高考数学复习资料与习题训练之直线圆与三角函数.pdf

学科：数学教学内容：直线和圆【考点梳理】一、考试内容1.有向线段两点间的距离线段的定比分点2 .直线的方程直线的斜率直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程直线方程的一般式3.两条直线平行与垂直的条件两条直线所成的角两直线交点点到直线的距离4 .圆的标准方程和一般方程二、考试要求1 .理解有向线段的概念掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式2 .理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式能够根据条件求出直线的方程3 .掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系会求两条相交直线的夹角和交点掌握点到直线的距离公式4 .熟练掌握圆的标准方程和一般方程能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程掌握直线和圆的位置关系的判定方法三、考点简析1 .有向线段有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段AB的数量A B二 XB-XA2 .两点间的距离公式不 论A(x”y)B(X2,y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=I A B I=J（p-）2+3-力）2，特别地，与坐标轴平行的线段的长 I A B I=l x 2-x d 或 I A B I=l y 2-y i l。

3 .定比分点公式定比分点公式是解决共线三点A（X 1,y）B（X 2,y,P（x,y）之间数量关系的一个公式，其中人的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后人的值也就随之确定了若丫 _ X +生以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是一 1+彳V +仅、1 +4X,X=-当P点为AB的中点时，入=1,此时中点公式是 24 .直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率2）斜率存在的直线,其斜率k与倾斜角a之间的关系是k=ta na o5 .确定直线方程需要有两个互相独立的条件确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围名称方程说明适用条件斜截式y=k x+bk 斜率b 纵截距倾斜角为9 0 的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)（xo，y0）直线上已知点，k 斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式一 必 一 x 为一 月 x2-X 1（X”yD，（x2,y2）是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+2=1a ba直线的横截距b 直线的纵截距过（0,0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=O_ _邑分B 小 B刀别为斜率、横截距和纵截距A、B 不能同时为零6.平面上直线与二元一次方程是一一对应的。

7.两条直线的夹角当两直线的斜率ki，k2都存在且k ik2W-1时，tan二生二，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断l+k,k.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别8.怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断1)斜率存在且不重合的两条直线产4 1%+匕1，l2：y=k2x+b2y有以下结论：/k =k：2(2)/1 k ,k 2=-1(2)对于直线A%+B y+C =0,/2 ：A 2%+B 2 y+C 2=0,当 A i，A2,BP B 2都不为零时，有以下结论：/2 O&二2老邑A2 B2 C2(2)ZI J _，2=A A 2+B B2 =0/1与，2相交与，2重合0&二2二邑A2 B2 C29.点到直线的距离公式1)已知一点P (x o，y0)及一条直线/：A x+By+C=O,则点P到直线I的距离“学.+觊+3 ；VA2+B2(2)两平行直线:A x+By+C尸0,，2：A +By+C2=0之间I的距禺d nG C10.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。

圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=，其 中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径；(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+E y+F=0(D2+E2-4 F 0),圆心坐标为(_2,_互)，半径为口电 三 三 五2 2 211.直线与圆的位置关系的判定方法1)法一：直线：A x+By+C=0；圆：x2+y2+Dx+E y+F=0o 0 o相交=0 相切 r=相离 d=r 相切=相交12.两圆的位置关系的判定方法设两圆圆心分别为01、02,半径分别为口，r2,I O Q 2 I为圆心距，则两圆位置关系如下：两圆外丘;l O Q T f+D o两圆外切;I r1-r2lIOiO2l ri+r2 两圆相交；I O1O2 l=l 口-以=两圆内切；0l O|O2Ix20r h 161+12 .田xyx2=-02 H-3=64攵 4+16(3 +3)0解 得 k23o由双曲线左准线方程x=l且 e=2,有IAMJ IBMikelxi+ll elx2+ll=4XIX2+(XI+X2)+1=4(16+12 8 狂一(k?3 k2-3+D=1起Vk2-30,AIAMIX|BMl100又当直线倾斜角等于5 时，A(4,Y1),B(4,y2),IAMil=IBMil=e(4+l)=10IAMJ IBMglOO故 IAMJ IBMJlOOo例 2如图9-1,已知圆C：(x+4)2+y2=4。

圆D 的圆心D 在 y轴上且与圆C 外切圆 D 与 y轴交于A、B 两点，点 P为(-3,0)1)若点D 坐 标 为(0,3),求NAPB 的正切值；(2)当点D 在 y轴上运动时，求NAPB 的最大值；(3)在 x轴上是否存在定点Q,当圆D 在 y轴上运动时，ZAQB 是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由解(1)VI CDI=7|C O|2+M2=5,(O 为原点)且圆 D 与圆 C外切，圆 D 半径 r=5-2=3,此时，A、B坐标分别为(0,0)、(0,6),，P A 在 x轴上，且 BP的斜率k=2,/.t a n Z A P B=2o(2)如 图 9-2,设 D 的坐标为(0,a),圆 D 的半径为r,则(r+2)2=16+a2o 设 P A、PB的斜率为如、k2,又 A、B的坐标分别为(0,a-r)、(0,a+r)o 贝 ijk 尸 口 k2=J3 3a+r a-r/.tan Z A P B=3-=-.a+r a-r a2 一产+91 H-3 3由解出/代入，得 tanN A P B=2=3+，,4 3 2 8r-6而 8r-6为单调增函数，r 2,+8)tanZAPBe(2,必2 5ZAPB的最大值为arttan yO(3)假设存在Q 点，设 Q(b,0),QA、QB的斜率分别为k2,则 k尸 一，k2=,-b-ba+r a-rtan Z AQB=I 上 h 1=1 口 一 口 一 +k.k,.a+r a-r2 i +-b-b将 a2=(r+2)2-16代入上式，得tanZAQB=l h 7,=-2b-2brb2+a2-r2r欲使NAQB大小与r 无关，则应有b 2=12,即b=2百，此时 tanNAQB=6,ZAQB=60。

