …………………………9分由余弦定理知： ………………………………………10分所以 因为，所以，即：所以 ………………………………………………………11分又，所以为等边三角形. …………………………………………………12分 略22. 已知F1、F2分别是椭圆=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，O为坐标原点，N（﹣2，0），并且满足=2， ?=3（Ⅰ）求此椭圆的方程；（II）若过点N的直线l与椭圆交于不同的两点E、F（E在N、F之间），=λ，试求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知向量等式列出关于b，c的方程组，求解得到b，c的值，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得k的范围，利用根与系数的关系可得A，B的横坐标的和与积，结合=λ，可得λ=，再由根与系数关系可得（x1+2）+（x2+2）==（λ+1）（x2+2），（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4==，整理得到．结合k的范围求得实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），由=2， ?=3，得，解得b=c=1，∴a2=b2+c2=2．从而所求椭圆的方程为；（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k（x+2）（k≠0），代入，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2﹣2）=0，由△＞0，得0＜k2＜．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，①由于=λ，可得λ=，且0＜λ＜1．则（x1+2）+（x2+2）==（λ+1）（x2+2），②（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4==，③③÷②2得，得．∵0，∴0，则，解得：，且λ≠1．又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1．。
