集合知识点归纳.docx

高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.考试要求：(1 )理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.集合知识要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分二、知识回顾：(一) 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法集合元素的特征：确定性、互异性、无序性集合的性质：① 任何一个集合是它本身的子集，记为 A ；② 空集是任何集合的子集，记为 -A ；③ 空集是任何非空集合的真子集；如果A-B，同时B -A，那么A=B.如果A B，B C，那么A C.［注］:①Z=｛整数｝ (V) Z=｛全体整数｝ (X)② 已知集合 S中A的补集是一个有限集，则集合 A也是有限集.(X)(例：S=N ； A= N ■，贝U CSA=｛0｝)③ 空集的补集是全集.④ 若集合 A=集合 B，则 CA=._ , CAB=.一 CS (CB) =D (注: CAB=_ ).3. ①｛ (x，y) |xy=0，x € R，y€ R｝坐标轴上的点集.② ｛ (X, y) |xyv 0, x€ R, y € R ［二、四象限的点集.③ ｛ (x, y) |xy> 0, x€ R, y € R｝ 一、三象限的点集.［注］:①对方程组解的集合应是点集 .例：x y 3解的集合｛(2 ,1)｝.2x _3y =1②点集与数集的交集是 ■-.(例：A=｛( x, y)|y=x+1｝B=｛ y|y=x2+i｝则 an B=y:)4. ①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有 2n- 1个.③n个元素的非空真子集有 2n-2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 .否命题=逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真 .原命题二逆否命题.例：①若a F =5,则a =2或b =3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3，则a+b =5，成立，所以此命题为真 .② x =1且 y = 2, x 7 y 沁.解：逆否：x+y=3 ==x= 1 或 y=2..x =1且y =2 x • y丄3,故x亠y = 3是x =1且y = 2的既不是充分，又不是必要条件⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围3. 例：若 x '5, ： x -5或x 2.4. 集合运算：交、并、补.【并集】在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

基本定义：若A和B是集合，则A和B并集是有所有 A的元素和所有 B的元素，而没有其他元素的集合 A和B的并集通常写作"A U B"« *. ■形式上：x是A U B的元素，当且仅当 x是A的元素，或x是B的元素举例：集合｛1,2,3｝和｛2,3,4｝的并集是｛1,2,3,4｝数字9不属于素数集合｛2,3,5,7,11,…｝和偶数集合｛2,4,6,8,10,…｝的并集， 因为9既不是素数，也不是偶数更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如， A , B和C的并集含有所有 A的元素，所有B的元素和所有 C的元素，而没有其他元素形式上：x是A U B U C的元素，当且仅当 x属于A或x属于B或x属于C代数性质：二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算，即 AU (B U C)=(A U B) U C事实上，A U B U C也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意空集是并集运算的单位元即 ｛｝ U A=A，对任意集合 A可以将空集当作零个集合的并集结合交集和补集运算，并集运算使任意幕集成为布尔代数例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德•摩根律。

若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环交集】数学上，两个集合 A和B的交集是含有所有既属于 A又属于B的元素，而没有其他元素的集合A和B的交集写作"A n B"形式上：x属于A n B当且仅当x属于A且x属于B例如：集合｛1,2,3｝和｛2,3,4｝的交集为｛2,3｝数字9不属于素数集合｛2,3,5,7,11｝和奇数集合｛1,3,5,7,9,11 2的交集 若两个集合 A和B的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行例如，集合 a, b , C和D的交集为a n b n c n d = a n (B n (C n D))交集运算满足结合律，即 a n (B n C) = (A n B) n c最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集若 M是一个非空集合，其元素本身也是集合，则 x属于M的交集，当且仅当对任意 M的元素A，x属于A一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集，由S中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集) 记作CsA.在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

1:若A，B，C是集合，则下列恒等式成立：C?(A n B)=(C?A) U (C?B)C?(A U B)=(C?A) n (C?B)C?(B?A)=(A n C) U (C?B)(B?A) n c=(b n c)?a=b n(c?a)(B?A) U C=(B U C)?(A?C)A?A=???A=?A??=A若给定全集U，则A在U中的相对补集称为 A的绝对补集(或简称补集)，写作 AC，即：AC=U?A与补集有关的运算规律求补律A U CsA=SA n CsA=①集合的性质：确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合« *. •互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象不能写成 {1，1, 2}，应写成{1，2}无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合集合有以下性质：若 A包含于B，贝U A n B=A，A U B=B集合的表示方法：常用的有列举法和描述法1. 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法{1，2, 3，……}2. 描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。

{X|P} (x为该集合的元素的一般形式， P为这个集合的元素的共同属性)如：小于 n的正实数组成的集合表示为： {X|0

吸收律A U (A n B)=AA n (A U B)=A求补律A U CsA=SA n CsA=①(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸-1.整式不等式的解法根轴法(零点分段法)① 将不等式化为 ao(x-x i)(x-x 2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式 x的系数化"+ ”；(为了统一方便)② 求根，并在数轴上表示岀来；③ 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；④ 若不等式(x的系数化“ +”后)是“ >0” ,则找“线”在 x轴上方的区间；若不等式是“ <0” ,则找“线”在 x轴下方的区间.(自右向左正负相间)则不等式a0xn - a1xn^ - a2xn^ an • 0(：：： O)(a0 0)的解可以根据各区间的符号确定 .特例①一元一次不等式 ax>b解的讨论；②一元二次不等式 ax2+box>0(a>0)解的讨论.二次函数(a > 0)的图象一兀二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R2.分式不等式的解法(1)标准化：移项通分化为 f (x) >0(或 丄凶 <0) ; f (x) > 0(或f (X)< 0)的形式，g(x) g(x) g(x) g(x)(2)转化为整式不等式(组)丄凶>0二f (x)g(x) >0；丄凶艺0= Pz(x)g(x^0 g(x) '必'g(x) [g(x)H03. 含绝对值不等式的解法(1) 公式法：|ax +b| v c,与|ax + q ac(c = 0)型的不等式的解法.(2) 定义法：用“零点分区间法”分类讨论(3) 几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题4. —元二次方程根的分布一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 工 0)(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之(2 )根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之。