
2025届浙江省余姚市第四中学高三数学第一学期期末达标测试试题含解析.doc
21页2025届浙江省余姚市第四中学高三数学第一学期期末达标测试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 若数列满足且,则使的的值为( )A. B. C. D.2.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为( )A. B. C. D.3.已知无穷等比数列的公比为2,且,则( )A. B. C. D.4.将函数的图象先向右平移个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在上没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.5.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为( )A. B. C.2 D.6.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则的值为( )A.2 B.3 C.4 D.7.已知复数满足:(为虚数单位),则( )A. B. C. D.8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.9.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为( )A. B. C. D.10.框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,,,,,,,则图中空白框中应填入( )A., B. C., D.,11.已知全集,函数的定义域为,集合,则下列结论正确的是A. B.C. D.12.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为( )A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若曲线(其中常数)在点处的切线的斜率为1,则________.14.已知a,b均为正数,且,的最小值为________.15.已知三棱锥,,是边长为4的正三角形,,分别是、的中点,为棱上一动点(点除外),,若异面直线与所成的角为,且,则______.16.某四棱锥的三视图如图所示,那么此四棱锥的体积为______.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(12分)已知公比为正数的等比数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(12分)△的内角的对边分别为,且.(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长.19.(12分)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点. (I)求与的关系式;(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率.20.(12分)已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,求证:;(Ⅲ)若对于恒成立,求的最大值.21.(12分)已知.(Ⅰ) 若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求实数的取值范围.22.(10分)已知的面积为,且.(1)求角的大小及长的最小值;(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、C【解析】因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.2、A【解析】根据直线:过双曲线的一个焦点,得,又和其中一条渐近线平行,得到,再求双曲线方程.【详解】因为直线:过双曲线的一个焦点,所以,所以,又和其中一条渐近线平行,所以,所以,,所以双曲线方程为.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.3、A【解析】依据无穷等比数列求和公式,先求出首项,再求出,利用无穷等比数列求和公式即可求出结果详解】因为无穷等比数列的公比为2,则无穷等比数列的公比为由有,,解得,所以,,故选A点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用4、A【解析】根据y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,根据定义域求出的范围,再利用余弦函数的图象和性质,求得ω的取值范围.【详解】函数的图象先向右平移个单位长度,可得的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,∴周期,若函数在上没有零点,∴ ,∴ ,,解得,又,解得,当k=0时,解,当k=-1时,,可得,.故答案为:A.【点睛】本题考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换及零点问题,此类问题通常采用数形结合思想,构建不等关系式,求解可得,属于较难题.5、C【解析】建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为: 故得到 故得到 , 故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.6、B【解析】因为将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,又和的图象都关于对称,由,得,,即,又,.故选:B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数,解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7、A【解析】利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则,所以.故选:A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.8、D【解析】试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.9、C【解析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知,当时有极大值,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍,故此得到极大值点的通项公式,且相应极大值,分组求和即得【详解】当时,,显然当时有,,∴经单调性分析知为的第一个极值点又∵时,∴,,,…,均为其极值点∵函数不能在端点处取得极值∴,,∴对应极值,,∴故选:C【点睛】本题考查基本函数极值的求解,从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列,最后分组求和,要求学生对数列和函数的熟悉程度高,为中档题10、A【解析】依题意问题是,然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.11、A【解析】求函数定义域得集合M,N后,再判断.【详解】由题意,,∴.故选A.【点睛】本题考查集合的运算,解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,都由代表元决定.12、B【解析】利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、【解析】利用导数的几何意义,由解方程即可.【详解】由已知,,所以,解得.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.14、【解析】本题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.15、【解析】取的中点,连接,,取的中点,连接,,,直线与所成的角为,计算,,根据余弦定理计算得到答案详解】取的中点,连接,,依题意可得,,所以平面,所以,因为,分别、的中点,所以,因为,所以,所以平面,故,故,故两两垂直取的中点,连接,,,因为,所以直线与所成的角为,设,则,,所以,化简得,解得,即.故答案为:.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16、【解析】利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积.【详解】如图:此四棱锥的高为,底面是长为,宽为2的矩形,所以体积.所以本题答案为.【点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系,几何体体积的求法,考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断.三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、(1)(2)【解析】(1)判断公比不为1,运用等比数列的求和公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的错位相减法求和,以及等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】解:(1)设公比为正数的等比数列的前项和为,且,,可得时,,不成立;当时,,即,解得(舍去),则;(2),前项和,,两式相减可得,化简可得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,考查方程思想和运算能力,属于中档题.18、(I);(II).【解析】试题分析:(I)由已知可得;(II)依题意得:的周长为.试题解析:(I)∵,∴. ∴, ∴, ∴,∴,∴. (II)依题意得:∴,∴,∴, ∴,∴的周长为.考点:1、解三角形;2、三角恒。
