D：数列（理科2016年） Word版含答案【GHOE】.doc
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数 学D单元 数列 D1 数列的概念与简单表示法11．D1[2016上海卷] 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为________．11．4 [解析] 由Sn∈{2，3}，得a1＝S1∈{2，3}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：①a1＝2，a2＝0，a3＝1，a4＝－1；②a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1；③a1＝2，a2＝1，a3＝－1，a4＝0；④a1＝3，a2＝0，a3＝－1，a4＝1；⑤a1＝3，a2＝－1，a3＝0，a4＝1；⑥a1＝3，a2＝－1，a3＝1，a4＝0.最多项均只能写到第4项，即kmax＝4.D2 等差数列及等差数列前n项和12．D2[2016北京卷] 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．12．6 [解析] 设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a5＝0，所以6＋2d＋6＋4d＝0，解得d＝－2，所以S6＝66＋(－2)＝36－30＝6.8．D2[2016江苏卷] 已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．8．20 [解析] 因为S5＝5a3＝10，所以a3＝2，设其公差为d，则a1＋a＝2－2d＋(2－d)2＝d2－6d＋6＝－3，解得d＝3，所以a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.3．D2[2016全国卷Ⅰ] 已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )A．100 B．99C．98 D．973．C [解析] 9＝27，可得a5＝3，所以a10－a5＝5d＝5，所以d＝1，所以a100＝a10＋90d＝98.19．D2，D4，H6[2016四川卷] 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.19．解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，所以an＋1＝qan对所有n≥1都成立，所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，从而an＝qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，由已知，q>0，故q＝2，所以，an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝，解得q＝(负值舍去)．因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，故e1＋e2＋…＋en>.17．D2[2016全国卷Ⅱ] Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．17．解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1，所以{an}的通项公式为an＝n.故b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为190＋2900＋31＝1893.18．D2，D4[2016山东卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.18．解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由即解得所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3[222＋323＋…＋(n＋1)2n＋1]，2Tn＝3[223＋324＋…＋(n＋1)2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3[222＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)2n＋2]＝3[4＋－(n＋1)2n＋2] ＝－3n2n＋2，所以Tn＝3n2n＋2.18．D2[2016天津卷] 已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)设a1＝d，Tn＝,求证：<.18．证明：(1)由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列．(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)＝2d＝2d2n(n＋1)，所以＝（1－）<.6．D2[2016浙江卷] 如图11，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )图11A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列6．A [解析] 由题意得，An是线段An－1An＋1(n≥2)的中点，Bn是线段Bn－1Bn＋1(n≥2)的中点，且线段AnAn＋1的长度都相等，线段BnBn＋1的长度都相等．过点An作高线hn.由A1作高线h2的垂线A1C1，由A2作高线h3的垂线A2C2，则h2－h1＝|A1A2|sin∠A2A1C1，h3－h2＝|A2A3|sin∠A3A2C2.而|A1A2|＝|A2A3|，∠A2A1C1＝∠A3A2C2，故h1，h2，h3成等差数列，故{Sn}是等差数列．D3 等比数列及等比数列前n项和20．A1、D3、D5[2016江苏卷] 记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T＝∅，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST
