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1 - 初高中数学衔接知识点专题（七） 专题七不 等 式 【要点回顾】 1一元二次不等式及其解法 1 定义：形如为关于x的一元二次不等式 2 一 元 二 次 不 等 式 2 0(0)axbxc或与 二 次 函 数 2 (0)yaxbxca及 一 元 二 次 方 程 2 0axbxc的关系 (简称：三个二次) （）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象 如果图象与x轴有两个交点 12 (,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根 12 ,x x(也可由根的判别式0来判断 ) 则 如 果 图 象 与x轴 只 有 一个 交 点( ,0) 2 b a ， 此 时 对 应 的 一元 二 次 方 程 有 两 个 相 等的 实 数 根 2 2 x b xx a (也可由根的判别式0来判断 ) 则： 如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0来判 断) 则： （）解一元二次不等式的步骤是： (1) 化二次项系数为正； (2) 若 二 次 三 项 式 能 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 ， 则 求 出 两 根 12 ,x x 那 么 “0” 型 的 解 为 12 xxxx或(俗称两根之外 )；“0” 型的解为 12 xxx(俗称两根之间)； (3) 否则， 对二次三项式进行配方，变成 2 22 4 () 24 bacb axbxca x aa ，结合完全平方式为非 负数的性质求解 2简单分式不等式的解法 解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不 为零 . 3含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为axb的形式 1当0a时，不等式的解为： b x a ； - 2 - 2当0a时，不等式的解为： b x a ； 3当0a时，不等式化为：0 xb； 若0b，则不等式的解是全体实数；若0b，则不等式无解 【例题选讲】 例 1 解下列不等式：(1) 2 60 xx(2) (1)(2)(2)(21)xxxx 解法一：原不 等式可以化为：(3)(2)0 xx，于是： 30 20 x x 或 30 20 x x 33 22 xx xx 或32xx或所以，原不等式的解是32xx或 解法二： 解相应的方程 2 60 xx得： 12 3,2xx，所以原不等式的解是32xx或 (2) 解法一 ：原不等式可化为： 2 40 xx，即 2 40(4)0 xxx x于是： 00 04 4040 xx xx xx 或或，所以原不等式的解是04xx或 解 法 二 ： 原 不 等 式 可 化 为 ： 2 40 xx， 即 2 40 xx， 解 相 应 方 程 2 40 xx， 得 12 0 ,4xx，所以原不等式的解是04xx或 说明： 解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不 等式的解 例 2 解下列不等式：(1) 2 280 xx(2) 2 440 xx(3) 2 20 xx 例 3 已知对于任意实数x， 2 2kxxk恒为正数，求实数k的取值范围 例 4 解下列不等式： (1) 23 0 1 x x (2) 1 3 2x 例 5 求关于x的不等式 2 22m xmxm的解 解： 原不等式可化为：(2)2m mxm (1) 当202mm即时，1mx，不等式的解为 1 x m ； (2) 当202mm即时，1mx 02m时，不等式的解为 1 x m ； 0m时，不等式的解为 1 x m ； 0m时，不等式的解为全体实数 - 3 - (3) 当202mm即时，不等式无解 综上所述：当 0m 或 2m 时，不等式的解为 1 x m ；当02m时，不等式的解为 1 x m ；当0m 时，不等式的解为全体实数；当2m时，不等式无解 【巩固练习 】 1解下列不等式： (1) 2 20 xx(2) 2 3180 xx (3) 2 31xxx(4) (9)3(3)x xx 2解下列不等式： (1) 1 0 1 x x (2) 31 2 21 x x (3) 2 1 x (4) 2 21 0 21 xx x 3解下列不等式： (1) 22 222xxx(2) 2 111 0 235 xx 4解关于x的不等式(2)1mxm 5已知关于x的不等式 2 0mxxm的解是一切实数，求m的取值范围 6若不等式 2 23 1 xx kk 的解是3x，求k的值 7a取何值时，代数式 2 (1)2(2)2aa的值不小于0？ 专题七不等式答案 - 4 - 例 2 解： (1) 不等式可化为(2)(4)0 xx 不等式的解是 24x (2) 不等式可化为 2 (2)0 x 不等式的解是2x； (3) 不等式可化为 217 ()0 24 x 例 3 解： 显然0k不合题意，于是： 222 000 1 11( 2)4010 kkk k kkkk或 例 4 分析： (1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“ 符号法则 ” 将之化为两个一元一次不等式组处理；或 者因为两个数(式 )相除异号，那么这两个数(式 )相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求 解(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 解： (1) 解法 (一)原不等式可化为： 33 2302303 122 10102 11 xxxx x xx xx 或或 解法 (二) 原不等式可化为： 3 (23)(1)01 2 xxx (2) 解： 原不等式可化为： 13535 3000 222 xx xxx (35)(2)0 20 xx x 5 2 3 xx或 说明： (1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 2020 1 3 3(2)13(2)12 xx xxx 或 【巩固练习 】 1 1 (1)0 (2)36 (3)1 (4)3 2 xxxx； 2 11 (1)11 (2)3 (3)20 (4) 22 xxxxxxx或或或； 3(1) 无解(2) 全体实数 4(1)当2m时， 1 2 m x m ；(2)当 2m 时， 1 2 m x m ；(3) 当 2m 时，x取全体实数 5 1 2 m；65k751aa或 。