存在Q 点，当圆D 变动时，NAQB为定值60,这 Q 点坐标 为(2 6 0)o例 3设正方形ABCD(A、B、C、D 顺时针排列)的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0(a0),由于A,B 两点在抛物线上，(坐 r)?=2(3-/.5 5 n解出：r=后，p=-o(|V 5r)2=2p(3+-y-r)得抛物线方程为y2=xo由此可知A 点坐标为(1,1),且 A 点关于M(3,0)的对称点C 的坐标是(5,-1)，.直线/的方程为y-(-1)=|(x-5),即 x-3y-8=0o(3)将圆方程(x-3)2+y 2=(2 2分别与AC、BD的直线方程：y=-l(x-3),y=2(x-3)联立，可解得 A(-l,2),B(5,4)设抛物线方程为y 2=a(x-m)(*)将A(-l,2)、B(5,4)的坐标代入(*),得4=0,x 0),射线O B为丫=依仪0),动点P(x,y)在NAOx的内部,PM_LOA于M,P NJ _ O B于N,四边形ONPM的面积恰为k.(1)当k为定值时，动 点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；(2)根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域。

解(1)设 M(a,ka),N(b,-kb),(a0,b 0)o贝 IJIOMI=aTITA,IONI=b 7T7Fo由动点P 在NAOx的内部，得 OvyvkxPMI匕，IPN l=lfa +y l=yll+k2 Jl+H J1+-2 Jl+Y s 四 边 形 0NPM=SZS0NP+SZ20PM=-(IOMI IPMI+IONI IPNI)2=1 a(kx-y)+b(kx+y)=1 k(a+b)x-(a-b)y=k/.k(a+b)x-(a-b)y=2k 又由 k p M 二-W,k p N=U Z,k x-a k x-b分别解得a二 用，b 二七与，+k+k代入式消a、b,并化简得x2-y2=k2+ly0,/.y=7x2-k2(2)由 O vyvkx,得0ylx2-k2-l o X Q+1 (*)x2-k1-k2x2(1-Jl2)x2 k2+当 k=l 时，不等式为0 行当 O v k v l 时，由不等式得x 2 y,X V 正1 k 1 k (*)=炉 T T l 时，由不等式得x 2 寻，且R 2+但垂足N必须在射线OB上，否 则 O、N、P、M 四点不能组成四边形，所以还必须满足条件y i x,将它代入函数解析式，得K7%2-A：2-I l),或 x k (O v k W l)。

k 1综上：当 k=l 时，定义域为 x l x 痣 ;当 O v k v l 时，定义域为 x l 2+i v x v&U：;当 k l 时，定义域为 x l 标i v x M p Z l 例 5已知函数f(x)=x 2-l(x 2l)的图像为C i，曲线C 2与 C i 关于直线y=x 对称1)求曲线C 2的方程y=g(x)；(2)设函数y=g(x)的定义域为M,xP X2M,且X WX2，求证 l g(X )-g(X 2)l v l xx d；(3)设A、B为曲线C 2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交解(1)曲线C 和C 2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数/y=x2-l,x2=y+1,又 x 2 1 X Jy+1则曲线C 2的方程为g(x)=G(xNO)2)设 X”X2M,且 X WX2则 X1-X2W O又 x iN O,X220,A l g(x,)-g(x2)l=l 北 节-7+T1,X、+1+,工2 +1(3)设A(x”)、B(X2,y2)为曲线C 2上任意不同两点X1，X2 M,且 X W X2,由(2)知，l kABl=l l=g(X|)-g(X2)0),圆 心O 在抛物线x2=2p y上运动，MN为圆O 截x轴所得的弦，令IA M I=d 1，l A N kc h，ZMAN=0 o(1)当O 点运动时，IM N I是否有变化？并证明你的结论;求 力 于 的 最 大 值 并求取得最大值的。

值解(1)设 O(x o,y 0),则 Xo 2=2p y o(y o 2),的半径 10,A I=Jx：+(y 0 p)2,O 的方程为(x-x()2+(y-y o)2=x o 2+(y o-p)2令 y=0,并把 x 02=2p y 0代入得 x2-2x o X+XQ2-p2=O,解得 XM=X0 p,XN=X0+P，IM N I=I xN-xMl=2p 为定值2)*/M(x0-p ,0),N。