假设检验考试知识(共11页).doc

八、假设检验这一部分，“数学一”和“数学三”的考试大纲、考试内容和要求完全一致．“数学二”不考概率论与数理统计，“数学四”不考数理统计．Ⅰ、考试大纲要求 ㈠ 考试内容《考试大纲》规定的考试内容为：显著性检验 假设检验两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验㈡ 考试要求(1) 理解“假设”的概念及其类型，理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，会构造简单假设的显著性检验；(2) 理解假设检验的两类错误，并且对于较简单的情形，会计算两类错误的概率；(3) 了解正态总体参数的假设检验．Ⅱ、考试内容提要统计估计和统计检验是统计推断的两类基本问题．统计估计，是根据样本估计总体参数或分布．统计检验，首先提出关于总体参数（或概率分布）某种“假设”，然后根据样本来检验所提“假设”是否成立．㈠ 假设的概念和类型 “假设”指关于总体的论断或命题、猜测或推测、设想或假说．为便于叙述，常用字母“H”表示假设．假设可以分为：基本假设（原假设）与备选假设，参数假设与非参数假设，简单假设与复合假设．1、基本假设与备选假设 两个二者必居其一的假设H0和H1，其中一个称为基本假设，而另一个则称为备选假设．一般，用H0表示基本假设，而用H1表示备选假设．基本假设亦称为原假设或零假设，备选假设亦称为对立假设．对于两个相互对立的假设，一般把欲重点考察而且统计分析便于操作和处理的的假设视为基本假设，并且在统计分析的过程中始终假定基本假设成立．例如，以表示不合格品率，以表示给定的值，则H0：——基本假设，H1 ：——备选假设；H0：两个地区人口的性别比相同——基本假设，H1：两个地区人口的性别比不同——备选假设LL2、简单假设与复合假设 完全决定总体分布的假设称为简单假设，否则称为复合假设．例如，关于某事件概率的假设，：——简单假设，而：——复合假设；：总体服从标准正态分布——简单假设，：总体服从正态分布——复合假设．3、参数假设与非参数假设 参数假设，是在总体分布的数学形式已知的情况下，关于其中未知参数的假设．非参数假设，又称做无分布假设，是在总体分布的数学形式未知（或不确知）的情况下，关于总体的一般性假设．例如，已知总体服从正态分布时，关于其均值或方差的假设是参数假设；“H：总体X服从正态分布”、“H：两个总体同分布”是非参数假设．有些假设虽然用一个或若干个参数表述（例如，H：），但是当总体分布的数学形式未知时，也属于非参数假设的范畴．不过习惯上类似的假设仍按参数假设对待．有时把不能用有限个参数表示的假设称做非参数假设．注意，假设类型的区分并不是绝对的，而在一定意义上是描述性的．然而，需要了解假设类型的区分，因为对于不同类型的假设，处理的方式有所不同．㈡ 显著性检验 统计假设的检验，指按照一定规则根据样本判断所作假设的真伪，并作出接受还是否定假设的决定．决定假设取舍的规则，称做检验准则，简称为检验．显著性检验是基于“小概率原则”的一种检验．1、显著性水平 按照“小概率原则”：对于根据检验问题的要求，选择的一个 “充分小”的数（0<<1）, 当事件的概率时，就认为是“实际不可能事件”，而称做显著性水平．显著性水平的选取要根据实际问题要求而定，常选=0.001, 0.01, 0.05, 0.10等．2、显著性检验的基本步骤(1)明确基本假设 把欲考察的问题以基本假设的形式提出，并且在作出最后的判断之前，始终在“假设成立”的前提下进行分析．(2) 规定显著性水平（0<<1）．(3) 建立检验准则 检验准则常以否定域的形式表示．假设的否定域是一切可能样本值集合中的区域，满足条件：在成立的条件下，事件 ={样本值落入区域}的概率不大于，即P．(这里，“区域”和事件{样本值落入区域}，都用字母表示．)(4) 根据样本值作判断 进行简单随机抽样，获得样本值，若样本值属于区域，则否定假设，否则不否定．3、否定域的构造 否定域亦称拒绝域或临界域．实际应用中，否定域常通过适当选择的统计量T来构造．这时，否定域是的值域内的区间．的显著性水平为的否定域，简称为的水平否定域；由统计量构造的检验称为检验，而统计量称做检验的统计量．具体构造否定域时，需要知道，在假设成立的条件下，检验的统计量的抽样分布，并根据给定的显著性水平，由相应的数值表查出决定假设取舍的分位数（临界值）．检验最常用的统计量是，，和；而相应的检验分别称做检验，检验，检验和检验（见(8.3)和(8.4)式，例8.4，例8.16～8.23）．㈢ 检验的两类错误 考试大纲要求“理解假设检验可能产生的两类错误”，并且对于较简单的情形，会计算两类错误的概率．1、检验的两类错误 第一类错误——否定了本来真实的假设(弃真)，第二类错误——接受了本来错误的假设 (纳伪)．2、两类错误的概率 假定关于参数有如下假设， (8.1)其中——参数的值域．假定是的否定域，则第一类和第二类错误概率相应地表示为（见例8.3，例8.11，例8.14～8.15，习题8.1）： (8.2)显著性检验只控制第一类错误概率，显著性水平是第一类错误概率的最大容许值．