2022年2022年条件概率知识点、例题、练习题.docx
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精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.学问点条件概率专题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载① 只须将无条件概率P 〔 B 〕 替换为条件概率P 〔 BA 〕 ,即可类比套用概率满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的三条公理及其它性质② 在古典概型中 ---精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载P 〔 B A 〕P 〔 A B 〕〔 A B 〕大事 A B包括的基本领件（样本点）数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载P 〔 A 〕③ 在几何概型中 ---〔 A 〕大事 A 包括的基本领件（样本点）数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载P 〔 B A 〕P 〔 A B 〕〔 A B 〕区域 A B 的几何度量〔 长度、 面积、 体积等 〕精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载P 〔 A 〕〔 A 〕区域 A 的几何度量〔 长度、 面积、 体积等 〕精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载条件概率及全概率公式3.1. 对任意两个大事 A.B、 为否恒有 P〔 A〕 ≥ P〔 A| B〕.答： 不为. 有人以为附加了一个 B 已发生的条件 、 就必定缩小了样本空间 、 也就缩小了概率 、 从而就肯定有 P〔 A〕 ≥ P〔 A| B〕、 这种推测为错误的 . 事实上 、可能 P〔 A〕 ≥ P〔 A| B〕、 也可能 P〔 A〕 ≤ P〔 A| B〕、 下面举例说明 .在 0、1、 、9 这十个数字中 、 任意抽取一个数字 、 令A={ 抽 到 一 数 字 为 3 的 倍 数 }; B1 ={ 抽 到 一 数 字 为 偶数}; B 2={ 抽到一数字大于 8}、 那么P 〔 A〕=3/10、 P〔 A| B1〕=1/5、 P〔 A| B2〕=1. 因此有 P〔 A〕 ＞ P〔 A| B1〕、 P〔 A〕 ＜P〔 A| B2〕.3.2. 以下两个定义为否为等价的 .定义 1. 如大事 A.B 满意 P〔 AB〕= P〔 A〕 P〔 B〕、 就称 A.B 相互独立 .定义 2. 如大事 A.B 满意 P〔 A| B〕= P〔 A〕 或 P〔 B| A〕= P〔 B〕、 就称 A.B 相互独立.答： 不为的 . 由于条件概率的定义为P 〔 A| B〕= P〔 AB〕/ P〔 B〕 或 P〔 B| A〕= P〔 AB〕/ P〔 A〕自然要求 P〔 A〕 ≠0、 P〔 B〕 ≠0、 而定义 1 不存在这个附加条件 、 也就为说、 P〔 AB〕= P〔 A〕 P〔 B〕 对于 P〔 A〕=0 或 P〔 B〕=0 也为成立的 . 事实上 、 如 P〔 A〕=0由 0≤ P〔 AB〕 ≤P〔 A〕=0 可知 P〔 AB〕=0 故 P〔 AB〕= P〔 A〕 P〔 B〕.因此定义 1 与定义 2 不等价 、 更准确地说由定义 2 可推出定义 1、 但定义 1不能推出定义 2、 因此一般采纳定义 1 更一般化 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 精品学问点3.3. 对 任 意 事 件 A . B、 为 否 都有 P 〔 AB〕 ≤ P〔 A〕 ≤ P〔 A+B〕 ≤ P〔 A〕+ P〔 B〕.答： 为的. 由于 P〔 A+B〕= P〔 A〕+ P〔 B〕- P〔 AB〕 〔*〕由于 P 〔 AB〕 ≥0、 故 P〔 A+B〕 ≤ P〔 A〕+ P〔 B〕.由 P〔 AB〕= P〔 A〕 P〔 B| A〕、 由于 0≤ P〔 B| A〕 ≤1、 故 P〔 AB〕 ≤ P〔 A〕;同理 P〔 AB〕 ≤ P〔 B〕、 从而 P 〔 B〕- P〔 AB〕 ≥0、 由〔*〕 知 P〔 A+B〕 ≥ P〔 A〕.原命题得证 .3.4. 在引入条件概率的争论中 、 曾显现过三个概率 : P〔 A| B〕、 P〔 B| A〕、 P〔 AB〕. 从大事的角度去考察 、 在 A.B 相容的情形下 、 它们都为下图中标有阴影的部分 、 然而从概率运算的角度看 、 它们却为不同的 . 这到底为为什么 .答： 概率的不同主要在于运算时所取的样本空间的差别 : P〔 A| B〕 的运算基于附加样本空间 ΩB;P〔 B| A〕 的运算基于附加样本空间 ΩA; P〔 AB〕 的运算基于原有样本空间 Ω.3.5. 在 n 个大事的乘法公式：P〔 A1 A2 An〕= P〔 A1〕 P〔 A2 | A1〕 P〔 A3| A1A2 〕 P〔 An| A1 A2 An-1 〕中 、 涉 及 那 么 多 条 件 概 率 、 为 什 么 在 给 出 上 述 乘 法 公 式 时 只 提 及P〔 A1A2 An-1 〕>0 呢.