新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值(解析版).doc

专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 【考纲要求】1、 了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；4、会求闭区间上函数的最大值、最小值一、利用导数研究函数的单调性【思维导图】【考点总结】1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数二、利用导数研究函数的极值与最值【思维导图】【考点总结】1、函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值2、函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。

3、函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值三、利用导数研究零点与不等式恒成立问题【思维导图】【题型汇编】题型一：利用导数研究函数的单调性题型二：利用导数研究函数的极值题型三：利用导数研究函数的最值题型四：导数中的极值点偏移问题【题型讲解】题型一：利用导数研究函数的单调性一、单选题1．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.2．（2022·江西赣州·二模（理））已知，，，则，，的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解【详解】令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，取得极大值，则，，故．故选：D3．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.【详解】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.故选：B.4．（2022·四川省泸县第一中学二模（文））下列函数中为奇函数且在单调递增的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式对选项进行逐一判断是否为奇函数，利用导数判断其单调性可得答案.【详解】选项A. 函数为偶函数，故不满足题意.选项B. 由当时，，函数单调递减，不满足题意.选项C. 函数为奇函数，且在上恒成立，所以函数在上单调递增，满足题意.选项D. ,当时，，故函数不为奇函数，不满足题意.故选：C5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.【详解】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，函数单调递增，故A不符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，由幂函数的性质知函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，又，所以函数在上单调递减，故C符合题意；对于D，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，又，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.故选：C.5．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，又，所以在上单调递增，在上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又，令，令，所以在上单调递减，在上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为(Z)，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，又，所以在上单调递增，故C不符合题意；对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以是奇函数，又，令，则为增函数，又函数为增函数，所以在R上单调递增，故D符合题意.故选：D.6．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性及导数的几何意义判断即可；【详解】解：因为对任意，，恒成立，所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，又，表示点与点的连线的斜率，由图可知即，故选：A二、多选题1．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（       ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】由可得，利用作差法即可判断A；令，根据导数可判断函数在上递增，结合A及指数函数的单调性可判断B；根据指数函数的单调性结合基本不等式可判断C；结合B根据对数函数的单调性可判断D.【详解】解：因为，所以，即，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，即，所以，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ACD.三、解答题1．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：(2)解：因为，       所以，令，则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.2．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；【答案】(1)的减区间为，增区间为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） ，，则题设不等式可转化为，结合零点满足的方程进一步转化为，利用导数可证该不等式成立.(1)，当，；当，，故的减区间为，的增区间为.题型二：利用导数研究函数的极值一、单选题1．（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数的定义域为，,令，解得或，故单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极大值为，故选：B.2．（2022·甘肃平凉·二模（文））已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】含导函数图象确定的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.【详解】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.故选：C3．（2022·陕西西安·二模（理））函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数极值点的个数为4个.故选：C.4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，，即函数为奇函数，，当时，，当时，，所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.故选：D.5．（2022·内蒙古包头·一模（理））设 ，若为函数的极小值点，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】对函数 求导后，根据导数的性质判断即可.【详解】 ，若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，必有 ，即 ，若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，必有，即；故选：C.6．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知是函数的极值点，则（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】【分析】求导，根据是的极值点，由求解.【详解】因为，所以．又是的极值点，所以，解得，经检验知不符合条件．故选：A7．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的。