解三角形问题—2018年高考数学（文）母题题源系列（全国1专版）——解析版.pdf

1 - 【母题原题1】 【2018 新课标1，文 16】的内角的对边分别为，已知，则 的面积为 _【答案】.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理， 结合题中的条件， 可以得到， 可以断定 A 为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【详解】【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）- 2 - ； （2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件. 另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.【母题原题2】 【2017 新课标1，文11】 ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c已知，a=2，c=，则 C=ABCD【答案】 B 【解析】a c，C= ，故选： B- 3 - 点睛： 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题 .在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 【母题原题3】 【2016新课标 1，文 4】ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a，2c，2cos3A，则 b=（A）2（B）3（C） 2 （D）3【答案】 D 【解析】 试题分析：由余弦定理得，解得（舍去） ，选 D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！【命题意图】1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2. 会利用三角形的面积公式解决几何计算问题CabSsin21. 【命题规律】1.asin Absin Bcsin C2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1) abcsinAsin BsinC；(2) a2Rsi n A，b2Rsin B，c2Rsin C. 2余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C变形：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab. 3. 在ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角- 4 - 图形关系式absinA absinA bsinAab ab ab ab解的个数无解一解两解一解一解无解4. 三角形常用的面积公式(1)S12aha(ha表示a边上的高 ) (2)S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R. (3)S12r(abc)(r为内切圆半径 ) 【方法总结】1. 三角形中常见的结论 (1)ABC. (2)在ABC中，AB?ab?sinAsinB?cosAc osB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4) 三角形内的诱导公式：sin(AB) sin C；cos(AB) cos C；tan(AB) tan C；sinAB2cosC2；cosAB2sinC2. (6) 在ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B60 .(7) ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列2. 判定三角形形状的两种常用途径 (1) 通过正弦定理和余弦定理，化边为角， 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断1 【辽宁省葫芦岛市2018 年普通高中高三第二次模拟考试】在中，内角的对边分别为. 若，且，则（）ABCD【答案】 A 【解析】 - 5 - 根据正弦定理可得， 即，即，即为锐角故选 A2 【广西钦州市2018 届高三第三次质量检测】在中，则的值为（）ABC或D或【答案】 D 点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题3 【长春市普通高中 2018-2019 届高三质量监测 （一）】在中，内角、 、 的对边分别为、 ，若，则角为ABCD【答案】 A 【解析】【分析】- 6 - 由利用正弦定理、结合诱导公式可得，从而可得.【详解】【点睛】题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题 .正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种： （1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（ 3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径4 【山东、湖北部分重点中学2018 年高考冲刺模拟试卷（五）】在中，若，则ABCD【答案】 D 【解析】【分析】根据题意，由向量线性运算法则可得=，即可得P 为 ABC 的重心，则有+= ，由正弦定理分析sinB?+2sinA?+3sinC?= 可得 b?+2a?+3c?=，由向量减法法则可得b （） +2a?+3c?=， 即 b?+ （2ab）+3c?=， 由平面向量基本定理可得，解可得 a=b=3c，由余弦定理计算可得答案- 7 - 【详解】：根据题意，如图，在ABC 中，设 D 为 BC 的中点 ，有+=2，【考点】向量、三角形重心性质、余弦定理【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，涉及平面向量基本定理，关键是明确a、b、c 的具体关系5 【辽宁省沈阳市东北育才学校2018 届高三第八次模拟考试】设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为A 1 BC 2 D 4【答案】 A - 8 - 【解析】【分析】首先根据题中所给的三角形的边所满足的条件，结合余弦定理，求得，结合三角形内角的取值范围，求得，再结合正弦定理，从而求得结果.【详解】因为，所以，化为，所以，又因为，所以，由正弦定理可得，所以，故选 A.【点睛】该题考查的是有关解三角形问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件进行认真分析，求得结果. 6 【福建省莆田第九中学2018 届高三高考模拟】 在中，角的对边分别为， 若，则（）ABCD 1【答案】 B 【解析】【点睛】- 9 - 本题主要考查正弦定理和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.7 【东北师范大学附属中学2018 届高三第五次模拟考试】在中，则ABCD【答案】 A 【解析】【分析】由题意结合正弦定理首先求得b 的值，然后利用余弦定理求解c 的值即可 . 【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围8 【河南省巩义市市直高中 2018 届高三下学期模拟考试】已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线 与双曲线的左支交于点， 与右支交于点， 若，则（）ABCD【答案】 C 【解析】 分析：先利用双曲线的定义求出，再利用余弦定理求出，再利用双曲线的定义判- 10 - 点睛：处理椭圆或双曲线上的点到焦点的距离时，往往利用椭圆或双曲线的定义合理转化，如本题 中 两次 利用 双曲 线的定义 ，第 一次 是求 得，第 二 次是 结合、判定三角形的形状9 【安徽省安庆市第一中学2018 届高三热身考试】已知锐角的三个内角的对边分别为- 11 - ，若，则的值范围是 ( )ABCD【答案】 D ，解得，即的值范围是点睛：三角形中的最值问题，一般利用正、余弦定理将变化为角，转化为三角函数的最值问题求解，解题过程中要注意角的取值范围，如在本题中要通过“ 锐角三角形 ” 这一条件得到角A 的取值范围10【山东省烟台市2018 届高三高考适应性练习（二） 】 在中， 内角所对的边分别为，若，则的值为（）A 1 BCD【答案】 D - 12 - 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能 够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到11【山东省潍坊市2017-2018 学年高二5月份统一检测】的内角， ，的对边分别为， ，且，则为（）ABCD【答案】 B 【解析】点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属基础题- 13 - 12 【 安徽省皖中名校联盟2019 届高三 10 月联考 】在中，内角的对边分别为，则（）ABC 4 D【答案】 B 【解析】【分析】首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解的值即可 . 【详解】由三角形面积公式可得：，即，解得：，结合余弦定理可得：，则由正弦定理有：，结合合分比定理可得：. 本题选择B 选项 . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13 【 甘肃省师大附中2018-2019 学年上学期高三期中模拟】在锐角中，则的取值范围是（）ABCD【答案】 B 【解析】【分析】- 14 - 结合余弦函数的图像与性质可得。

答案选B【点睛】本题考查正弦定量、二角和的正弦公式、二部角公式及余弦函数的图像与性质，综合性较强，考查了学生的转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力及创新能力，属于中档题14 【 山东、湖北部分重点中学2018 届高三高考冲刺模拟考试（二）】我国古代著名的数学家刘徽著有 海岛算经 .内有一篇： “ 今有望海岛 ,立两表齐 ,高三丈 ,前后相去千步,令后表与前表相直 .从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?” （参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5 步,前后相距1000 步,令前后两根标杆和岛在同一直线上 ,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？岛与 前标杆相距多远 ?） （丈、步为古时计量单位，三丈=5 步） .则海岛高度为（）A 1055 步B 1255 步C 1550 步D 2255 步【答案】 B - 15 - 【解析】如图，设岛高步， 与前标杆相距步， 则有解得步， 即海岛高度为步，故选B.15 【 安徽省江南十校2018 届高三冲刺联考（二模）】在中，角， 所对的边分别为， ，且是和 的等差中项，则周长的取值范围是（）ABCD【答案】 B 【解析】 分析：由得 B 角是钝角，由等差中项定义得A 为 60，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围解题易错的是向量的夹角是B 角的外角，而不是 B 角，要特别注意向量夹角的定义- 16 - 。