网课立体几何2.docx

一．基础学问立体几何其次讲：空间几何体的面积、体积1． 多面体的表面积、侧面积由于多面体的各个面都是平面， 所以多面体的侧面积就是全部侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和．2． 圆柱、圆锥、圆台的侧面开放图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面开放图侧面积公式 S 圆柱侧 ＝2πrl S 圆锥侧＝ πrl S 圆台侧 ＝πr〔1＋ r 2〕l3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积 体积柱 体 〔 棱柱和圆柱 〕 锥体〔棱锥和圆锥 〕台体〔棱台和圆台 〕S 表面积 ＝ S 侧＋ 2S 底 V＝ ShShS 表面积 ＝ S 侧＋S 底 V＝ 1 3表面积 侧 上 下 上 下 上 下S ＝ S ＋ S ＋S V＝ 1〔S ＋ S ＋ S S 〕h3球 S＝ 4πR2 V 4 3＝ 3πR二．经典案例案例一：① 〔2021 全国 Ⅰ 〕已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，就该圆柱的表面积为 〔 〕A ． 12 2π B． 12π C． 8 2π D． 10π解析 设圆柱的轴截面的边长为 x，就由 x2＝ 8，得 x＝2 2，∴ S 圆柱表 ＝2S 底＋ S 侧＝ 2 π〔 2〕2＋ 2 π 22 2＝ 12π.② 〔2021 全国 Ⅱ 〕如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何 体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，就该几何体的体积为 〔 〕A ． 90π B ． 63π C． 42π D． 36π解析 〔割补法 〕由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如以下图．将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上1部分圆柱体积的 2，所以该几何体的体积V＝π 32 4＋ π32 612＝63 π故.选 B.③ 〔2021 衡水中学调研 〕某几何体的三视图如以下图，就该几何体的体积为 〔 〕A.6 B.4 C.22 203 D. 3解析 由三视图知该几何体是边长为 2 的正方体挖去一个三棱柱 〔如图〕，且挖去的三棱柱的高为 1，底面是边长为 2的等腰直角三角形，故几何体体积 V＝ 23－1 221＝ 6.2④ 〔2021 烟台模拟 〕某几何体的三视图如以下图，就该几何体的体积为 〔 〕A. 163B. 203C.169D. 209解析 由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为 2 的正方形为底面，高为 2 的四棱锥，其体积为V1＝ 122 2＝ 8；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为 2，其体积为 V2＝ 122 2＝4，3 3 28 20所以该几何体的体积为 V＝V1＋V2＝3＋4＝ 3 ，应选 B.⑤ 某组合体的三视图如以下图，就该组合体的体积为 ．解析 如以下图，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为 1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的3底面为等腰梯形，上底为 2，下底为 1，高为 2 ，1 1 31 4 3 3 π所以该组合体的体积 V＝ 〔2＋ 1〕3 22 1＋43π 1 ＝4 ＋ 3.案例二：① 〔2021长春东北师大附中模拟 〕一个棱锥的三视图如以下图， 就这个棱锥的外接球的表面积为 〔 〕A ． 34π B ． 25π C． 41π D ． 50π解析 依据题中所给的三视图可以确定该几何体应当是由长、宽、高分别是 4，3，3 的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有 R＝42＋ 32＋322 ＝342，从而求得其表面积为 S＝ 4 πR2＝34 π，应选 A.② 已知直三棱柱 ABC － A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，如 AB ＝ 3， AC ＝4， AB ⊥ AC ，AA 1＝ 12，就球 O 的半径为 〔 〕A. 3 172B． 2 10 C.132D． 3 10解析 如以下图，由球心作平面 ABC 的垂线，就垂足为 BC 的中点 M.又 AM1BC＝5 122 .