2016年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型新人教a版必修1.ppt

成才之路 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教A版 · 必修1 函数的应用 第三章 3.2 函数模型及其应用 第三章 3.2.1 几类类不同增长长的函数模型 课堂典例讲练2 当 堂 检 测3 课 时 作 业4 课前自主预习1 课前自主预习 1.四种函数模型的性质 增增增增 快慢 2.三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ ax(a＞ 1)和幂函数y＝ xn(n＞ 0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上 ，无论n比 a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长____于 xn的增长，因此总存 在一个x0，当x＞ x0时，就会有ax____xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝ logax(a＞ 1)和幂函数y＝ xn(n＞ 0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大， logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但 由于logax的增长____于 xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞ x0时，就会有logax____xn. 快 ＞ 慢 ＜ (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ ax(a＞ 1)， y＝ logax(a＞ 1)和 y＝ xn(n＞ 0)都是 ____函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ ax(a＞ 1)的增长速度越来越 ____，会超过并远远大于y＝ xn(n＞ 0)的增长速度，而y＝ logax(a＞ 1)的增长速度则会越来越慢，因此 总存在一个x0，当x＞ x0时，就会有______＜ xn＜ ______. 增 快 logax ax [答案] B [解析] 设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋ 0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a， 所以a－0.9216a＝0.0784a ＝7.84%a， 故变化的情况是减少了7.84%. [答案] D [解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x. [答案] C [解析] (排除法)当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D ，当x＝3时，否定A项；故选C. [答案] D [解析] 由几类不同增长的函数特性可知，y＝32x呈指数“ 爆炸式”增长，速度最快． [答案] (1)3.6 (2)6 (3)y＝ 1.2t(t≥3) 课堂典例讲练 考查函数模型的增长差异 [思路分析] (1)从表格观察函数值y1， y2， y3， y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变 量关于x呈指数函数变化． [解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化． 从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始 变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同 ，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知 变量y2关于x呈指数函数变化． [答案] y2 [规律总结] 解决本题的关键是如何确定变量间的关系是 指数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应 的函数值， 还要看函数值的变化趋势． 试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长速度快慢有什么不同？ [解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大． (2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x) ＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长 的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最 慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小． [规律总结] 对于三种函数增长的几点说明： (1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函 数，当n越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图 象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a 越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1) ． (3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开 始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个 确定值x0后，就一定有ax＞xn. 巧用图象比较大小 函数模型的选择 [思路分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的 函数模型． [规律总结] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合 客观实际 的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作 出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验 证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借 助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理 性既需要数据检验，又必须符合实际． [点评] 不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变 化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规 律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规 律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规 律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 ． 因此，需抓住题中蕴含的科学的信息，恰当、准确地建立 相应变化规律的函数模型来解决实际问题 ． 当 堂 检 测 [答案] C [答案] D [解析] 代入检验，排除A、B、C，故选D. [答案] D [解析] 本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解． 四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长迅速、后来 增长越来越慢的特点，故选D. 。