常用放缩方法技巧2021.docx

常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大，构造性强，需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性，能全面而综合地考查同学的潜能与后继学习才能，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材；这类问题的求解策略往往为：通过多角度观看所给数列通项的结构，深化剖析其特点，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：可编辑2⑴添加或舍去一些项，如： a 1⑵将分子或分母放大（或缩小）a ； n( n 1) nn(n 1)n (n 1)⑶利用基本不等式，如：lg 3lg 5( lg 3lg 5) 22lg 15lg 16lg 4 ； 2⑷二项式放缩 : 2n2 n(1 1) n 0 1CCCC2Cnn0 1 2 n n 22n n nC n , 2nn2 n0Cnn(n1Cn1)( nn 1 ,2)(5)利用常用结论：Ⅰ . 1 的放缩 ： 2 2 2k k k 1 2 k k k 1Ⅱ . 1的放缩 (1) ：1 1 1（程度大）k2|精.k (k 1) k2 k( k 1)|品.|可.|编.Ⅲ . 12的放缩 (2)：1 1 1 1 1 1( )2 2（程度小）|辑. k|学.|习.k k 1 ( k1)(k1) 2 k 1 k 1|资.|料.Ⅳ . 1 的放缩 (3)： 1 42( 1 1) （程度更小）k2 k 24k 21 2k 1 2k 1Ⅴ . 分式放缩仍可 利用真（假）分数的性质 : bab m (ba ma 0, m0) 和 bab m ( a b a m0, m 0)记忆口诀“小者小 ,大者大”； 说明 :看 b,如 b 小,就不等号为小于号 ,反之亦然 .xⅥ .构造函数法 构造单调函数实现放缩；例： f ( x) (x 0) ， 从而实现利用函数单调性质的放缩：1 xf ( a b ) f ( a b ) ；一． 先求和再放缩例 1. an1n ( n,前 n 项和为 Sn1)，求证： sn 1例 2. an(1) )n31, 前 n 项和为 Sn ，求证： sn2二． 先放缩再求和（一）放缩后裂项相消a( 1)n 1 1 s 22例 3．数列 { an} ， nn ，其前 n 项和为 sn ，求证： 2n（二）放缩后转化为等比数列；{ b }b 1,b b 2(n 2) b 3例 4.n 满意： 1n 1 n n（ 1） 用数学归纳法证明： bn n1 1 1T11...n 3 b 3 b 3 b 3 b Tn 2（ 2） 1 2 3n ，求证：|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.三，裂项放缩例 5.(1)求n 22k 1 4k的值; (2)求证 :1n 1 5 .2k 1 k 31例 6.(1)求证 : 1 12 23 512( 2n 1)7 1( n 2)6 2( 2n 1)(2) 求证 : 14(3) 求证：1162( n1361 1) 11 1 14n 2 2 4n1 1 12( 2 n1 1)2 3 n例 7.求证 :( n6n1)( 2n 1)1 1 14 91 5n 2 3n例 8.已知 aT4 n 2 n ,n2na1 a2,求证 :TTT1 2 3anT 3 .n2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.四，分式放缩姐妹不等式 : bab m (ba ma 0,m0) 和 bab m ( a b a m0, m 0)记忆口诀”小者小 ,大者大”说明 :看 b,如 b 小 ,就不等号为小于号 ,反之亦然 .例 9. 姐妹不等式 :(11)(11 1)(1 )3 51(1 )2 n 12 n 1 和(1 1)(121 )(1 1 )4 6(1 1 )2n12n 1也可以表示成为2 4 61 3 52n( 2n 1)2n 1和 1 3 52 4 6( 2n 1)2n12n 1例 10.证明 :(11)(11 1)(1 )4 71(1 )3n 23 3n 1.五，均值不等式放缩n例 11.设 S 1 2 2 3n(n1). 求证 n(n 1)Sn2( n 1)2.2例 12.已知函数f ( x)11 a 2bx， a>0,b>0, 如f (1 )4 ，且5f (x) 在[0， 1]上的最大值为 1 ，2求证：f (1)f ( 2)f (n)1 1n .2 n 1 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.六，二项式放缩2n (1C2n 0n1) nC1n0 1 n nCCn 2C ,n nnn222 nC2n2Cn0n( nCn n 1 ,11)( n 2)例 13.设 n1,nN ，求证( 2 ) n38 .(n 1)(n 2)例 14. an2 3n, 试证明： . n ≤ 1 1 L 1 14n 2a1 a2an 4七，部分放缩 (尾式放缩 )例 15.求证 : 13 113 2 11 4n13 2 1 7a1an a例 16. 设 1 12 31 ,a na2.求证： an 2.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.八，函数放缩例 17.求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n3n3 5nn66 (n*N ) .例 18.求证 :2, ln 22ln 33ln n n2n22( nn 1 (n 2)1)例 19. 求证 : 1 12 31 ln( n 1) 1 1 1n 1 2 n九，借助数列递推关系例 20. 如 a11, an 1 ann 1,求证 : 1 1a1 a212( nan1 1)例 21.求证 : 1 1 32 2 41 3 52 4 61 3 52 4 6(2n 1)2n2n 2 1|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.十，分类放缩例 22.求证 :1 1 12 31 nn2 1 2。