＝2 2， OM＝ AA1＝ 6，5所以球 O 的半径 R＝ OA＝ 22＋ 62＝ 13③ 已知三棱锥 S－ ABC 的全部顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 . 如平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝ AC ， SB＝ BC ，三棱锥 S－ ABC 的体积 为 9， 就 球 O 的 表 面 积 为 .解析 如图，连接 OA， OB，由于 SA＝ AC， SB＝BC， SC为球 O 的直径，所以 OA⊥SC，OB⊥SC.由于平面 SAC⊥ 平面 SBC，平面 SAC∩ 平面 SBC＝ SC，且 OA 平面 SAC，所以 OA⊥ 平面 SBC.1111＝3S△ SBCOA＝ 2r r r ＝3 2 3设球的半径为 r ，就 OA＝OB＝ r， SC＝2r ， 所以 VA－SBCr 3，13所以 r3＝9 r ＝ 3，所以球的表面积为 4 πr 2＝ 36 π.④ 〔2021 昆明诊断 〕如以下图的三棱锥 D－ ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ ABC 和△ DBC 所在的平面相互垂直， AB ＝ 3， AC ＝ 3， BC ＝ CD＝ BD ＝2 3，就球 O 的表面积为 〔 〕A.4 π B.12 π C.16 π D.36 π解析 如以下图， ∵ AB2＋ AC2＝ BC2， ∴∠ CAB 为直角，即 △ ABC 外接圆的圆心为 BC 的中点 O′△.ABC 和△DBC所在的平面相互垂直，就球心在过 △DBC 的圆面上，即 △DBC 的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径 R＝ 2，球的表面积为 S＝ 4 πR2＝16 π.⑤ 某几何体的三视图如以下图，坐标纸上的每个小方格的边长为 1，就该几何体的外接球的体积是A. 5 10B． 112 π C. 1 000π D. 5 000 103 9 81 π解析 该几何体是如以下图的三棱锥 P－ABC，三棱锥的高 PD＝6，且侧面 PAC⊥底面 ABC， AC⊥BC， PA＝PC＝ 42＋ 62＝ 52， AC＝8， BC＝6，AB＝ 82＋62＝ 10，∴△ ABC 的外接圆的圆心为斜边 AB 的中点 E， 设该几何体的外接球的球心为 O， OE⊥底面 ABC，2 10 2 2 2 53设 OE＝x，外接球的半径为 R，就 x ＋ 2 ＝3 ＋ 〔6－ x〕 ，解得 x＝ .∴R2＝ 532＋52＝2509 ，∴外接球的体积 V＝4π3R3＝5 000 10π.81⑥ 一张矩形白纸 ABCD ，AB ＝ 10，AD ＝ 10 2，E，F 分别为 AD ，BC 的中点， 现分别将△ ABE ，△ CDF沿 BE ， DF 折起，且 A， C 在平面 BFDE 同侧，以下命题正确选项的序号 〕. 〔 写出全部正确命题①当平面 ABE ∥平面 CDF 时， AC ∥平面 BFDE ；②当平面 ABE ∥平面 CDF 时， AE ∥ CD；③当 A， C 重合于点 P 时，三棱锥 P－ DEF 的外接球的表面积为 150π.解析 ①中，易知 A，C 到平面 BFDE 的距离相等， AC∥ 平面 BFDE 正确；②中，平面 ABE∥平面 CDF 时， AE 与 CD 异面， AE∥ CD 不正确；③中，三棱锥 P－ DEF 中， DE＝ 5 2， EF＝10，DF ＝ DC2＋ CF2＝ 150， 即 DE2＋ EF2＝ DF 2， △DEF 为直角三角形，DF 150同理，△DPF 为直角三角形，且 DF 为公共斜边，故 DF 即为外接球直径，其半径 R＝ 2 ＝ 2 ，故球的表面积 S＝4 πR2＝ πDF 2＝ 150 π，正确 .三．练习（课后作业）1.我国南北朝时期的数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理： “幂势既同，就积不容异” . “幂”是面积，“势”即是高，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等 .已知某不规章几何体与如以下图三视图对应的几何体中意“幂势同”，就该不规章几何体的体积为 〔 〕A.8 4π2π π－ 3 B.8－ π C.8－ 3 D.4－ 22.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器 —— 商鞅铜方升，其三视图如图所示〔单位：寸 〕，如 π取 3，其体积为 12.6〔立方寸 〕，就图中的 x 为〔 〕A.1.2 B.1.6 C.1.8 D.2.43.某多面体的三视图如以下图，其中正视图是一个直角边为 2 的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为 2 和 1。