㈣ 一个正态总体均值和方差的检验 假设总体，是来自总体的简单随机样本；——样本均值，——样本方差．设和是已知常数．记 (8.3)当，时；当时服从自由度为－１的分布；当时服从自由度分别为－１和的分布．1、正态总体均值的检验 当已知时用检验；当未知时用检验，其中——标准正态分布水平的双侧分位数（附表2最末一行），——自由度为－1的分布水平的双侧分位数（附表2）．表8-1是假设及其否定域的各种情形．表8-1 正态总体均值的检验情形假 设基本假设H0的否定域 H0 H１ U 检 验 检 验1232、正态总体方差的检验 使用检验：当=已知时选用统计量，当未知时选用统计量．表8-2是假设及其否定域，其中,；=，；而是自由度为的分布水平上侧分位数（附表3）．表8-2 正态总体方差的检验情形 假 设 假 设 H0 的 水 平 否 定 域= 已 知 未 知１２３㈤ 比较两个正态总体均值和方差的检验 设总体和 相互独立；和是来自和的简单随机样本；和是样本均值，和是样本方差，是两个总体的联合样本方差（见(6.16)式）．检验使用统计量，和： (8.4)1、正态总体均值的比较 比较均值与的前提条件是．当已知时用检验；当但的具体值未知时用检验．设——标准正态分布水平双侧分位数,——自由度为的分布水平双侧分位数(附表2)．表8-3是假设及其否定域的各种情形．表8-3 两个正态总体均值的比较()情 形假 设假 设 H0 的 水 平 否 定 域H0H１U 检 验t 检 验1232、正态总体方差的比较 使用检验，检验的统计量为(8.4)式的．设是自由度为的水平上侧分位数(附表４)．表8-4是假设及其否定域的各种情形．表8-4 两个正态总体方差和的比较()情形假 设假 设 H0 的 水 平 否 定 域H0H112 3 Ⅲ、 典型例题分析〖填空题〗例8.0 (两类错误概率) 假定是连续型随机变量，是对的（一次）观测值；关于其概率密度有如下假设：检验规则：当事件出现时否定假设接受．则检验的第一类错误概率= ；检验的第二类错误概率= ．分析 由检验的两类错误概率的意义，知； ．例8.2(假设的类型) 设新购进五部移动机，以表示其中有质量问题的部数，则假设：最多一部有质量问题，即是 假设；若视为基本假设，则备选假设(对立假设)为： ．分析 假设可以表示为“”，包含=0和=1两种情形，因此是复合假设．视为基本假设，则备选假设（对立假设）为：>1或：2 (至少两部有质量问题，包括=2,3,4,5)．例8.3(两类错误概率) 关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数) 有两个二者必居其一的假设，：=0.5和：=1．以表示十分钟出现的随机质点数．设检验规则为：当>7时否定接受，则检验的第一类错误概率= ；检验的第二类错误概率= (只要求写出表达式) ．分析 由于服从参数为10的泊松分布，则例8.6（否定域） 假定总体X~，关于总体X的数学期望的假设；基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，得样本均值．则假设H0的水平0.05的否定域为： ． 分析 在已知=1的情况下，假设的检验的统计量．因此假设H0的水平=0.05的否定域为．例8.10 假设总体X服从正态分布；是来自总体X简单随机样本，是已知常数，是样本均值．考虑的形如的水平为0.05的否定域，则其中的未知常数 ．分析 检验的统计量因此，有；由此可见．〖选择题〗例8.11(两类错误概率) 假定总体X~，关于总体X的数学期望有两个假设：设是来自总体X的简单随机样本，是样本均值；以表示标准正态分布水平双侧分位数；则在4个选项所列举的H0的水平=0.05的否定域中，第二类错误概率最小的否定域是(A) ． (B) ．(C) ． (D) ． [ C ]分析 应选(C)．由于总体的方差等于1已知，可见假设检验应使用统计量．显然，由于都是简单假设，可见检验的第一类错误概率；第二类错误概率为．经计算，得．注意，该题的计算量是很大的．不过，解选择题时应尽量避免计算，要发挥“直观判断力”．统计量的值实质上反映与0的差异，因此当其值大于某个临界值时否定最合理．例8.13（检验）考虑正态总体和相互独立，其中4个分布参数都未知．设和是分别来自和的简单随机样本，样本均值分别为和，样本方差相应为和，则检验假设H0：使用检验的前提条件是(A) ． (B) ． (C) =． (D) ． [ C ]分析 因为检验使用统计量， ．只有当选项（C）即=成立时才能导出统计量的抽样分布——分布，并且根据分布来构造检验．〖解答题〗 例8.15(两类错误概率) 设新购进五部移动机，关于其质量有如下假设：最多一部有质量问题．采用如下检验规则：若在随意取出的两部中发现其中有存在质量问题者，则否定．试就假设和备选假设的各种可能情形，求此检验的两类错误概率．解 以表示随意取出的两部中有质量问题的件数，则是假设的否定域．以表示有质量问题的机部数；记——当有质量问题机为部时否定的概率，其中．易见，对于=0和=1，是第一类错误概率；对于=2,3,4,5，是第二类错误概率，其中．因此，有将计算结果列在下面的。