答： 按 条 件概率 的 本意、应 要 求P〔 A1〕>0、n-1 〕>0.事 实P〔 A1A2 〕>0、 、上 、 由 于 A1A2A3P〔 A1A2An-2An-2 〕>0、A1A2 A3 An-2 An-1 、从 而便P〔 A1A2 A有 P〔 A1A2 An-2 〕≥ P〔 A1A2 An-1 〕>0. 这样、 除 P〔 A1A2 An-1 〕>0 作为题设外 、 其余条件概率所要求的正概率 、 如 P〔 A1 A2 An-2 〕 >0、 、 P〔 A1A2〕 >0、 P〔 A1〕>0 便为题设条件 P〔 A1A2 An -1 〕>0 的自然结论了 .3.6. 运算 P〔 B〕 时、 假如大事 B 的表达式中有积又有和 、 为否就必定要用全概率公式 .答： 不为. 这为对全概率公式的形式主义的熟悉 、 完全把它作为一个”公式”来懂得为不对的 . 其实 、 我们没有必要去背这个公式 、 应着眼于 A1、 A2、 、An 的结构 . 事实上 、 对于详细问题 、 如能设出 n 个大事 Ai 、 使之满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 精品学问点〔*〕就可得 . 〔**〕这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式 .因此 、 能否使用全概率公式 、 关键在于 〔**〕 式、 而要有〔**〕 式、 关键又在于适当地对 Ω 进行一个分割 、 即有〔*〕 式.3.7. 设 P〔 A〕 ≠0、 P〔 B〕 ≠0、 由于有(1) 如 A.B 互不相容 、 就 A.B 肯定不独立 .(2) 如 A.B 独立、 就 A.B 肯定不互不相容 .故既不互不相容又不独立的大事为不存在的 . 上述结论为否正确 .答：不正确 . 原命题中的结论 〔1〕〔2〕 都为正确的 . 但为由 〔1〕〔2〕〔 它们互为逆否命题 、 有其一就可以了 〕 只能推出在 P〔 A〕 ≠0、 P〔 B〕 ≠0 的前提下 、 大事 A.B 既互不相容又独立为不存在的 、 并不能推出“ A.B 既不独立又不互不相容为不存在的” . 事实上 、 恰恰相反 、 既不互不相容又不独立的大事组为 存在的 、 下面举一例 .5 个乒乓球 〔4 新 1 旧〕、 每次取一个 、 无放回抽取三次 、 记 Ai ={ 第 i 次取到新球 }、 i =1、 2、 3. 由于为无放回抽取 、 故 A1.A2 .A3 相互不独立 、 又A1A2A3={ 三次都取到新球 }、 明显为可能发生的 、 即 A1.A2.A3 可能同时发生、 因此 A1.A2.A3 不互不相容 .3.8. 大事 A.B 的“对立”与“互不相容”有什么区分和联系 . 大事 A.B “独立”与“互不相容”又有什么区分和联系 .答：“对立”与“互不相容”区分和联系 、 从它们的定义看为非常清晰的 、大体上可由如下的命题概括 : “对立” →“互不相容”、 反之未必成立 .至于“独立”与“互不相容”的区分和联系 、 并非一目了然.大事的互不相容性只考虑它们为否同时发生,为纯粹的事件的关系 、 丝毫未涉及它们的概率 、 其关系可借助图直观显示.事 件的 独立 性为 由概 率表 述的 、 即 当存 在概 率关 系 P〔 A| B〕= P〔 A〕 或P〔 B| A〕= P〔 B〕 时、 称 A.B 为相互独立的 .它们的联系可由下述命题概括 : 对于两个非不行能大事 A.B、 就有“ A.B互不相容” →“ A.B不独立”. 其等价命题为 : 在 P〔 A〕>0 与 P〔 B〕>0 下、 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 精品学问点有“ A.B 独立” →“ A.B 不互不相容” 〔 相容 〕. 留意、 上述命题的逆命题不成立.3.9. 设 A.B 为两个大事 、 如0< P〔 A〕<1、 0< P〔 B〕<1. 〔*〕就 A.B 相互独立 、 A.B 互不相容 、 、 这三种情形中的任何两种不能同时成立 .答： 在条件 〔*〕 下当 A.B 相互独立时 、 有 P〔 AB〕= P〔 A〕 P〔 B〕;当 A.B 互不相容时 、 有 P〔 AB〕< P〔 A〕 P〔 B〕;当 时、 有 P〔 AB〕> P〔 A〕 P〔 B〕.在条件 〔*〕 下、 上述三式中的任何两个不能同时成立 . 因此、 A.B 相互独立、 A.B 互不相容 、 这三种情形中的任何两种不能同时成立 .此结论说明 : 在条件 〔*〕 下、 如两个大事相互独立时 、 必不互不相容,也不一个包含另一个 、 而只能为相容了 .3.10. 证明: 如 P〔 A〕=0 或 P〔 A〕=1、 就 A 与任何大事 B 相互独立 .答： 如 P〔 A〕=0、 又 、 故 0≤ P〔 AB〕 ≤ P〔 A〕=0.于为 P〔 AB〕=0=P〔 A〕 P〔 B〕、 所以 A 与任何大事 B 相互独立 .如 P〔 A〕=1、 就 . 由前面所证知 、 与任何大事 B 相互独立. 再由大事独立性的性质知 、 与 B 相互独立 、 即 A 与 B 相互独立 . 另种方法证明 : 由 P〔 A〕=1 知 、 进而有 .又 且 AB 与 互 不 相 容 、 故.即 A 与 B 相互独立 .3.11. 设 A . B 为 两 个 基 本 事 件 、 且0
