2009-2010秋冬学期期中自测.doc

2009-2010 秋冬学期《线性代数 I》期中自测1． 计算题（每题 10 分） 1）问各取何值时，方程组12,k k123412341213412342231 363 3153 51012xxxx xxxx xxk xx xxxxk  无解？有唯一解？有无穷多解？有解时求其解2）性空间中，将向量表示成向量4A(1,2,1,1)1234(1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1)  的线性组合3）性空间，设3A123(1,1,1),(1,2,3),(1,3, ) t(a) 问 取何值时，向量组线性无关？t123,,  (b) 问 取何值时，向量组线性相关？t123,,  （4）设，试求的一组单位正交基，并将412(1,1, 1, 1),(1,2,0,3) A12(,)L 这组单位正交基扩充成的一组单位正交基4A （5）求实线性空间中的向量组2 2A123410120224,,,02001012AAAA的一个极大无关组。

2． 证明题（每题 10 分） 1）设是两个数域且证明：关于数的加法和乘法构成上的线性空12,P P12PP2P1P间2）设向量组的秩为，向量组的秩为，向量组12,,,mV 1r12,,,nV 2r的秩为，证明：12,,,,m 12,,,n 3r12312min{ , }r rrrr（3）设是线性空间的一组基，证明：是同构映射12,,,mV V( , )fL V Vf当且仅当也是线性空间的一组基12(),(),,()mfffVV3． 判断题（每题 5 分） （1）方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多解2）任一个系数为实数的元齐次线性方程组的解集都是的一个子空间nnA（3）若线性相关，也线性相关，则存在不全为零的12,,,mV 12,,,mV 使得同时成12,,,m 112211220,0mmmm     立4）设是一个欧氏空间，是一个映射如果，有V:f VV,V ，则 ( ),( ))( ,)ff ( , )fL V V。